Тема 5 кривые на плоскости



Скачать 81.11 Kb.
Дата19.10.2012
Размер81.11 Kb.
ТипДокументы

Тема 5. Кривые на плоскости

Тема 5

КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ

  1. Кривые как геометрический образ алгебраического уравнения второго порядка.

  2. Окружность.

  3. Эллипс.

  4. Гипербола.

  5. Парабола.


1. Кривые на плоскости как геометрический образ алгебраического уравнения второго порядка
Рассмотрим уравнение второй степени с двумя переменными :

.

где не равны нулю одновременно. Выясним, какие геометрические образы соответствуют этому уравнению.

Определение. Кривые на плоскости , соответствующие уравнениям второй степени называются уравнениями второго порядка.

К ним относятся окружность, эллипс, гипербола, парабола. Эти кривые будем изучать в следующем порядке:

  • Признак данной кривой в общем уравнении второго порядка.

  • Каноническое (простейшее) уравнение кривой.

  • Чертеж.

  • Свойства и параметры кривой.


2. Окружность

Окружностью называется линия, каждая точка на которой находится на одинаковом расстоянии от заданной точки , называемой центром окружности. Величина называется радиусом окружности.

В прямоугольной системе координат уравнение окружности имеет вид

,

где — координаты её центра, — радиус окружности.



В частности, если центр окружности совпадает с началом координат, т.е. , , то уравнение окружности примет вид:

gif" name="object14" align=absmiddle width=80 height=20>

  • Признак уравнения окружности: коэффициент при равен коэффициенту при .

  • Свойства окружности:

Окружность имеет бесконечное множество осей симметрий.

Точки на окружности равноудалены от центра.
Пример. Найдите координаты центра и радиус окружности .

Разделив уравнение на 2, и сгруппировав члены уравнения, получим .

Дополним выражения и до полных квадратов, прибавив к первому двучлену 4 , а ко второму (одновременно к правой части прибавляется сумма этих чисел):

.

По формуле имеем , , т.е. — координаты центра окружности; — радиус окружности.
3. Эллипс

Эллипсом называется линия, для каждой точки на которой сумма расстояний до двух заданных точек и (фокусов эллипса) есть величина постоянная: .

  • Уравнение эллипса с центром в начале координат:

.

Числа называются большой и малой полуосью эллипса.











Между и существует связь: .

Точки и являются фокусами эллипса, причем .

Свойство эллипса: эллипс имеет две оси симметрии .

Признак уравнения эллипса: коэффициент при и коэффициент при имеют одинаковый знак и по абсолютной величине не равны между собой.


  • Уравнение эллипса со смещенным центром в точке :


Пример. Дано уравнение эллипса . Найдите длины его полуосей, координаты фокусов.

Запишем уравнение эллипса в каноническом виде, разделив обе его части на 1176:

.

Отсюда , .

Используя соотношение (4), находим и . Следовательно, и .
4. Гипербола
гиперболой называется линия, для каждой точки на которой абсолютная величина разности расстояний до двух заданных точек и этой же плоскости (фокусов эллипса) есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами: .


  • Каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат:

.

где — действительная, — мнимая полуось гиперболы. Числа и — соответственно действительная и мнимая оси гиперболы.

Признак уравнения гиперболы: коэффициент при и коэффициент при имеют разные знаки и по абсолютной величине не равны между собой.

Для гиперболы :

    1. координаты фокусов: , , где — половина расстояния между фокусами (см. рис);

    2. числа , и связаны соотношением ;

    3. расстояние между фокусами равно ;

    4. точки и называются вершинами гиперболы, точка - центром гиперболы;




Прямоугольник, центр которого совпадает с точкой , а стороны равны и параллельны осям гиперболы, называется основным прямоугольником гиперболы.

Диагонали основного прямоугольника гиперболы лежат на двух прямых, называемых асимптотами гиперболы; они определяются уравнениями .

Уравнение или также является уравнением гиперболы, но действительной осью этой гиперболы служит отрезок оси длины .
Пример. Составьте уравнение гиперболы, если её фокусы лежат на оси и расстояние между ними равно 10, а длина мнимой оси равна 8.

По условию, ; . Тогда по формуле получим:

.

Тогда уравнение гиперболы: .

Уравнения ,

также задают гиперболу, координаты центра которой задаются точкой .
Уравнение гиперболы со смещенным центром в точке :


В школьном курсе математики изучались гиперболы вида (или ) как график обратной пропорциональной зависимости.
Положение такой гиперболы зависит от знака и величины .









Асимптотами гиперболы являются прямые, проходящие через центр гиперболы: .

Уравнение гиперболы с центром в точке с координатами имеет вид



Пример. Построить гиперболу по уравнению

Приведем данное уравнение к виду , получим: , значит, , , . Точка – центр гиперболы. Ветви находятся в первой и третьей четвертях.

Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат:

1) с осью :

2) с осью :
5. Парабола
ПАРАБОЛОЙ называется множество точек плоскости, каждая из которых равноудалена от заданной точки этой же плоскости, называемой фокусом, и заданной прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнение параболы:

,

где число , равное расстоянию от фокуса до директрисы , называется параметром параболы, точка называется вершиной параболы, ось ось симметрии параболы, координаты фокуса .

Уравнение директрисы параболы имеет вид .



Уравнения ,

также задают параболу, вершина которой задаются точкой .

Пример. Уравнение линии приведите к каноническому виду и постройте её: .

Преобразуем уравнение: . Выделим в правой части полный квадрат:

;

;

;

;

;

.

Получили уравнение параболы с вершиной в точке (2;3); .

Прямая является осью симметрии параболы.

Координаты фокуса , , т.е. .








ЧТО ДОЛЖЕН ЗНАТЬ СТУДЕНТ
1. Понятие линии второго порядка.

2. Каноническое уравнение окружности.

3. Каноническое уравнение эллипса, характеристики эллипса.

4. Каноническое уравнение гиперболы, характеристики гиперболы.

5. Каноническое уравнение параболы, характеристики параболы.

6. Метод выделения полного квадрата.
КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ

  1. Уравнение задает:

а) эллипс; б) гиперболу; в) окружность; г) параболу.

  1. Уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной оси OY, имеет вид:

а) ; б) ;

в) ; г) .

  1. Уравнение определяет:

а) эллипс с полуосями 49 и 16; б) параболу с центром (-4; -2);

в) гиперболу с полуосями 7 и 4; г) эллипс с центром (4; 2).

  1. Для любой точки гиперболы постоянной величиной является:

а) модуль разности расстояний до фокусов;

б) сумма расстояний до фокусов;

в) частное расстояний до фокусов; г) расстояние до её центра.

  1. Уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, имеет вид:

а) ; б) ;

в) ; г) .

  1. Радиус окружности, заданной уравнением , равен:

а) 5; б) ; в) 2; г) 25.

  1. Уравнением задается:

а) гипербола с полуосями ; и центром (5; -2);

б) парабола с вершиной (-5; 2);

в) гипербола с полуосями ; и центром (-5; 2);

г) эллипс с центром (5; -2).

8. Выберите линию, которая задается уравнением



а) ; б) ;

в) ; г) .


Похожие:

Тема 5 кривые на плоскости iconТема №7 Кривые второго порядка и их свойства. Учебные вопросы
Окружность. Окружность есть геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной, называемой центром
Тема 5 кривые на плоскости iconТеория функций комплексного переменного
Числовые последовательности и пределы. Бесконечно удаленная точка, расширенная комплексная плоскость. Множества на плоскости и на...
Тема 5 кривые на плоскости icon«кривые второго порядка»
Уравнения второго порядка от двух переменных Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + f = 0 описывают конические сечения или кривые второго...
Тема 5 кривые на плоскости iconДифференциальная геометрия
Кривые на плоскости и в пространстве: длина кривой, окружность кривизны, эволюта, кручение, формулы Френе
Тема 5 кривые на плоскости iconТема теория потребительского поведения. Ординалистская теория полезности и кривые безразличия
Ординалистская теория полезности. Исходные аксиомы анализа. Кривые безразличия и их свойства Предельная норма замещения
Тема 5 кривые на плоскости iconЗамечательные кривые
Эллипс -(от др греч.— недостаток.) Геометрическое место точек m евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных...
Тема 5 кривые на плоскости iconАнализ 1 год
Комплексные числа, комплексная плоскость. Множества на плоскости, области и кривые. Стереографическая проекция, сфера Римана, расширенная...
Тема 5 кривые на плоскости iconКаустики на плоскости и в пространстве
Кáустики – это вездесущие оптические поверхности и кривые, возникающие при отражении и преломлении. Каустики можно описать как линии...
Тема 5 кривые на плоскости iconП ионерами его создания явился Пьерре Безье из компании
В природе отсутствуют идеально прямые линии и равномерные плоскости, она содержит различной формы и сложности кривые. Поэтому для...
Тема 5 кривые на плоскости iconОпределение. Аффинной системой координат (коротко,аск) на плоскости называется четверка, где о – произвольная точка плоскости, базис векторного подпространства векторов, параллельных плоскости. Определение
Аффинная и декартова системы координат на плоскости. Деление отрезка в данном отношении. Уравнение окружности
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org