Дифференцируемость сложной функции



Скачать 318.73 Kb.
Дата19.10.2012
Размер318.73 Kb.
ТипДокументы

  1. Дифференцируемость сложной функции.

Если 1) , – дифференцируемая в точке функция для ; 2) , – дифференци-руемая в точке функция, то сложная функция , – дифференцируемая функция в точке , причем

при , .

Доказательство. Используя дифференцируемость компонент, покажем дифференцируемость сложной функции через существование ее производной в точке. Пусть – фиксированная точка, , – произвольное приращение независимого переменного , . Тогда

;

(считаем ). Тогда существует . Здесь используется теорема о пределе произведения функций, а также свойство непрерывности дифференцируемой функции: .

Итак, производная сложной функции в точке существует и по теореме о необходимом и достаточном условии дифференцируемости дифференцируема в точке , причем

.
ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА.
  1. ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ


Понятие ОБРАТИМОСТИ функции относится к свойствам
функции на множестве (глобальное свойство).

Будем рассматривать функцию , ; здесь – область задания функции: – множество значений функции.

Функция называется обратимой на , если она принимает каждое своё значение только один раз; символически это определение запишется



(символ означает "существует единственное значение"),

т.е. на множестве определена функция , , такая, что выполнены тождества

на и на .

При этом функцию называют обычно обратной функцией для .

Заметим, что графики функций и на плоскости Oxy СОВПАДАЮТ.



ПРИМЕР. Для функции найти обратную функцию; рассмотреть графики прямой и обратной функций.



РЕШЕНИЕ. Обозначим , ; из этого уравнения находим ; видим при этом, что для всякого существует единственное значение , т.е. – обратная функция. Графики функций и совпадают; это прямая . Заметим, что имеем тождества и на .


Для обратной функции проводим переобозначение
переменных: заменяем на , заменяем на , получаем – функцию, у которой независимая переменная изображается на оси , а значение функции – на оси .

В нашем примере переобозначение переменных приводит к функции , её график симметричен графику исходной функции относительно прямой (см. рисунок).

Итак, для нахождения обратной функции для , следует решить (если возможно) уравнение относительно , , а затем переобозначить переменные.

Функции и называются взаимно-обратными, их графики симметричны относительно прямой .

Достаточное условие существования обратной функции:

если 1) – непрерывна на промежутке ;

2) – строго возрастает (или строго убывает) на промежутке ,

то на соответствующем промежутке значений функции существует однозначная обратная функция , , , также непрерывная на и строго монотонная на (с сохранением характера монотонности).

Доказательство этого утверждения приведено подробно,
например, в [2].

Замечаем, что в условиях утверждения свойства "прямой"
(исходной) функции переносятся на обратную функцию.

Дифференцируемость обратной функции:

если 1) функция обратима в некоторой окрестности
точки , ; , ;

2) функция дифференцируема в точке , т.е. существует ,

то для обратной функции существует производная и выполняется равенство или .

В самом деле, рассмотрим отношение при – произ-вольном, , ; получаем

.

Поскольку – непрерывна в точке (следует из ее дифференцируемости в точке ), то и обратная функция – непрерывна в соответствующей точке , т.е. и одновременно. И тогда существование предела определяет существование предела , причем (по теореме о переходе к пределу в равенстве).

Формула дифференцирования обратной функции



предполагает выполнимость условий рассмотренной теоремы в
точке , а также равенства: ; ; , на ; на .

  1. 3.3. ФОРМУЛЫ ПРОИЗВОДНЫХ КОНКРЕТНЫХ ФУНКЦИЙ




  • Степенная функция , , любое.



.

Итак, .

Для сложной степенной функции имеем формулу производной



или для запоминания

.
Показательная функция , – любое.

,

поскольку

.

Итак, .

Для сложной показательной функции имеем или в более короткой записи

.

Для , , – любое, имеем

;

а также

.
Логарифмическая функция .

Для функции обратная функция есть , .

По правилу дифференцирования обратной функции имеем . Отсюда . Итак, .

Для сложной логарифмической функции



или в сокращенной записи

.

Для имеем соответственно

,

или ,

или .
Для степенно-показательной функции можно вычислить производную так:



, т.е. производная степенно-показательной функции состоит из двух слагаемых – результатов дифференцирования исходной функции как степенной и как показательной функций.

Для , любое число, ОДЗ, имеем



.

Итак, или , т.е. подтвердили формулу производной степенной функции, ранее рассмотренной при натуральной степени, для произвольного показателя .

Заметим, что в приведенном здесь счете демонстрируется так называемое ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ.

ПРИМЕР. Вычислить производную функции на ОДЗ.

РЕШЕНИЕ. Можно дифференцировать последовательно: сначала логарифмированную функцию, затем по формулам производной дроби и произведения. На проще сначала выражение прологарифмировать, а затем уже дифференцировать. Получим

и т.д.

  1. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции




  1. , – любое.



; здесь используются свойства непрерывности функции на , первый замечательный предел и теорема о пределе произведения. Итак, получим , – любое; формальная запись

.

Для , , обратная функция и тождество , . Отсюда имеем или , знак выбираем, исходя из характера монотонности обратной функции. Итак, , .

Для сложной функции в сокращенной записи
имеем формулу

.


  1. , – любое.

Поскольку , то . Итак, имеем , а также

.
Для функций и , , справедливо тождество

, .

Поэтому .

Для сложной функции запишем

.

  1. , , .

, т.е. и

.
Для , – любое, , обратная функция , поэтому имеем .

Итак, и

.

  1. , .

,

т.е. и

.

Дифференцируя тождество , – любое,
получаем , записываем

.

  1. 3.4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ АНАЛИЗА




  1. ТЕОРЕМА ФЕРМА?. Если 1) непрерывна на ,

  1. – дифференцируема при всяком из , кроме возможно , ,

  2. или ,

то или не существует.

Обратное утверждение не верно.

Контрпримеры: а) , ; , но функция – строго возрастающая на функция; в точке не достигает ни наибольшего ни наименьшего значений.

б) – строго возрастающая на функция; и при не существует; в точке не достигает ни наибольшего ни наименьшего значений.

ИЛЛЮСТРАТИВНЫЙ ПРИМЕР приведем, используя геометрическое задание функции; на рисунке удовлетворяет условиям теоремы, причем и , и .

Примеры на существенность условий теоремы рекомендуем провести самостоятельно.

Доказательство. Рассмотрим дифференцируемую в точке функцию, т.е. для существует , причем (произвольно!) Для определенности предположим, что . Тогда для имеем ; для имеем . Переходя к пределу при произвольном стремлении , получаем одновременно и , что возможно лишь при .

ТЕОРЕМА КОШИ (об отношении приращений двух функций)

Если 1) и непрерывны на сегменте ;

2) и дифференцируемы внутри сегмента, т.е. на интервале ,

то существует точка такая, что выполняется соотношение

.

Замечание. Пусть , . Тогда теорема устанавливает существование точки , , такой, что или , т.е. отношение приращений двух функций в одной и той же точке совпадает с
отношением производных этих функций в некоторой промежуточной точке.

Доказательство. Рассмотрим функцию

;

ее свойства:

  1. – непрерывна на ; по теореме Вейерштрасса множество ее значений на – ограниченное множество;

  2. – дифференцируемая на функция; по теореме II Вейерштрасса значения и достигаются в точках сегмента .

Поскольку , то хотя бы одно из этих значений достигается внутри сегмента. По теореме Ферма найдется точка , в которой .

Итак, указали так, что .
ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА?.

Если 1) – непрерывная на функция,

2) – дифференцируемая на ,

то .

Утверждение следует из теоремы Коши при .

ИЛЛЮСТРАТИВНЫЙ ПРИМЕР приведен на рисунке. Для графика непрерывной на и дифференцируемой на функции найдется точка такая, что в соответствующей точке на касательная параллельна хорде , поскольку . Здесь или .

Примеры на существенность условий теоремы и контрпример рекомендуем составить самостоятельно.
ТЕОРЕМА РОЛЛЯ?

Если 1) – непрерывная на функция,

2) – дифференцируемая на функция,

3) , то существует .

Утверждение следует из равенства теоремы Лагранжа.

При теорема сформулируется в виде:

для "хорошей" функции между любыми ее нулями существует хотя бы один нуль ее производной.

Предлагаем самостоятельно построить иллюстративный
пример, контрпримеры и примеры на существенность условий.
  1. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ**

Утверждение Если 1) и непрерывные и дифференцируемые на функции; на ( – конечное число, или );

2) ;

  1. , то ,

т.е. раскрывается неопределенность вида при (слева); предел отношения функции заменяется пределом отношения их производных.

Доказательство. Доопределим и . Возьмем
произвольное . Тогда на функции и непрерывны, на дифференцируемы. Применима теорема Коши: ; при имеем и поэтому – существует по условию.

Замечания. 1. В рассмотренном утверждении рассмотрен случай предельного перехода в конечной точке слева. Аналогично можно рассмотреть переходы: ; (произвольно); , ; при неопределенности вида .

Для неопределенности вида во всех случаях предельного перехода также действует правило Лопиталя.

Заметим, что правило Лопиталя применяется только к дробям.

Чтобы применить правило Лопиталя для неопределенностей
вида , , , и т.д., нужно предварительно выражение преобразовать к дроби.

ПРИМЕР. Вычислить пределы , .

РЕШЕНИЕ

.

.

2. Правило Лопиталя применяется только для раскрытия неопределенностей.

ПРИМЕР. – здесь нет неопределенности, правило Лопиталя не применимо; в точке функция непрерывная и предел ее при равен значению функции в предельной точке.

3. При применении правила Лопиталя дифференцируется
числитель и знаменатель дроби отдельно.

4. Иногда правило Лопиталя применяется несколько раз.

ПРИМЕР. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Значение предела

позволяет сравнить бесконечно большие при функции: показательная функция – бесконечно большая функция большего порядка по сравнению со степенной функцией – бесконечно большой при .

5. Правило Лопиталя не является универсальным,
оно применимо лишь тогда, когда существует предел отношения производных .

ПРИМЕР. Значение предела получить по правилу Лопиталя нельзя, поскольку – не существует (поведение при неопределенное). Можно провести счет, например, так: , применяя теорему о пределе произведения бесконечно малой функции на
ограниченную, в нашем случае, при , .
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА? – базовая формула математического анализа.

ЗАДАЧА (наилучшего локального приближения)

Пусть произвольная функция с "хорошими" свойствами рассматривается на какой-либо окрестности точки . Найти многочлен заданной степени так, чтобы отклонение на было наименьшим.

РЕШЕНИЕ. Ищем в виде многочлена по степеням разности : .

Тогда естественно потребовать выполнение соотношений

при , т.е. ;

при , т.е.



;

при , т.е.



.

Аналогично и далее .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (многочлена Тейлора). Если для , существуют производные , , , то многочлен



называется многочленом Тейлора n го порядка функции по степеням разности .

Он единственен!

В этом случае говорят, что "функция "порождает" свой
многочлен Тейлора в точке ".

Покажем, что именно многочлен Тейлора функции задает наилучшее локальное приближение этой функции. Для этого оценим погрешность приближения , т.е. оценим на функцию .

1. – качественная характеристика погрешности (форма Пеано?).

В самом деле, рассмотрим



( применим последовательно " " раз правило Лопиталя )

,

а это означает, что ,

т.е. – формула Тейлора " "-го порядка для функции по степеням разности с остаточ-ным членом в форме Пеано.

2. , – между и –количественная характеристика погрешности (форма Лагранжа).

В самом деле, преобразуем отношение



( по теореме Коши: между и ; – параметр )





( по теореме Коши: между и ; – параметр )



( после " "-кратного применения теоремы Коши: между и , т.е. между и )

.

Итак, если функция раз дифференцируема в окрестности точки , причем – непрерывная функция в этой окрестности, то

,

где – некоторая точка между и , т.е. функция представима
по формуле Тейлора " "-го порядка по степеням разности с остаточным членом в форме Лагранжа.

При формулу Тейлора называют иногда формулой
Маклорена? и записывают

.

ПРИМЕР 1. Разложить функцию в окрестности точки , взяв .

РЕШЕНИЕ. Воспользуемся формулой Маклорена при . Найдем производные ; ;

; отсюда , , , . Получаем .

ПРИМЕР 2. Убедиться самостоятельно в правильности разложений функции в окрестности по степеням :

, где лежит между и 0;

,

.

ПРИМЕР 3. Оценить абсолютную погрешность приближенного
равенства при .

РЕШЕНИЕ. , – между и 0. Поэтому . Например, для абсолютная
погрешность не превосходит числа 0,04.

ПРИМЕР 4. Вычислить приближенно , используя формулу
Тейлора при , , ; оценить погрешность.

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим функцию и ее представление по формуле Тейлора в

,

т.е. . Оценим погрешность . Здесь точка расположена между и . Поскольку функция возрастающая, то , т.е. . Поэтому с точностью имеем .

ПРИМЕР 5. Используя разложения функций по формуле Тейлора, вычислить пределы:

а) ; б) .

РЕШЕНИЕ. а) ;

б) .
IV. ТЕОРЕМЫ ПО ТЕМЕ "ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ

И ПОСТРОЕНИЕ ЕЕ ГРАФИКА"
ТЕОРЕМА (о необходимом и достаточном условиях существования наклонной асимптоты кривой при или
при )

Пусть функция определена на . Прямая – наклонная асимптота для при тогда и только тогда, когда 1) – конечное число; 2) – конечное число.

Доказательство. ( ) Если – наклонная асимптота при ( – числа), то , т.е. . Поэтому и .

( ) Из 1) и 2) имеем и , т.е. – наклонная асимптота при .

Аналогичные рассуждения при .

ТЕОРЕМА (о достаточном условии строгой монотонности
функции на промежутке)


, ;

;

аналогично для строгого убывания функции

.

Доказательство. Возьмем , так, чтобы ( ). Тогда по теореме Лагранжа найдется такое, что и , что соответствует определению строгого возрастания функции на промежутке.

ТЕОРЕМА (необходимое условие существования точки локального экстремума функции)

Если функция непрерывна в и имеет экстремум в точке , то или не существует .

Доказательство. Пусть – точка локального максимума функции , , , т.е. найдется окрестность этой точки такая, что , т.е. . Далее используем теорему Ферма.

Аналогичные рассуждения для случая – точка локального минимума функции .

ТЕОРЕМА 1 (достаточное условие существования точки локального экстремума функции)

Если 1) – непрерывна на и дифференцируема в ; , кроме возможно точки ;

2) или не существует ;

3) , меняет знак в точке при переходе слева направо через ,

то имеет локальный экстремум в точке .

Доказательство. Пусть для определенности на (имеет знак "+") и на (имеет знак "–"). Тогда на , т.е. ;

на , т.е. ,

т.е. приращение функции , сохраняет знак, в окрестности точки ; а это означает (по определению), что – точка локального максимума
функции .

Аналогичные рассуждения в случае смены знака производной с "–" на "+" при переходе слева направо через стационарную точку ( ).

Заметим, что обратное утверждение неверно, т.е. в точке функция может иметь (например, ), а производная меняет знак в бесконечном множестве точек на всякой окрестности точки .

Контрпример. , .

ТЕОРЕМА 2 (достаточное условие существования точки
локального экстремума функции)


Пусть функция непрерывна и дважды дифференцируема на ; для всякого – непрерывная функция.

Тогда если 1) и 2) , то при точка является точкой локального минимума функции ;

при – точка локального максимума функции .

Доказательство. Пусть для определенности . Тогда по формуле Тейлора имеем

,

или

( ).

Поскольку порядок слагаемых в правой части равенства разный, то можно указать сколь угодно малое число , такое что в и знак совпадет со знаком , т.е. для рассматриваемого случая получаем для , . По определению это означает, что – точка функции .

Аналогично рассуждаем для .

ТЕОРЕМА (о достаточном условии выпуклости функции на
промежутке)


Для всякой дважды дифференцируемой на функции справедливы утверждения:

,

а также

.

Доказательство. Пусть для определенности на . Разложим по формуле Тейлора при в произвольной точке , :

,

здесь лежит между и , т.е. и . Тогда для всяких значений и из интервала , т.е. по определению – выпуклая вниз (сокр. ) на .

Аналогично: для – выпуклая вверх на , если на .

Подробно все вопросы исследования функции одной переменной рассмотрены в [6] при разборе контрольно-обучающей работы "Производная и ее приложения".

V. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

ПРИЕМЫ И МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
5.1. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ, ЕЕ СВОЙСТВА.

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, ЕГО СВОЙСТВА
Ранее рассматривалось понятие производной функции, ее
геометрический смысл, свойства, правила нахождения. Во многих технических задачах требуется решение обратной задачи: отыскание функции по заданной ее производной функции. Например,
задача об определении закона прямолинейного движения материальной точки по заданной ее скорости .

Решение сформулированной задачи основано на понятии
первообразной функции.


? Пьер Ферма (1601 – 1665 гг.) – выдающийся французский математик.

? Жозеф – Луи Лагранж (1736 – 1813 гг.) – знаменитый французский математик и механик.

? Мишель Ролль (1652 – 1719 гг.) – французский математик.

** Гильом Франсуа де Лопиталь (1661 – 1704 гг.) – французский математик.

? Брук Тейлор (1685 – 1731 гг.) английский математик.

? Джузеппе Пеано (1858 – 1932) – итальянский математик

? Колин Маклорен (1698 – 1746 гг.) – английский математик.


Похожие:

Дифференцируемость сложной функции iconДифференцируемость функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана
Дифференцирование интеграла по параметру. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций
Дифференцируемость сложной функции iconРешение. Производные сложной функции рассчитываются по формулам
С помощью формулы производной сложной функции для фнп выполнить задание Найти
Дифференцируемость сложной функции iconПрограмма по курсу математического анализа для студентов групп 03-101-106
Дифференцируемость функции f : Rn→R в точке. Дифференциал функции f : Rn→R. Частные производные функции f : Rn→R
Дифференцируемость сложной функции iconУрок 4 Дифференциал функции. Дифференцируемость функции
Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, а приращение ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0) функции f(x) в точке х0...
Дифференцируемость сложной функции iconДифференцирование сложной функции. Теорема
Первые частные производные и есть функции от переменных x и y. Назовём по определению вторыми частными производными функции следующие...
Дифференцируемость сложной функции iconКонспект урока математики «Производная сложной функции» (11 класс) Учитель: Буденная Галина Николаевна 2011г. Тема урока: «Производная сложной функции» Слайд Тип урока: Урок применения знаний и умений. Цели урока. Образовательные
Дополнительный вопрос. Найдите угловой коэффициент касательной к графику в точке с абсциссой =1
Дифференцируемость сложной функции iconЭкзаменационные вопросы по дисциплине Понятие множества. Операции над множествами и их свойства
Фурье. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. Частные производные и дифференцируемость функции нескольких переменных....
Дифференцируемость сложной функции iconПрограмма курса «Дополнительные главы математического анализа»
Гладкие гиперповерхности в Rn. Введение. Дифференцируемость отображений из Rm в Rn. Производная композиции. Теорема о неявной функции....
Дифференцируемость сложной функции iconПрограмма дисциплины: Основы элементарной математики
Основные элементарные функции (оэф), их свойства и графики. Сложные функции. Поведение функций около точек разрыва и «на краях» области...
Дифференцируемость сложной функции icon7. Задача Лагранжа вариационного исчисления. Уравнения Эйлера-Лагранжа
Дифференцируемость функций многих переменных. Строгая дифференцируемость. Теорема об обратном отображении
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org