I. первообразная и неопределенный интеграл



Скачать 275.41 Kb.
Дата19.10.2012
Размер275.41 Kb.
ТипДокументы
I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Определение 1. Функция называется первообразной для , если

(1)

или

(2)

Пример 1. есть первообразная для , так как или .

Пример 2. есть первообразная для , так как или .

Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное первообразная, которое отличаются друг друга на постоянное число.

Так в 1-м примере для первообразный будут, кроме , , , , и другие. Все они удовлетворяют условию (1) и (2). Вообще в общем виде можно записать первообразную в виде , где – произвольная постоянная. Действительно,



или

.

Определение 2. Общее выражение совокупности всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается

(3)

При этом , где

– подынтегральное выражение,

– подынтегральная функция.

Операцию нахождения неопределенного интеграла называют интегрированием.

Итак, интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому каждой формуле дифференцирования (1) соответствуют формула интегрирования (3).

Пример 3.

,

где – const.

Ниже приведена таблица основных интегралов. Каждую формулу можно проверить дифференцированием.
  • Таблица основных интегралов


1. ( , – const, )

2. (для любого )

2.1. 2.2.

3.

4. ( , , )

5.

6.

7.

8.

9.

10. ( )

11. ( )

12.

13.

При интегрировании используются свойства интегралов.

Свойства интегралов



  1. , в частности,

,

  1. , где



Таблицу интегралов и свойства необходимо выучить наизусть.
  1. II. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ



Существуют три способа интегрирования: непосредственное, заменой переменной и по частям.

2.1.
Непосредственное интегрирование


Непосредственное интегрирование состоит в том, что подынтегральную функцию путем тождественных преобразований с использованием формул алгебры и тригонометрии, а также используя свойства (3) и (4), сводят к табличным интегралам.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 4. .

(использованы свойства 3, 4; табличный интеграл 2, )

Правильность ответа проверяем дифференцированием:

.

Пример 5.

.

(свойства 3, 44 табличные интегралы 2.2 и 3).

Пример 6.



(свойства 3,4; табличные интегралы 1 и 7).
2.2. Метод замены переменной (подстановки)

Для вычисления интеграла сделаем замену , где выбирается так, чтобы после преобразований данного интеграла и новой переменной , получился интеграл, который берется непосредственно.

Предварительно находим , тогда

. (4)

После нахождения первообразной необходимо вернуться к первоначальной переменной « ».

Пример 7.



.

Пример 8.



.

Замечание. Следующие интегралы удобно решать указанной заменой

, ; ;

, ; ;

, ; .

Пример 9.

,

т. к. .

Формулой (4) часто пользуются справа налево:

, . (5)

При этой замене надо помнить, что в составе подынтегрального выражения должен быть дифференциал функции .

Такой метод называется под знак дифференциала

. (5’)

При использовании этого метода можно воспользоваться таблицей дифференциалов.

Таблица дифференциалов

1. , – const, ,

2.

3.

4. , , ,

5.

6.

7.

8.

9.

10. ,

11. ,

Пример 10.

Согласно таблице дифференциалов, 1, с. 7 , положим , , , .



.

Пример 11.

По таблице дифференциалов, 1, с. 7 , положим

, , , .

.

Пример 12. – можно найти двумя способами:

1 способ.

;

2 способ. .

Пример 13.

1 способ.

;

2 способ.

.

Пример 14.

. (табл. интегр., 3, )
2.3. Метод интегрирования по частям

(6)

Эта формула чаще всего применяется тогда, когда под интегралом имеется произведение алгебраической и трансцендентной функции, например, или , или .

– это все подынтегральное выражение, часть которого мы обозначаем за , а часть за . При этом:

  1. за принимается функция, которая дифференцированием упрощается.

  2. за – та часть, интеграл от которой известен или легко может быть взят.

  3. в состав обязательно входит .

В итоге верного выбора и интеграл в (6) должен быть проще исходного.

Пример 15.

.

Замечание 1. Метод интегрирования по частям может применяться в одном примере несколько раз.

Замечание 2. Иногда повторное интегрирование по частям приводит к уравнению искомого интеграла , , если

, то получаем уравнение: , откуда

или .

Пример 16. – решить методом по частям, используя примечание. При верном решении должен получиться ответ:

.

Только по частям берутся интегралы:

а) , многочлен -ой степени,

, в частности одночлен

, ,

б) ,

,

, ,

в) ,

, или .

Интегралы типа (в) интегрируются дважды по частям.

Пример 16.



.

Рассмотрим отдельные классы функций и способы их интегрирования.

  1. III. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ




  1. 3.1. Простейшие дроби, их интегрирование
  2. К простейшим дробям относятся дроби вида:


1. , 2. , 3. , при ,

4. , при ( , , , , , ).

При интегрировании дробей типа 1 – 2 достаточно ввести подстановку , (или ), тогда

  1. ;

  2. , ( ).

Чтобы проинтегрировать дроби типа 3 – 4, необходимо выделить полный квадрат из квадратного трехчлена, затем свести интеграл к табличному.

Пример 17.

Выделим полный квадрат из квадратного трехчлена



=

.

(табл. интегр., 11)

Замечание. При интегрировании дробей типа 3 – 4 можно воспользоваться справочником.

  1. 3.2. Правильные и неправильные рациональные дроби

Определение: Дробь называется рациональной, где , – многочлены -ой и -ой степеней.

Если , дробь неправильная.

Если , дробь правильная.

Неправильную дробь представляют в виде суммы целой части и правильной дроби. Операция выделения целой части может быть выполнена делением числителя на знаменатель.

Пример 18. Дробь неправильная ( , , ). Выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель.



.







Пример 19. Дробь правильная, т. к. , , .

Пример 20. Дробь неправильная ( , , ).







.

3.3. Разложение правильной дроби

Теорема. Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей вида 1 – 4.

Пусть дробь правильная. Разложим знаменатель дроби на множители. Найдем его корни, т. е. значения , при которых знаменатель обращается в нуль. Тогда многочлен разложится на множители:

, где

– действительные корни многочлена. Множитель не разложим на линейные множители, т. к. .

Вид элементарной дроби и число их в разложении определяется корнями знаменателя данной дроби. Каждому множителю знаменателя соответствует определенного вида дробь. Укажем, какому множителю какая дробь соответствует:





, если .

,

если .

– пока неизвестные коэффициенты.

Разложить на простейшие дроби.

Пример 21. .

Пример 22.



– не имеет действительных корней, т. к. .

Пример 23.

.

Пример 24.

,

– не имеет действительных корней, т. к. .
3.4. Нахождение коэффициентов

I способ.

Пусть , , .

Написанное равенство есть тождество, а поэтому:

а) приведя дроби к общему знаменателю, получим тождественные многочлены в числителях справа и слева;

б) приравняем числители;

в) а затем их коэффициенты при одинаковых степенях;

г) получим систему уравнений для определения коэффициентов.

Пример 25. Рассмотрим пример 21.

а) Приведем дробь к общему знаменателю:

.

б) Приравняем числители:

.

в) Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях:

(нет коэффициента при )

(свободный член).

(коэффициент при )

г) Решив систему, получим:

; ; .

Получили разложение

.

II способ.

Приравняем многочлены в числителях слева и справа, как в I способе:

д) Придадим частные значения, вычислим значения многочленов. Получим также систему с неизвестными коэффициентами.

В качестве значений удобно брать значения действительных корней знаменателя, лучше применять в случае, когда знаменатель имеет равные действительные корни.

Пример 26. ,

а)

б)

д)





В итоге .

III способ.

Комбинируют I и II способы.

  1. 3.5. Правило интегрирования рациональных дробей

Чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо:

  1. Проверить, является ли эта дробь правильной. Если дробь неправильная, выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель.

  2. Правильную рациональную дробь разложить на сумму простейших дробей.

  3. Найти неизвестные коэффициенты.

  4. Проинтегрировать простейшие дроби.

Пример 27.

Дробь неправильная,









Дробь – правильная, разложим знаменатель дроби на множители:

,









.

  1. IV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ



Основным методом решения интегралов от иррациональных выражений является метод замены переменной.

Цель замены – преобразовать данное иррациональное выражение к рациональной дроби.

  1. сводится к ,

предварительно необходимо выделить полный квадрат под знаком корня, сделать замену и проинтегрировать по таблице интегралов, 10 и 12.

Пример 28.





.

2.


  1. Сделать в числителе производную подкоренного выражения.

  2. Разбить на два интеграла, один из которых степенной, а другой вида (1).



Пример 29.







.

3. подстановка

– наименьший общий знаменатель дробей и .

Пример 30.

Здесь роль играет , ; ; , наименьший общий знаменатель этих дробей , следовательно, подстановка , вычислим



.

4. , ;

, ;

, .

5. – дифференциальный бином интегрируется в трех случаях:

1) – целое, – интегрируется непосредственно,

– подстановка , где – общий знаменатель дробей

и ;

2) – целое ( , , ) подстановка , где – знаменатель

дроби ;

3) – целое ( , ,) подстановка .

Пример 31.

.

  1. V. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ



1. решается универсальной подстановкой , , ; .

Пример 32.

.

В некоторых случаях полезнее использовать подстановки, которые дают лучший результат, чем при использовании универсальной подстановки.

2. Если в подынтегральном выражении при замене на и на функция не меняет своего знака, т. е. если

,

то применяют подстановку .

Пример 33.



.

3. Если , т. е. при замене на подынтегральная функция меняет знак, то подстановка .

Пример 34.

.

4. Если , т. е. при замене на подынтегральная функция меняет знак, то подстановка .

Пример 35. .

5. ; при – четном, ;

; при – нечетном по правилу 3 или 4.

Пример 36.



.

Пример 37. .

Пример 38.

.

6. ,

,

.

Пример 39. .

VI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ И НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ,

ИХ ВЫЧИСЛЕНИЕ
Если 1) и конечны;

2) непрерывна на и имеет первообразную , то определенный интеграл выражается конечным числом и может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

. (7)

Пример 40. .

Интегралы а) ; б) ; в)

относятся к несобственным интегралам I-го рода, т. к. для них не выполнено условие (1), а именно: один из пределов интегрирования (случая а) и б) ) или оба (случай в) ) не являются конечными, а условие (2) выполнено. Вычисление таких интегралов можно проводить по формуле (7), при этом считается как предельное значение, которое может быть конечным, бесконечным или не иметь смысла.

Пример 41. .

Пример 42.

.

Пример 43. .

Если в результате вычислений получили конечное число, то несобственный интеграл называется сходящимся (примеры 42, 43), в противном случае интеграл расходится (пример 41).

Те интегралы , для которых не выполняется условие (2), а условие (1) выполнено, относятся к несобственным интегралам II-го рода. имеет бесконечный разрыв в одной или нескольких точках.

Вычисление несобственных интегралов II-го рода и определение их сходимости или расходимости можно проводить по формуле Ньютона-Лейбница, определив точки бесконечного разрыва.

Пример 44. ; ; эта функция имеет бесконечный разрыв на в точке , т. к. .

, интеграл сходится.

Пример 45. ; имеет бесконечный разрыв на в точке , т. к. .

, интеграл расходится.

Пример 46. ; имеет бесконечный разрыв в точке , которая принадлежит . В этом случае данный интеграл разбиваем на два интеграла точкой разрыва:



, интеграл сходится.


  1. Геометрические приложения определенного интегралаСистема координатВид уравнения кривойПлощадь плоской фигурыДлина дугиОбъем тела вращенияДекартовы координатыа)



1а)

2а)

3а)

б)



1б)

2б)

3б)

в)



1в)

2в)

3в)

г)



1г)

2г)

3г)

Полярные координатыд)



1д)

2д)

3д)


VII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
При помощи определенного интеграла можно вычислить площади плоских фигур, длины дуг, объемы тел вращения, а также решать другие задачи.

В зависимости от того, в какой системе координат решается задача и в каком виде задано уравнение кривой, выбирается нужная формула по таблице.

Для определения пределов интегрирования необходимо сделать чертеж. Затем подставить в формулу конкретные данные своей задачи и провести вычисления.

Пример 47. Вычислить площадь, ограниченную параболой и прямыми и .

Решение: Выполним чертеж. Графиком является парабола,

ветви которой направлены

вниз (знак “ - “ перед ) и

приподняты на 2 единицы

(рис. 1).

Искомая площадь симметрична

относительно оси ,

следовательно, можно

вычислить половину площади

и удвоить результат.

.

Рис. 1

Для вычисления пределов интегрирования решим совместное уравнение параболы и прямой :

,

согласно формуле (1г), табл. получим

; (кв. ед.)

Пример 48. Вычислить площадь, ограниченную линией

, .

Решение: В данной задаче чертеж выполнять необязательно, т. к. задано изменение параметра . Уравнение линии рассматривается в декартовых координатах, но имеет параметрический вид (в). Воспользуемся формулой (1в) табл.



.

Пример 49. Вычислить площадь, ограниченную линией .

Решение: Так как уравнение линии, ограничивающей искомую площадь, задано в полярных координатах, то необходимо воспользоваться формулой (1д), табл.

Пределы интегрирования не заданы,

поэтому необходимо сделать чертеж

(рис. 2). Линию

построим по точкам, давая значения

через равный промежуток, например,

, начиная от до .

Вычислим искомой площади.

Рис. 2









(кв. ед.).

Пример 50. Найти длину дуги , отсеченную прямой .

Решение: Уравнение линий заданы в декартовых координатах.

Воспользуемся формулой (2а),

табл. .
  • Из чертежа видно, что


пределы интегрирования

будут и

(рис. 3).

Рис. 3 .





(кв. ед.).

Пример 51. вычислить длину одной арки циклоиды

(рис. 4).

Решение: Из соотношения видно, что значение соответствует ,

соответствует ,

. Так как уравнение линии

задано в декартовых координатах

(вид в), то используем формулу (2в),

табл.: , .

Рис. 4





.

Пример 52. Вычислить длину кардиоиды ,

соответствующую .

Решение: Уравнение кривой задано в полярных координатах, следовательно, при решении воспользуемся формулой (2д). Изменение задано, следовательно, выполнение чертежа необязательно.





(ед. длины).

Пример 53. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной параболой и осью (рис. 5).

Решение: Парабола расположена ветвями вниз, вершина находится в точке , и ось пересекает в точках . Для решения воспользуемся формулой (3а), табл.





(куб. ед.).

Рис. 5

Пример 54. Вычислить объем тела, образованного вращением гиперболы , отсеченной прямыми , вокруг оси (рис. 6).

Решение: Для решения задачи воспользуемся формулой (3б), табл.

; ,

находим из уравнения параболы:





Рис. 6 (куб. ед.).

Замечание: Иногда при решении задач полезно использовать рекуррентную формулу:





Знак (двойной факториал) означает произведение целых чисел, начиная с , через одно с убыванием. Например, (только нечетные множители).

Похожие:

I. первообразная и неопределенный интеграл iconПервообразная. Неопределённый интеграл
Первообразная. Непрерывная функция f ( X ) называется первообразной для функции f ( X ) на промежутке X, если для каждого
I. первообразная и неопределенный интеграл icon5. Неопределенный интеграл 1 Первообразная и неопределенный интеграл
К числу важных прикладных задач относятся задачи определения закона движения частицы по известной скорости и определения скорости...
I. первообразная и неопределенный интеграл iconЛекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл. 12 Первообразная функция. Определение
Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно...
I. первообразная и неопределенный интеграл iconВопросы к экзаменам 2 семестр
Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования
I. первообразная и неопределенный интеграл iconсессия) 2 первообразная функции (неопределенный интеграл) 2
Интегрирование, как операция, обратная дифференцированию. Таблица неопределенных интегралов 2
I. первообразная и неопределенный интеграл iconМетоды интегрирования: а замена переменной, б по частям. Примеры
Первообразная и неопределенный интеграл. Теорема о виде первообразных. Геометрический смысл неопределенного интеграла
I. первообразная и неопределенный интеграл iconИнтегрирование функции одного переменного. § Первообразная и неопределенный интеграл
Определение: Функция F(x)=D(a,b) называется первообразной для функции f(x) на (a,b), если F’(x)=f(x)
I. первообразная и неопределенный интеграл iconКурскгту 08 Первообразная и неопределенный интеграл ©Дроздов В. И
...
I. первообразная и неопределенный интеграл iconЭкзаменационные вопросы Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла
Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод подстановки
I. первообразная и неопределенный интеграл icon"Первообразная и интеграл " всего: 15 часов
Технологическая карта I часть Математика 11 класс тема: "Первообразная и интеграл " всего: 15 часов
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org