Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей



страница11/14
Дата19.10.2012
Размер0.74 Mb.
ТипМетодические рекомендации
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   14

Интегрирование по частям



Если функции и имеют непрерывные производные на отрезке , то имеет место формула

. (20)

Пример 40. Вычислить интеграл .

Решение.

, тогда


    1. Интегрирование четных и нечетных функций в

симметричных пределах



Пусть функция непрерывна на отрезке , симметрич-ном относительно точки .

Если функция нечетная, то есть , то

. (21)

Пусть функция четная на , то есть , тогда

. (22)

    1. Несобственные интегралы



Определенные интегралы от непрерывной функции, но с беско-нечным промежутком интегрирования или определенные интегралы с конечным промежутком интегрирования, но от неограниченной функции, называются несобственными интегралами.

3.8.1 Несобственные интегралы с бесконечными пределами

интегрирования (первого рода)

Определение 9. Пусть функция определена и непрерывна на промежутке . Тогда существует определенный интеграл . При изменении значения интеграл изменяется, он является непрерывной функцией . Предел этого интеграла при называется несобственным интегралом первого рода от функции gif" align=bottom> на промежутке :

. (23)

Если этот предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся. Если же указанный предел не существует или бесконечен, то называется расходящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке

. (24)

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется так:

, (25)

где – произвольное число.

Данный интеграл сходится, если сходятся оба интеграла в правой части. Если хотя бы один из интегралов в правой части равенства расходится, то и расходится.

Если непрерывная функция на промежутке и интеграл сходятся, то он выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной линиями , и осью абсцисс (рисунок 3).



Рисунок 3 – Геометрическая иллюстрация несобственного интеграла первого рода

Пример 41. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость .

Решение. Имеем





при ,

рисунок 4.




Рисунок 4 – График функции

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно .

Пример 42. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость .

Решение.







то есть расходится.

Пример 43. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость .

Решение.



Но при не стремится ни к какому пределу, а поэтому не существует и расходится.

Пример 44. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость .

Решение. Пусть , тогда

.

Таким образом, – расходится.

Пусть , тогда



так как , то при , а ,

то есть при сходится и равен .

Пусть , тогда

так как , то , а ,

тогда при , то есть при расходится.

Итак, имеем

Этот интеграл часто используется в признаке сравнения в качестве эталонного.

Пример 45. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

Решение.



при , при

(см. рисунок 4).

Итак, сходится и равен .

Не всегда удается выяснить сходимость несобственных интегра-лов с помощью определения, поэтому используют признаки сравнения.

3.8.2 Несобственные интегралы от неограниченной функции

(второго рода)

При рассмотрении определенного интеграла предполагалось, что подынтегральная функция является ограниченной на . В том случае, когда функция не является ограниченной, задача интегрирования формулируется иначе.

Определение 10. Пусть функция определена и непрерывна в , и стремится к бесконечности при . Составим интеграл

. (26)

Предел этого интеграла при называется несобственным интегралом второго рода (или интегралом от неограниченной функции) на интервале :

. (27)

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл сходится. Если предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

Если , то несобственный интеграл второго рода (разрыв в точке ) равен площади бесконечно высокой криволинейной трапеции (рисунок 5).

Если функция имеет бесконечный разрыв в точке , то

. (28)




Рисунок 5 – Геометрическая иллюстрация несобственного интеграла второго рода


Если функция имеет разрыв во внутренней точке отрезка , то несобственный интеграл второго рода имеет вид:

. (29)

Интеграл сходится, если оба несобственных интеграла и сходятся.

Пример 46. Вычислить интеграл или доказать его расходимость.

Решение. Подынтегральная функция не определена в точке . По определению несобственного интеграла второго рода имеем



Так как существует конечный предел, то данный интеграл сходится и равен 2, то есть .

Пример 47. Вычислить интеграл или доказать его расходимость.

Решение. Функция на отрезке не определена в точке . По определению имеем

если , то .

Следовательно, расходится.

Пример 48. Вычислить интеграл или доказать его расходимость.

Решение. Функция терпит разрыв во внутренней точке отрезка . Поэтому данный интеграл представим в виде суммы двух несобственных интегралов



то есть сходится.

Аналогично можно показать, что интегралы , , сходятся при и расходятся при .

Данные интегралы используются в признаке сравнения в качестве эталонных.

Не всегда удается выяснить сходимость несобственных интегра-лов второго рода с помощью определения, поэтому используют приз-наки сравнения.


1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   14

Похожие:

Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей iconМетодические рекомендации и задания по самостоятельной работе для студентов специальностей
Соколова О. Г. Логистика: Методические рекомендации и задания по самостоятельной работе для студентов специальностей: 050802 – «Экономика...
Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей iconМетодические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство
Основы вариационного исчисления. Ч. II: метод указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей...
Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей iconМетодические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство
Основы вариационного исчисления. Ч. III: метод указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей...
Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей iconМетодические указания и варианты заданий для контрольных работ по курсу " концепции современного естествознания "
Методическая разработка содержит методические рекомендации и варианты заданий для контрольных работ. Она предназначена для студентов...
Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей iconМетодические рекомендации по выполнению расчетного задания по курсу «Информатика» для студентов специальностей 200106 «Информационно-измерительная техника и технологии»
Методические рекомендации предназначены в качестве руко-водства к самостоятельной работе студентов первого курса технических специальностей,...
Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей iconМетодические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм пермь 2006
...
Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей iconМетодические рекомендации по курсу начертательной геометрии для самостоятельной работы студентов механических специальностей
Методические рекомендации предлагаются для самостоятельной работы студентов дневной, вечерней и заочной форм обучения
Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей iconМетодические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе студентов по курсу математики для студентов всех специальностей
Методические указания предназначены для проведения практических занятий и организации самостоятельной работы студентов с целью выработки...
Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей iconМетодические рекомендации для самостоятельной работы студентов механических специальностей Бийск 2010 удк 744. 4 (076) С17
Методические рекомендации предназначены для индивидуальной работы студентов, углубленно изучающих курс начертательной геометрии
Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей iconМетодические указания к самостоятельной работе студентов 1-го курса всех специальностей, изучающих химию
Д. И. Менделеева. Прогнозирование свойств элементов и их соединений : методические указания к самостоятельной работе студентов 1-го...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org