Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей



страница6/14
Дата19.10.2012
Размер0.74 Mb.
ТипМетодические рекомендации
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

2.6 Интегрирование рациональных функций



Определение 3. Функция вида

,

где – натуральное число, – постоянные коэффициенты, назы-вается многочленом или целой рациональной функцией. Число степень многочлена.

Определение 4. Корнем многочлена называется такое значение , при котором многочлен обращается в нуль, то есть .

Теорема 2. Если – корень многочлена , то многочлен делится без остатка на , то есть

,

где – многочлен степени .

Теорема 3 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен -й степени имеет, по крайней мере, один корень, действительный или комплексный.

Теорема 4. Всякий многочлен можно представить в виде

,

где , , …, – корни многочлена;

– коэффициент многочлена при .

Теорема 5. Два многочлена тождественно равны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.

Теорема 6. Если многочлен с действительными коэффици-ентами имеет комплексный корень , то он имеет и сопряженный корень .

Теорема 7. Всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратные множители, дискриминант которых меньше нуля, с действительными коэффициентами, то есть



При этом . Все квадрат-ные трехчлены не имеют действительных корней. Например, разложим на множители многочлены:

;

gif" align=bottom>;

.

2.6.1 Дробно-рациональная функция

Дробно-рациональной функцией называется функция, равная отношению двух многочленов, то есть

,

где – многочлен степени ;

– многочлен степени .

Определение 5. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя, в противном случае рациональная дробь называется неправильной.

2.6.2 Правильные рациональные дроби

I) ;

II) ;

III) ;

IV) .

Определение 6. Дроби вида I–IV называются простейшими рациональными дробями. Квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Интегрирование простейших дробей вида I–IV не составляет большой трудности.

I) .

II)



III). В числителе выделим производную квадрат-ного трехчлена и преобразуем числитель:







, так как квадратный трехчлен не имеет действительных корней

.

IV)в числителе выделим производную квад-ратного трехчлена , тогда



во втором интеграле выделим полный квадрат в знаменателе

. Введем новую переменную , обозначим



.

Интеграл берем по рекуррентной формуле

.

Пример 18. Найти интеграл .

Решение.

.

Пример 19. Найти интеграл .

Решение.





Теорема 8. Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители

,

можно представить и притом единственным образом в виде суммы простейших дробей:



где , , …, , , …, , , …, , , … – некоторые действительные коэффициенты.

1. Линейным множителям будут соответствовать простей-шие дроби I-II типа.

2. Квадратным множителям будут соответствовать простей-шие дроби III-IV типа.

3. Число простейших дробей, соответствующих линейному или квадратному множителю , равно степени, в которой этот множи-тель входит в разложение .

2.6.3 Разложение правильной рациональной дроби на сумму

простейших

При интегрировании правильных дробей необходимо:

  1. разложить знаменатель дроби на простейшие линейные или квадратные множители, дискриминант которых меньше нуля;

  2. представить данную дробь в виде суммы простейших дробей типа I–IV по правилу разложения правильной дроби на сумму простейших;

  3. привести полученные дроби к наименьшему общему знаменателю;

  4. приравнять числители данной дроби и полученной дроби;

  5. приравнять коэффициенты при одинаковых степенях много-членов левой и правой частей полученного равенства на основании теоремы о равенстве двух многочленов;

  6. решить систему уравнений относительно неизвестных коэффи-циентов, входящих в числители простейших дробей;

  7. подставить найденные коэффициенты в разложение данной дроби на сумму простейших дробей;

  8. найти интегралы от суммы простейших дробей.

Описанный метод называется методом неопределенных коэффи-циентов.

Правило разложения правильной рациональной дроби на сумму простейших заключается в следующем:

1. Каждому неповторяющемуся множителю вида в разло-жении знаменателя правильной рациональной дроби соответствует одна простейшая дробь вида .

2. Каждому неповторяющемуся множителю вида в разло-жении знаменателя правильной рациональной дроби соответствует сумма простейших дробей:

.

3. Каждому неповторяющемуся множителю вида () в разложении знаменателя правильной рациональной дроби соответствует одна простейшая дробь вида

.

4. Каждому неповторяющемуся множителю вида

в разложении знаменателя правильной рациональной дроби соответствует сумма простейших дробей:

.

2.6.4 Интегрирование неправильных рациональных дробей

2.6.4.1 Если рациональная дробь неправильная, то ее нужно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби путем деления числителя на знаменатель, то есть

. (10)

2.6.4.2 Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей;

2.6.4.3 Проинтегрировать многочлен и полученную сумму прос-тейших дробей.

Рассмотрим примеры.

2.6.5 Корни знаменателя действительные и различные

Пример 20. Найти интеграл .

Решение. Дробь под знаком интеграла правильная, так как степень числителя меньше степени многочлена.

а) Разложим знаменатель на простые множители

.

Найдем корни квадратного трехчлена по теореме Виета:



Тогда .

б) Подынтегральную функцию представим в виде суммы прос-тейших дробей с неопределенными коэффициентами

.

Правую часть приведем к общему знаменателю

.

Так как две дроби с одинаковыми знаменателями равны, то тождественно равны их числители

. (11)

Для нахождения неопределенных коэффициентов применяют метод отдельных значений аргумента: аргументу придают число-вые значения столько раз, сколько неопределенных коэффициентов. Обычно за берут значения действительных корней знаменателя. Пусть . Подставим это значение в левую и правую части тождества (11), получим

.

Пусть .

,

отсюда

.

Пусть .

,

отсюда

.

в) Таким образом, интеграл может быть представлен в виде суммы трех простейших интегралов



.

2.6.6 Корни знаменателя действительные, среди них есть

кратные

Пример 21. Найти интеграл .

Решение.

а) Разложим знаменатель на простые множители. Методом подбора можно установить, что один корень равен 1, тогда многочлен делится без остатка на :



Имеем

.

б) Подынтегральная функция может быть представлена в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами

.

Правую часть приведем к общему знаменателю, получим

.

Приравняем числители, получим тождество

.

Пусть , тогда

, .

Пусть , тогда

, .

Так как действительных корней больше нет, то пусть, например, , тогда

.

В данное равенство подставим известные значения и , найдем : , , .

в) Таким образом,




2.6.7 Корни знаменателя комплексные и различные

Пример 22. Найти интеграл .

Решение. Под знаком интеграла правильная рациональная дробь, так как степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя.

Квадратный трехчлен не имеет действительных корней, так как дискриминант . Оба множителя знаменателя не имеют действительных корней, то есть корни знаменателя комплексные, поэтому подынтегральная функция может быть представлена в виде суммы двух простейших дробей

.

Приведем правую часть к общему знаменателю:

.

Данные дроби с одинаковыми знаменателями равны, следова-тельно, тождественно равны их числители

.

Раскроем в правой части скобки и сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями:



.

Два многочлена тождественно равны, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях :



Решим систему методом Гаусса, для этого выпишем расширен-ную матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членах и сведем ее к ступенчатому виду:

.

Первую строку умножим на и сложим с третьей строкой, вторую строку умножим на и сложим с четвертой строкой, получим матрицу

.

Третью строку умножим на 8 и сложим с четвертой строкой, получим матрицу

.

Четвертую строку разделим на 17, получим матрицу

.

Запишем систему уравнений для полученной матрицы:



Таким образом, интеграл может быть представлен в виде суммы двух интегралов:



2.6.8 Общий случай

Пример 23. Найти интеграл .

Решение.

а) Рациональная дробь, стоящая под знаком интеграла, неправильная, так как степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе.

Выделим ее целую часть путем деления числителя на знаменатель:



Дробь можно представить в виде суммы целой части и правильной рациональной дроби:

.

б) Разложим правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей:

.

Квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

в) Правую часть приведем к общему знаменателю, тогда получим

.

Данные дроби равны, если тождественно равны их числители:

.

Преобразуем:

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях :



Итак, имеем

.

г) Интегрируем полученное равенство:



Любая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

Похожие:

Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей iconМетодические рекомендации и задания по самостоятельной работе для студентов специальностей
Соколова О. Г. Логистика: Методические рекомендации и задания по самостоятельной работе для студентов специальностей: 050802 – «Экономика...
Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей iconМетодические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство
Основы вариационного исчисления. Ч. II: метод указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей...
Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей iconМетодические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство
Основы вариационного исчисления. Ч. III: метод указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей...
Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей iconМетодические указания и варианты заданий для контрольных работ по курсу " концепции современного естествознания "
Методическая разработка содержит методические рекомендации и варианты заданий для контрольных работ. Она предназначена для студентов...
Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей iconМетодические рекомендации по выполнению расчетного задания по курсу «Информатика» для студентов специальностей 200106 «Информационно-измерительная техника и технологии»
Методические рекомендации предназначены в качестве руко-водства к самостоятельной работе студентов первого курса технических специальностей,...
Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей iconМетодические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм пермь 2006
...
Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей iconМетодические рекомендации по курсу начертательной геометрии для самостоятельной работы студентов механических специальностей
Методические рекомендации предлагаются для самостоятельной работы студентов дневной, вечерней и заочной форм обучения
Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей iconМетодические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе студентов по курсу математики для студентов всех специальностей
Методические указания предназначены для проведения практических занятий и организации самостоятельной работы студентов с целью выработки...
Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей iconМетодические рекомендации для самостоятельной работы студентов механических специальностей Бийск 2010 удк 744. 4 (076) С17
Методические рекомендации предназначены для индивидуальной работы студентов, углубленно изучающих курс начертательной геометрии
Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей iconМетодические указания к самостоятельной работе студентов 1-го курса всех специальностей, изучающих химию
Д. И. Менделеева. Прогнозирование свойств элементов и их соединений : методические указания к самостоятельной работе студентов 1-го...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org