Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей



страница7/14
Дата19.10.2012
Размер0.74 Mb.
ТипМетодические рекомендации
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   14

2.7 Интегрирование тригонометрических функций



Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригоно-метрических функций.

  1. Интегралы вида

Для нахождения таких интегралов используют следующие приемы.

2.7.1.1 Если хотя бы одно из чисел и – нечетное целое положительное число, например, , то делают подстановку , тогда . Выражение под знаком интеграла преобразуют так:



В итоге получается



то есть получен интеграл от степенной функции.

Пример 24. Найти интеграл .

Решение.







        1. Если , то делают подстановку , тогда . Выражение под знаком интеграла преобразуют анало-гично предыдущему случаю:





Пример 25. Найти интеграл .

Решение.







2.7.1.3 Если , – целые неотрицательные четные числа, то в этом случае используют формулы понижения степени

, , .

Пример 26. Найти интеграл .

Решение.







gif" align=bottom>в первом интеграле у функции степень четная, используем формулу понижения степени . Во втором интеграле используем метод подведения под знак дифференциала:






2.7.1.4 Если – четное отрицательное целое число, тогда используют подстановку , а . При данной подста-новке

, , , .

В некоторых случаях удобнее сделать подстановку

, .

Пример 27. Найти интеграл .

Решение.

– четное отрицатель-ное целое число. Используем подстановку





.

2.7.2 Интегралы вида и , где , – рациональные функции

В первом случае делают подстановку , . Во втором – , а , тогда .

Пример 28. Найти интеграл .

Решение.



, тогда







2.7.3 Интегралы вида

Здесь – рациональная функция от синуса и коси-нуса. Для нахождения данного интеграла используют универсальную тригонометрическую подстановку: , тогда ,

, , .

В результате данной подстановки получают интеграл рацио-нальной функции от переменной :

.

Данную подстановку рекомендуется применять, если и входят в функцию в нечетной степени.

Пример 29. Найти интеграл .

Решение. Применяя подстановку , получим



в знаменателе выделим полный квадрат:



.

На практике универсальная подстановка иногда приводит к слишком сложным рациональным функциям, поэтому если функция четная относительно синуса и косинуса, то удобнее применить подстановку , , , , .

Пример 30. Найти интеграл .

Решение. Функция является четной относительно синуса и косинуса, то есть



Применим подстановку , получим





в знаменателе выделим полный квадрат:







2.7.4 Интегралы вида

В данном случае применяют подстановку , , .

Пример 31. Найти интеграл .

Решение. Применим к данному интегралу подстановку , получим . Под знаком интеграла имеем неправильную рациональную дробь . Выделим целую часть путем деления числителя на знаменатель:



Подынтегральную функцию можно представить в виде суммы целой части и правильной рациональной дроби , а данный интеграл в виде суммы трех интегралов:



2.7.5 Интегралы вида , ,

Подынтегральные функции в данных интегралах преобразуются с помощью тригонометрических формул:

, (12)

, (13)

. (14)

Пример 32. Найти интеграл .

Решение. Применим к подынтегральной функции формулу (14), получим


1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   14

Похожие:

Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей iconМетодические рекомендации и задания по самостоятельной работе для студентов специальностей
Соколова О. Г. Логистика: Методические рекомендации и задания по самостоятельной работе для студентов специальностей: 050802 – «Экономика...
Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей iconМетодические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство
Основы вариационного исчисления. Ч. II: метод указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей...
Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей iconМетодические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм издательство
Основы вариационного исчисления. Ч. III: метод указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей...
Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей iconМетодические указания и варианты заданий для контрольных работ по курсу " концепции современного естествознания "
Методическая разработка содержит методические рекомендации и варианты заданий для контрольных работ. Она предназначена для студентов...
Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей iconМетодические рекомендации по выполнению расчетного задания по курсу «Информатика» для студентов специальностей 200106 «Информационно-измерительная техника и технологии»
Методические рекомендации предназначены в качестве руко-водства к самостоятельной работе студентов первого курса технических специальностей,...
Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей iconМетодические указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей км и дпм пермь 2006
...
Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей iconМетодические рекомендации по курсу начертательной геометрии для самостоятельной работы студентов механических специальностей
Методические рекомендации предлагаются для самостоятельной работы студентов дневной, вечерней и заочной форм обучения
Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей iconМетодические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе студентов по курсу математики для студентов всех специальностей
Методические указания предназначены для проведения практических занятий и организации самостоятельной работы студентов с целью выработки...
Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей iconМетодические рекомендации для самостоятельной работы студентов механических специальностей Бийск 2010 удк 744. 4 (076) С17
Методические рекомендации предназначены для индивидуальной работы студентов, углубленно изучающих курс начертательной геометрии
Методические рекомендации по самостоятельной работе и варианты заданий к типовому расчету для студентов специальностей iconМетодические указания к самостоятельной работе студентов 1-го курса всех специальностей, изучающих химию
Д. И. Менделеева. Прогнозирование свойств элементов и их соединений : методические указания к самостоятельной работе студентов 1-го...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org