Немного истории



Скачать 66.99 Kb.
Дата19.10.2012
Размер66.99 Kb.
ТипДокументы




Понятие степени числа рассматривается в школьном курсе алгебры с 7 класса, где вводится понятие степени с натуральным показателем. В 8 классе ученики знакомятся с понятием степени с целым отрицательным показателем, а в 9 – показатель степени становится рациональным. В данной работе проведено обобщение всех этих понятий.

Рассмотрены определения и свойства степени с различными показателями, проведено доказательство одного из свойств для натурального, целого отрицательного и рационального показателей. Приведены примеры применения свойств степени, решены задачи, встречающиеся в заданиях к ЕГЭ. Эти задачи содержат преобразования, выполняемые по определению степеней с различными показателями и их свойствам.

В дополнение к данной работе, создана презентация, которая может использоваться на уроках алгебры 11 класса для повторения и обобщения понятия степени, а также для самостоятельной работы учащихся при подготовке к урокам, ЕГЭ.
Немного истории

Возведение в n-ю степень первоначально понималось как повторение некоторого числа с множителем n раз.

С этой точки зрения такие выражения, как 9-2 или 91,5 представляются бессмысленными, так как нельзя взять число 9 сомножителем «минус два» раза или 1,5 раза. Тем не менее в математике этим выражениям придают определённый смысл; именно 9-2 считают равным ; 91,5 считают равным и т. д. Здесь происходит тоже обобщение понятия математического действия, какое совершается в математике постоянно; простейшим и самым ранним обобщением такого рода было обобщение действия умножения на случай дробного множителя. Можно было бы вовсе не вводить ни дробных, ни отрицательных степеней. Но только тогда пришлось бы задачи одного и того же рода решать не по одному правилу, а с помощью множества различных правил. Лишь в конце 17 века с усложнением и ростом числа математических задач появилась настоятельная необходимость в обобщении понятия степени; в этом направлении и пошли некоторые учёные; в окончательной форме это сделал Ньютон (1).
Степень с натуральным показателем

Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.



Степенью числа а с показателем 1 называется само число а.


Степень с основанием а и показателем n записывается: аⁿ
Нахождение значения степени называют возведением в степень

Примеры возведения в степень:



При возведении в степень положительного числа получается положительное число; при возведении в степень нуля получается нуль.

При возведении в степень отрицательного числа может получиться как положительное число, так и отрицательное.

Например:

(-2)¹= -2;

(-2)²=(-2)×(-2)= 4;

(-2)³=(-2)×(-2)×(-2)= -8.
Степень отрицательного числа

Степень отрицательного числа с четным показателем – положительное число, так как произведение четного числа отрицательных множителей положительно.
Степень отрицательного числа с нечетным показателем – отрицательное число, так как произведение нечетного числа отрицательных множителей отрицательно.
Квадрат любого числа есть положительное число или нуль,т.е. а²≥0 при любом а.

Степень с целым показателем

Если а≠0 и n – натуральное число, то



Пример:


Степень с рациональным показателем

Если а – положительное число, – рациональное число

(m – целое, n – натуральное), то


Если – дробное положительное число, (m и n - натуральные), то




Рассмотрим различные свойства степеней.
Умножение степеней с одинаковым основанием

Для того чтобы перемножить степени с одинаковым основанием, нужно основание оставить тем же, а показатели сложить, т. е. an×am=am+n

Доказательство:

1. Для степеней с натуральным показателем





2. Для степеней с целым отрицательным показателем (a≠0)


3.
3. Для степеней с дробным показателем (a>0)



Деление степеней с одинаковым основанием

Для того чтобы разделить степени с одинаковым основанием, нужно основание оставить тем же, а от показателя делимого отнять показатель делителя, т. е. an:am=an-m (a≠0)









Н
апример:




Возведение степени в степень

Для того чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить тем же, а показатели перемножить, т. е. (an)m=an*m







Например:









Возведение в степень произведения

Для того чтобы возвести в степень произведение двух или нескольких множителей, нужно каждый множитель возвести в эту степень, а результаты перемножить, т. е. (ab)n=an bn



Например:

Возведение в степень дроби

Для того чтобы возвести дробь в степень, нужно числитель и знаменатель возвести в степень, полученные результаты записать соответственно в числитель и знаменатель, т. е.




Например:

Задача 1

Упростить выражение:


Решение: Для упрощения данного выражения необходимо разложить числитель и знаменатель каждой из дробей на множители, выполнить умножение и сокращение дробей



Задача 2

Найти значение выражения:

Решение: Для нахождения значения данного выражения представим 81=34,




; а потом применим свойство возведения степени в степень


Задача 3 (ЕГЭ)

Вычислите:

Возможные варианты ответа:

1)27,25 2)31 3)27 4) 27

Решение:



Ответ: Правильный ответ 1) 27,25



Задача 4 (ЕГЭ)

Упростите выражение:
Возможные варианты ответа:

1) 8 2) 4 3) 4 4)
Решение: Возведем выражение в квадрат, используя формулу сокращенного умножения


Применим свойство возведения в степень произведения, а затем формулу умножения разности двух чисел на их произведение


Ответ: правильный ответ 3) 4

Заключение

Тема «Степень числа » является важной темой курса алгебры 7-9 классов. Важность ее в том, что к концу девятого класса ученики должны разобраться со всеми определениями, понимать различия между степенями с целым отрицательным показателем и, например, с рациональным показателем. А также, должны научиться применять различные свойства степени, каждое в отдельности и по несколько одновременно. Все это необходимо для того, чтобы уметь решать различные задачи и подготовиться к более сложному материалу, который придется осваивать в старших классах. Кроме того, тесты ЕГЭ содержат большое количество заданий по данной теме. Для успешной сдачи экзамена в 11 классе, необходимо иметь знания и умения по этой теме.

Список литературы:


  1. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике.- М.: Изд-во «Наука», 1972 г. -416с.

  2. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 классов. - М.: Просвещение, 2000.-384с.

  3. Корешкова Т. А., Мирошин В. В., Шевелева Н. В. Математика: тренировочные тесты ЕГЭ.- М.: Изд-во «Эксмо»,2005.-80 с.

  4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 7класса.- М.: Просвещение, 2003.-240с.

  5. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 класса.- М.: Просвещение, 2003.-238с.

  6. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 9 класса.- М.: Просвещение, 2002.-270с.

Похожие:

Немного истории iconО науке, времени и людях
Немного раньше, немного позже, немного так, немного иначе – но волновавшие меня ощущения будут выражены и определят собою характер...
Немного истории icon1. Немного истории Немного об открытии химических элементов Химические элементы
Но поскольку они проводили различные опыты, им удалось сделать несколько важных практических изобретений. Стали использоваться печи,...
Немного истории iconРасчёт (эмпирический) потребности в тепле помещения и необходимого количества батарей. Немного об истории расчёта
Немного об истории расчёта. Эти указания даны для выполнения «эмпирического» расчёта необходимого количества элементов для обогрева...
Немного истории iconЕще немного истории и немного полемики
Советского Союза. 30 октября Рузвельт сообщил Сталину о решении предоставить беспроцентный заем 1 миллиард долларов. 7 ноября Президент...
Немного истории iconКак интерпретировать Писание. (Эккерхард Мюллер, гк асд, Библейская конференция 2005 г.)
Поваренная книга. Возьми немного масла, немного муки, немного соли и т д. Да, из этого можно постряпать немного блинов или булочек....
Немного истории icon1. Из истории развития синоптической метеорологии
...
Немного истории iconIi чего боятся Келегорм и Куруфин?
Чтобы попытаться уяснить этот вопрос, нам придется для начала продвинуться по хронологии немного вперед, причем обратиться к истории...
Немного истории iconПознакомьтесь со Spider Project Владимир Либерзон, pmp введение (немного истории)

Немного истории iconНемного из истории (18 век) просто, чтобы освежить в памяти и иметь представление(оставила основное или же важное для литры)

Немного истории iconВенесуэла: немного истории
А из Нового Света через океан на кораблях поплыли в Европу диковинные вещи – табак и вредная привычка к курению, картофель и томаты,...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org