Свойства многочленов



Скачать 38.48 Kb.
Дата20.10.2012
Размер38.48 Kb.
ТипКонтрольная работа
Свойства многочленов.

О многочленах учащиеся впервые получают представление в 7 классе. Знакомятся с определением, выясняют, что называют коэффициентами и степенью, учатся выполнять простейшие действия с многочленами. Остаются слабо изученными несколько вопросов: деление многочлена на многочлен, возведение многочлена в степень, корни многочлена, разложение на множители многочленов. Профильное изучение математики в 11 классе позволяет расширить знания и представления о многочленах. Учащиеся знакомятся с теоремой Безу и схемой Горнера, учатся делить многочлены и решать уравнения с несколькими переменными.

Контрольная работа № 1 «Многочлены».

Вариант 3 (2ч).

1. Найдите остаток от деления многочлена на многочлен .

Решение: можно выполнить деление многочленов «в столбик», а можно решить вопрос при помощи системы уравнений, введя неопределённые коэффициенты.

13х3 + 67х2 – 3х + 4

х2 + 5х + 1

13х3 + 65х2 + 13х

13х + 2

2 - 16х + 4




2 + 10х + 2




-26х + 2




Итак, мы получили, что f(x)=p(x)∙(13x+2)+(-26x+2), таким образом, многочлен r(x)=-26x+2 и есть искомый остаток.

Ответ: -26х+2 – искомый остаток.
2. Дан многочлен

.

а) Приведите данный многочлен к стандартному виду.

б) Установите, является ли данный многочлен однородным.

в) Если данный многочлен является однородным, определите его

степень.

Решение: а) приведём многочлен к стандартному виду: для этого раскроем все скобки и приведём подобные слагаемые:

f(x,y) = 7ху2 - 3х4у2 - 11ху2 + 17 - 7х2 + 2у2 - 2х4у2 - 2х2 + 2ху – ху + у2 = -7х4у2-4ху2 - 9х2 + ху + 3у2 + 17.
Итак, стандартный вид многочлена (в порядке убывания степеней переменных) имеет вид f(x,y)=-7х4у2-4ху2-9х2+ху+3у2+17.

Ответ: f(x,y)=-7х4у2-4ху2-9х2+ху+3у2+17. Многочлен не является однородным, но его степень определить можно, она равна 6 (степень старшего одночлена).

3. Разложите многочлен на множители: а);

б) .

Решение: а) 4у2∙(у-3)+(3-у)2=(у-3)∙(4у2+у-3)=(у-3)∙(у+1)∙(4у-3);

б) 8a3-36a2b+54ab2-27b3=(2a)3-3∙(2a)2∙3b+3∙(2a)∙(3b)2-(3b)3=(2a-3b)3.

Ответ: a) (у-3)∙(у+1)∙(4у-3); б) (2a-3b)3.

4. Решите уравнение: а) ; б) .

Решение: а) уравнение приведённое, проверим, есть ли у него целые корни. По теореме Безу, корни являются делителями свободного коэффициента, т.е. 10: ±1; ±2; ±5; ±10. Проверив у=-2, получим верное числовое равенство: -8-8+6+10=0, таким образом, мы знаем один из корней, а, следовательно, и линейный множитель при разложении на множители многочлена третьей степени: у3-2у2-3у+10=(у+2)∙(у2-4у+5). Значит, нам нужно решить квадратное уравнение у2-4у+5=0, но у этого уравнения действительных корней нет, так как его дискриминант отрицательный. Таким образом, -2 – единственный корень нашего уравнения.

б) преобразуем уравнение к виду: (х2+3х)∙(х2+3х+2)-3=0 или (х2+3х+1-1)∙(х2+3х+1+1)-3=0, откуда (х2+3х+1)2-1-3=0 или (х2+3х+1)2=4. Решение последнего уравнения сводится к решению совокупности двух квадратных уравнений:

Ответ: а) -2; б)

5. Решите систему уравнений

Решение: умножим первое уравнение системы на 2 и вычтем из него почленно второе уравнение, получим: 3у2-6ху+3х2=0. Откуда х-у=0 или х=у, но при этом условии первое уравнение системы принимает вид: х2=3. Таким образом, система уравнений имеет два решения: и .

Ответ: и .

6. При каких значениях параметра многочлен имеет кратные корни? Найдите эти корни.

Решение: используя теорему Виета многочлен f(x) можно разложить на пять линейных множителей: f(x)=(х+1)∙(х+2а)∙(х-2)∙(х-а)∙(х-1). Следовательно, корнями многочлена f(x) будут числа: -1; -2а; 2; а; 1. Для того, чтобы многочлен f(x) имел кратные корни нужно выполнение одного из равенств для полученных корней:

1) а=-1; 2) а=2; 3) а=1; 4) -2а=-1 при а=0,5; 5) -2а=2 при а=-1; 6) -2а=1 при а=-0,5; 7) -2а=а при а=0.

Ответ: заданный многочлен будет иметь кратные корни при а=0; а=±0,5; а=±1; а=2.

При а=0, х=0 – корень кратности 2;

при а=1, х=1 – корень кратности 2;

при а=2, х=2 – корень кратности 2;

при а=0,5, х=-1 – корень кратности 2;

при а=-0,5, х=1 – корень кратности 2;

при а=-1, х=-1 – корень кратности 2 и х=2 – корень кратности 2.

Похожие:

Свойства многочленов iconАлгебраическая независимость чисел, часть I
Результант многочленов от одной переменной и его свойства. Оценка снизу макси­мального из значений двух взаимно простых многочленов...
Свойства многочленов iconДеление многочленов. Схема Горнера
Наряду со сложением, вычитанием, умножением многочленов существует такое действие, как деление многочленов
Свойства многочленов iconАлгебра матрицы и определители. Определения определителя и его основные свойства. Теорема о разложении определителя по элементам строки (столбца). Критерий обратимости матрицы. Алгебра многочленов. Наибольший общий делитель двух многочленов
Вопросы к вступительному экзамену (собеседование) в магистратуру по направлению 010100. 68 – Математика
Свойства многочленов iconЛитература : В. А. Тиморин, А. Г. Хованский // Математическое просвещение. Сер. 3, 2010. №14. C. 30-57 1-3 курс
Безу о числе общих нулей n многочленов от n комплексных переменных верна для многочленов общего положения, и выражает число нулей...
Свойства многочленов iconВопросы к экзамену (2 семестр) Бинарные отношения. Примеры
Кольцо многочленов. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Кратность корня многочлена
Свойства многочленов iconРабочая программа по дисциплине Алгебра для специальности (направления)
Виета; наибольший общий делитель многочленов, его нахождение с помощью алгоритма Евклида; кольцо многочленов от нескольких переменных;...
Свойства многочленов iconУмножение многочленов
Цель: знакомство учащихся с алгоритмом умножения многочлена на многочлен; выработка умения преобразовывать произведения любых двух...
Свойства многочленов iconНулевой многочлен по определению имеет степень
Кольцо многочленов от одной переменной (доказательство свойств операций сложения, умножения двух многочленов). Степень многочлена....
Свойства многочленов iconПрограммные средства генерации и тестирования многочленов с заданными свойствами над конечными полями
Описываются возможности программного обеспечения по тестированию и генерации многочленов обладающих свойствами неприводимости, примитивности...
Свойства многочленов iconПрограмма вступительного экзамена в аспирантуру по специальности 05. 13. 19 «Методы и системы защиты информации, информационная безопасность»
Линейная алгебра. Понятия группы, кольца, поля, их основные свойства. Основы теории конечных полей. Кольца вычетов. Кольцо многочленов...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org