Лабораторная работа Имитационное моделирование случайных событий, случайных величин



Скачать 143.5 Kb.
Дата20.10.2012
Размер143.5 Kb.
ТипЛабораторная работа
Лабораторная работа 3.

Имитационное моделирование случайных событий, случайных величин

1. Цель работы

- изучить алгоритмы и методы имитации случайных событий;

- изучить алгоритмы и методы имитации случайных величин (СВ): метод обратной функции (обратного преобразования) и метод кусочной аппроксимации функции плотности распределения вероятностей;

- изучить статистические методы обработки результатов моделирования.

2. Задание к лабораторной работе

Часть 1. Имитационное моделирование событий

Решить задачу, соответствующие Вашему варианту, на основе использования аналитического метода (с помощью формул теории вероятностей) и имитационного моделирования, сравнить полученные результаты.

Задача.

Оценить надежность изделия (в соответствии с вариантом), состоящего из трех узлов и устройств A, B, C, D, E, F. Узел выходит из строя, когда выходят из строя все устройства, входящие в узел. Изделие выходит из строя, когда отказывает хотя бы один из его узлов. Вероятности безотказной работы всех устройств равны соответственно: P(A)=0,8; P(B)=0,7; P(C)=0,95; P(D)=0,85; P(E)=0,9; P(F)=0,7.

Рассчитать аналитически вероятность безотказной работы всей системы.

Оценить вероятность безотказной работы системы с помощью имитационных методов. Количество имитационных экспериментов N=100.

Сравнить аналитическую вероятность безотказной работы системы с оценкой вероятности, рассчитанной на основе применения методов имитационного моделирования. Сделать выводы.

Варианты заданий

Вариант 1, 9.


Вариант 2, 10.

Вариант 3, 11.

Вариант 4, 12.

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8.

Часть 2. Имитационное моделирование случайных величин

1. Осуществить моделирование последовательности значений случайной величины (СВ) Y с заданной функцией плотности распределения вероятностей в соответствии с вариантом (см. табл. 1) в GPSS. Длина последовательности N=100.

Таблица 1.

Вариант

Функция плотности распределения СВY

1.

, 0.1

2.

, 0.2

3.


, 0.4

4.

, 4

5.

, 6

6.

, 0.5

7.

, 0.1

8.

, 0.2

9.

, 0.4

10.

, 4

11.

, 6

12.

, 0.5


1.1. Реализовать моделирование на основе использования метода обратной функции.

1.2. Реализовать моделирование на основе использования метода кусочной аппроксимации функции плотности распределения вероятностей.

2. Провести статистическую обработку результатов моделирования.

2.1. Рассчитать теоретические значения математического ожидания и дисперсии заданной СВ.

2.2. Вычислить оценки математического ожидания и дисперсии СВ.

2.3. Вычислить ошибки оценивания математического ожидания и дисперсии при использовании разных методов моделирования. Результаты свести в таблицу 2. Проанализировать таблицу, сделать выводы относительно точности моделирования.

Таблица 2.

Метод

моделирования

ошибка оценки мат. ожидания

ошибка оценки дисперсии





















2.4. Для полученных последовательностей значений CВ Y двумя методами построить графики гистограмм средствами GPSS.

2.5. Оценить объем выборки, необходимый для оценки математического ожидания и дисперсии с точностью 0,01 и достоверностью 0,95, 0,99.

2.6. На основе проведенного исследования сравнить методы моделирования по точности и сделать выводы.

Теоретические сведения. Методические указания к работе
Алгоритмы имитации случайных событий
Имитация элементарного события. Пусть некоторое событие А происходит с вероятность р. Поставим в соответствие событию А событие В, состоящее в том, что , где x – здесь и в дальнейшем СЧ с равномерным законом распределения на интервале (0,1). Очевидно, что вероятность . Отсюда следует процедура имитации факта появления события А. Она сводится к проверке неравенств .
Если , то это значит, что А произошло; если , то произошло .
Имитация сложного события, состоящего, например, из двух независимых элементарных событий А и В заключается в проверке неравенств:

Здесь и - СЧ с равномерным законом распределения, принадлежащие интервалу (0, 1).
В зависимости от исхода проверки неравенств (аналогично алгоритму в 2.1.1 ) делается вывод, какой из вариантов сложного события: имеет место.
Имитация зависимых событий. В случае, когда сложное событие состоит из элементарных зависимых событий А и В имитация сложного события производится с помощью проверки следующих неравенств:
.
В зависимости от того, какая из этих четырех систем неравенств выполняется, делается вывод о том, какой из четырех возможных исходов имеет место: .

В качестве исходных данных задаются . Условная вероятность может быть вычислена по формуле полной вероятности.
Имитация полной группы событий. Имитация событий (), составляющих полную группу, сводится к проверке неравенств
.
Выполнение к-го неравенства эквивалентно выполнению события . Здесь - вероятность наступления события . Описанный алгоритм иногда называют алгоритмом «розыгрыша по жребию».


Методические указания к части 2.
Для получения случайной величины R с равномерным распределением на отрезке [0;1] в GPSS имеются встроенные генераторы случайных чисел. Для получения случайного числа путем обращения к такому генератору достаточно записать системный СЧА RN с номером генератора, например RN1. Правда, встроенные генераторы случайных чисел GPSS/PC дают числа не на отрезке [0;1], а целые случайные числа, равномерно распределенные от 0 до 999, но их нетрудно привести к указанному отрезку делением на 1000.

При каждом запуске системы генераторы выдают одну и ту же последовательность чисел. Команда PMULT позволяет изменить эту последовательность путем изменения начальных множителей.

Формат команды: PMULT A,B,C,D,E,F,G

Операнды A,B,C,D,E,F,G задают соответственно начальные множители для 1-7 генераторов случайных чисел.

Например, PMULT 890,,,5, устанавливает начальные состояния множителей генераторов случайных чисел 1 и 4.

Вычисления в GPSS выполняются с использованием переменных. Они могут быть целыми и действительными (с плавающей точкой). Действительные переменные определяются перед началом моделирования с помощью оператора определения FVARIABLE (переменная), имеющего следующий формат:

Имя FVARIABLE выражение

Здесь имя - имя переменной, используемое для ссылок на нее, а выражение - арифметическое выражение, определяющее переменную.

Арифметическое выражение представляет собой комбинацию операндов, в качестве которых могут выступать константы, функции, знаки арифметических операций и круглых скобок. Следует заметить, что знаком операции умножения в GPSS является символ #.

Переменные могут быть использованы для получения значений случайной величины с заданным законом распределения. Пусть необходимо сгенерировать равномерную СВ на интервале [5, 15].

TARR FVARIABLE 10#(RN1/1000)+5

GENERATE V$TARR
Такой способ является достаточно трудоемким, так как требует обращения к математическим функциям, вычисление которых требует десятков машинных операций. Другим возможным способом является использование вычислительных объектов GPSS типа функция.

Функции используются для вычисления величин, заданных табличными зависимостями. Каждая функция определяется перед началом моделирования с помощью оператора определения FUNCTION (функция), имеющего следующий формат:

Имя FUNCTION A,B

Здесь имя - имя функции, используемое для ссылок на нее; A – стандартный числовой атрибут, являющийся аргументом функции; B - тип функции и число точек таблицы, определяющей функцию.

Существует пять типов функций. Непрерывные числовые функции, тип которых кодируется буквой C. Так, например, в определении непрерывной числовой функции, таблица которой содержит 24 точки, поле B должно иметь значение C24.

При использовании непрерывной функции для генерирования случайных чисел ее аргументом должен быть один из генераторов случайных чисел RNj. Так, оператор для определения функции показательного распределения может иметь следующий вид:

EXP FUNCTION RN1,C24

Особенностью использования встроенных генераторов случайных чисел RNj в качестве аргументов функций является то, что их значения в этом контексте интерпретируются как дробные числа от 0 до 0,999999.

Таблица с координатами точек функции располагается в строках, следующих непосредственно за оператором FUNCTION. Эти строки не должны иметь поля нумерации. Каждая точка таблицы задается парой Xi (значение аргумента) и Yi (значение функции), отделяемых друг от друга запятой. Пары координат отделяются друг от друга символом "/" и располагаются на произвольном количестве строк. Последовательность значений аргумента Xi должна быть строго возрастающей.

Как уже отмечалось, при использовании функции в поле B блоков GENERATE и ADVANCE вычисление интервала поступления или времени задержки производится путем умножения операнда A на вычисленное значение функции. Отсюда следует, что функция, используемая для генерирования случайных чисел с показательным распределением , должна описывать зависимость y=-ln(1-x) (получена на основе использованчена на основе исползсел 1,л.ельность путем изменения начальных мнежителей.л. ()__________________________________________), представленную в табличном виде.

Оператор FUNCTION с такой таблицей, содержащей 24 точки для обеспечения достаточной точности аппроксимации, имеет следующий вид:

EXP FUNCTION RN1,C24

0,0/.1,.104/.2,.222/.3,.355/.4,.509/.5,.69/.6,.915

.7,1.2/.75,1.38/.8,1.6/.84,1.85/.88,2.12/.9,2.3

.92,2.52/.94,2.81/.95,2.99/.96,3.2/.97,3.5/.98,3.9

.99,4.6/.995,5.3/.998,6.2/.999,7/.9998,8

Вычисление непрерывной функции производится следующим образом.

Сначала определяется интервал (Xi;Xi+1), на котором находится текущее значение СЧА-аргумента (в нашем примере - сгенерированное значение RN1). Затем на этом интервале выполняется линейная интерполяция с использованием соответствующих значений Yi и Yi+1. Результат интерполяции используется в качестве значения функции. Если функция служит операндом B блоков GENERATE или ADVANCE, то результат умножается на значение операнда A.

Использование функций для получения случайных чисел с заданным распределением дает хотя и менее точный результат за счет погрешностей аппроксимации, но зато с меньшими вычислительными затратами (несколько машинных операций на выполнение линейной интерполяции).

Функции всех типов имеют единственный СЧА с названием FN, значением которого является вычисленное значение функции. Вычисление функции производится при входе транзакта в блок, содержащий ссылку на СЧА FN с именем функции.

При большом количестве транзактов, пропускаемых через модель (десятки и сотни тысяч), разница в скорости вычислений по данному способу и способу, описанному выше, должна стать заметной.

EXP FUNCTION RN1,C24

0,0/.1,.104/.2,.222/.3,.355/.4,.509/.5,.69/.6,.915

.7,1.2/.75,1.38/.8,1.6/.84,1.85/.88,2.12/.9,2.3

.92,2.52/.94,2.81/.95,2.99/.96,3.2/.97,3.5/.98,3.9

.99,4.6/.995,5.3/.998,6.2/.999,7/.9998,8

GENERATE 100,FN$EXP

В примере среднее значение СВ равно 100.

Пример табличного задания нормального распределения СВ, используется 25 точки для обеспечения достаточной точности аппроксимации.

NOR FUNCTION RN1, C25

0,-5/.00003,-4/.00135,-3/.00621,-2.5/.02275,-2

.06681,-1.5/.11507,-1.2/.15866,-1/.21186,-.8/.27425,-.6

.34458,-.4/.42074,-.2/.5,0/.57926,.2/.65542,.4

.72575,.6/.78814,.8/.84134,1/.88493,1.2/.93319,1.5

.97725,2/.99379,2.5/.99865,3/.99997,4/1,5

Данная таблица задает СВ Z с математическим ожиданием равным 0, и СКО равным 1. Для моделирования нормальной СВ X с другими значениями математического ожидания и СКО необходимо произвести вычисления по формуле:


Вопросы к работе.

1.Методы имитационного моделирования случайных событий: моделирование простых событий, моделирование полной группы событий, моделирование сложных независимых событий, моделирование сложных зависимых событий.

2.В каких случаях задачи пп. 1,2 следует решать методами имитационного моделирования, в каких случаях аналитически?

Методы формирования значений СВ с заданными законами распределения.

3. Суть метода обратной функции для генерации значений СВ с заданным законом распределения. Достоинства и недостатки метода.

4. Суть метода Неймана для генерации значений СВ с заданным законом распределения. Достоинства и недостатки метода.

5. Суть метода кусочной аппроксимации для генерации значений СВ с заданным законом распределения.

6. Способы задания закона распределения СВ: функция распределения, функция плотности распределения. Основные характеристики СВ: математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение [1, 2].

7.Закон больших чисел, центральная предельная теорема [3, 5, 6].

  1. Как рассчитать точность оценки математического ожидания, дисперсии по результатам моделирования случайной величины с заданным законом распределения?

  2. Как рассчитать количество реализаций, необходимых для оценки математического ожидания моделируемого распределения с заданной точностью?

  3. Каким образом реализуется имитация последовательности значений СВ в соответствии с заданным законом распределения в среде GPSS?



Литература





  1. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. – М.: «Финансы и статистика», 1983. – 471 с.

  2. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ, 1998. – 1022 с.

  3. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. – М.: Наука, 1978. – 399 с.

  4. Губарев В.В. Вероятностные модели / Новосиб. электротехн. ин-т. – Новосибирск, 1992. – Ч.1. – 198 с; Ч.2. – 188 с.

  5. Прицкер А. Введение в имитационное моделирование и язык СЛАМ II: Пер. с англ. – М.: Мир, 1987. – 646 с.

  6. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учеб. для вузов – М.: Высш. шк., 2001. – 343 с.

  7. Хачатурова С.М. Математическое моделирование в САПР. Сб. задач и упражнений / Новосиб. электротехн. ин-т. – Новосибирск, 1991 – 63 с.

  8. Томашевский В., Жданова Е. Имитационное моделирование в среде GPSS. – М.: Бестселлер, 2003. – 416 с.

  9. Советов Б.Я. Моделирование систем. Практикум: учеб. пособие для вузов/Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. – М.: Высш. шк., 2003. – 295 с.

Похожие:

Лабораторная работа Имитационное моделирование случайных событий, случайных величин iconСамостоятельная работа по теме «Элементы теории вероятностей. Основы описательной статистики» Приведите примеры случайных величин
Каковы вероятности и примеры достоверного случайного события и невозможного случайных событий?
Лабораторная работа Имитационное моделирование случайных событий, случайных величин iconФормирование выборки случайных чисел, распределенных по заданному закону распределения
Цель: освоение методов генерации последовательности значений случайных величин и построения графиков функций распределения и плотности...
Лабораторная работа Имитационное моделирование случайных событий, случайных величин iconВопросы экзамена по курсу «Имитационное моделирование экономических процессов»
Основные приемы имитационного моделирования. Функции распределения основных случайных величин
Лабораторная работа Имитационное моделирование случайных событий, случайных величин iconЛабораторная работа №3 Моделирование дискретно распределённых случайных величин
...
Лабораторная работа Имитационное моделирование случайных событий, случайных величин iconТемы курсовых работ по дисциплине «Имитационное моделирование экономических процессов»
Основные приемы имитационного моделирования. Генерация случайных величин, распределённых равномерному и нормальному закону распределения...
Лабораторная работа Имитационное моделирование случайных событий, случайных величин icon2 Сходимость последовательностей случайных величин
Рассмотрим последовательность случайных величин. Различают несколько типов сходимости
Лабораторная работа Имитационное моделирование случайных событий, случайных величин iconЛабораторная работа №6 Моделирование непрерывно распределённых случайных величин специальными методами
Научиться моделировать значения непрерывно распределённой случайной величины различными методами и проводить статистический анализ...
Лабораторная работа Имитационное моделирование случайных событий, случайных величин iconРабочая программа дисциплины Имитационное моделирование Направление подготовки 010400 Прикладная математика и информатика
Монте-Карло, как одного из методов решения математических задач при помощи моделирования случайных величин, на примере вычисления...
Лабораторная работа Имитационное моделирование случайных событий, случайных величин iconЛабораторная работа №5 Моделирование непрерывно распределённых случайных величин методом исключений
Научиться моделировать значения непрерывно распределённой случайной величины методом исключений и проводить статистический анализ...
Лабораторная работа Имитационное моделирование случайных событий, случайных величин iconПрограмма курса «Теория вероятностей и математическая статистика»
Наилучшее (в среднем квадратичном) оценивание случайных величин и случайных векторов
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org