Философские проблемы математики Материалы для выполнения учебных заданий



страница1/22
Дата15.04.2013
Размер3.72 Mb.
ТипДокументы
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   22





Философские проблемы математики
Материалы для выполнения учебных заданий

Новосибирск

2006


УДК

ББК

Ф

Философские проблемы математики: Материалы для выполнения учебных заданий. Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2006.

Составитель

Д-р филос. наук, профессор Л.С. Сычева
«Материалы» содержат статьи по философии математики, излагающие современные взгляды на философские проблемы математики, такие, как природа математического знания, способ бытия математических объектов, формирование нового знания в математике, отношение математики и других наук, различие чистой и прикладной математики. Материалы предназначены для студентов и магистрантов механико-математического факультета для углубленного изучения философских проблем их науки, а также для аспирантов ММФ, готовящихся к сдаче кандидатского экзамена «История и философия науки». Каждая статья снабжена вопросами, ответы на которые будут способствовать лучшему пониманию рассматриваемых вопросов.
СОДЕРЖАНИЕ

Философия математики
Френкель А., Бар-Хиллел И. Философские замечания

Целищев В.В. Поиски новой философии математики
Способ бытия математических объектов
Розов М.А. Способ бытия математических объектов

Коллинз Р. Социальная реальность объектов математики и естествознания

Розов Н.С. Природа «упрямой реальности» в философии естествознания и математики

Сычева Л.С. Проблема реальности математических объектов
Формирование нового знания в математике
Григорян А.А. Социокультурные и метафизические круги и их преодоление в развитии математики

Веркутис М.Ю. Рефлексивная симметрия как механизм новаций в условиях неведения
Отношение математики и других наук
Вигнер Е. Непостижимая эффективность математики в естественных науках
Возникновение математики
Нидам Дж. Общество и наука на Востоке и на Западе
Различие чистой и прикладной математики
Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я Г. О различии некоторых подходов в чистой и прикладной математике

Философские проблемы математики

Книга А. Френкеля (математик, один из авторов важной системы аксиом Цермело-Френкеля для теории множеств) и И. Бар-Хиллела (специалист в области семиотики) представляет собой полный обзор результатов, полученных в основаниях теории множеств к 1958 году. Приведенный в хрестоматии параграф 8 из главы Y содержит изложение философских проблем, связанных с обоснованием математики, и различных точек зрения на их решение. Основное внимание направлено на исследование вопроса об онтологическом статусе множеств. Рассматриваются решения, предложенные платонистами, неономиналистами, неоконцептуалистами.
Рассмотрены также попытки осознать математику как эмпирическую науку, качественно никак не выделяемую из других эмпирических наук, когда доказывается, что формальные науки менее «формальны», чем принято думать, а также попытка Куайна, которая исходит из того, что эмпирические науки не столь уж «эмпиричны».

Целищев Виталий Валентинович, директор Института философии и права СО РАН, логик, доктор философских наук, выпустил несколько книг по философии математики. В первой главе книги «Философия математики», приведенной в хрестоматии, дает сводку направлений в философии математики, более подробно характеризует структурализм, номинализм, реализм. Анализирует платонизм как представление о том, что математические объекты сущест­вуют вне и независимо от человеческого сознания, существуют не в материальном мире, а в мире идеальных сущностей. Если платонизм как «рабочая» вера математика не вызывает у математиков никаких сомнений, то в философском отношении платонизм отягощен массой неприятных аспектов. Реакцией на философски затруднительную позицию платонизма является эпистемологизация математики, т.е. переход от рассмотрения традиционных вопросов о природе математических объектов и математической истины к исследованию вопросов математического познания.
Френкель А., Бар-Хиллел И.

Философские замечания.

Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966. Глава Y, § 8. Стр.398-416.

Во многих местах этой книги, когда нам приходилось ка­саться некоторых щекотливых «философских» вопросов, мы пре­рывали изложение замечанием, что проблема эта будет освещена «позже». Теперь наступил последний срок выплаты накопив­шихся долгов. Вряд ли читатель после чтения этого заключи­тельного параграфа проникнется ощущением, что все возникшие перед ним проблемы получили теперь свое окончательное разре­шение. Почти никаких окончательных суждений он здесь не встретит; единственно, в чем мог бы состоять прогресс, так это в самой формулировке некоторых из этих проблем, а также различных точек зрения на них, что могло бы способствовать лучшему пониманию их существа.

Первая из этих проблем — это онтологический статус множеств; не того или иного конкретного множества, а множеств вообще. Под словом «множество» обычно понимают то, что философы называют универсалиями (universals); таким образом, интересующая нас сейчас проблема есть частный случай давно известной и широко обсуждавшейся классической проблемы об онтологическом статусе универсалий. Три основных ответа на общую проблему универсалий, идущие еще от средневековых дискуссий, известны под именами реализма, номинализма и концептуализма. Мы будем рассматривать здесь не сами по себе эти направления мысли в их традиционных версиях (1), а только их современные аналоги, известные как платонизм (2), неономинализм и неоконцептуализм (впрочем, приставку 'нео' мы будем, как правило, опускать, так как здесь у нас не будет случая обсуждать старинные версии). Мы рассмотрим затем еще одну позицию, согласно которой вся эта проблема онтологиче­ского статуса универсалий вообще и онтологического статуса множеств в частности есть не что иное, как метафизическая псевдопроблема.

Платонисты убеждены, что для каждого правильно определенного одноместного условия существует, вообще говоря, соответствующее множество (или класс), состоящее из всех тех и только тех предметов, которые удовлетворяют этому условию, и что это множество само является предметом с таким же полноправным онтологическим статусом, как и его члены. Если бы только не антиномии, то лучшим отражением интуитивной позиции платонистов должно было бы быть идеальное исчисление К (стр. 172) или что-нибудь в этом роде; главная особенность такого рода систем — это ничем не ограниченная схема аксиом свертывания. Будучи вынужденными считаться с реальной ситуацией, платонисты допускают, хотя и с неохотой, что их представления о том, что такое правильно определенное условие, могут оказаться недостаточно четкими, и заявляют о своей готовности наложить на употребление схемы аксиом свер­тывания некоторые ограничения, вроде тех, что приняты в тео­рии типов или в теории множеств цермеловского толка. Од­нако в глубине души они надеются, что рано или поздно кому-нибудь удастся показать достаточность гораздо менее ради­кальных мер предосторожностей. Может, конечно, случиться, что некоторые платонисты придут к убеждению (или другие сумеют убедить их) в том, что в мире, в котором они живут, предметы действительно расслоены (are really stratified) на типы и порядки, тогда они примут теорию типов не в качестве удобного соглашения, а в качестве описания реальной ситуации.

Неономиналисты заявляют, что они вообще не могут понять, что имеют в виду те, кто говорит о множествах, — такие разго­воры для них могут представлять собой лишь facon de parler (манера выражаться). Единственный язык, на понимание которого они претендуют,— это исчисление индивидов (calculus of individuals), построенное как прикладное функциональное исчисление первого порядка. Многие обороты, используемые как в научном, так и в повсе­дневном языке, зависящие, prima facie (на первый взгляд), от термина 'множе­ство', номиналисты без особого труда точно переводят на свой ограниченный язык. Такое, скажем, обычное выражение как «множество предметов а есть подмножество предметов b» они переводят как «для всех x, если х есть а, то х есть b». Некоторые другие обороты и выражения представляют большие трудности для такого перевода. На языке теории множеств легко выра­зить тот общепринятый способ образования понятий, посред­ством которого какое-либо асимметричное и интранзитивное отношение порождает новое отношение наследственности (the ancestral) (5) (которое оказывается уже транзитивным). Например, исходя из допущения, что в области целых чисел уже имеется отношение 'быть на единицу больше’ (но пока не про­сто 'быть больше'), определяют: х больше, чем у, если и толь­ко если х отлично от у и х принадлежит всем множествам, со­держащим у и все целые числа, на единицу большие любого их члена. Воспроизведение такого способа образования поня­тий в исчислении индивидов часто требует больших ухищре­ний, в ряде же случаев эта задача по-видимому, вообще невыполнима (6). Известно, что выражения типа «кардинальное число множества а есть 17» (или «... не более 17», или «... не менее 17», или «... лежит между 12 и 21» и т. п.) легко выразимы в функциональном исчислении первого порядка с равенством. Однако такое выражение, как «кошек больше, чем собак» уже вызывает значительные трудности, и хотя в данном и любых других конкретных случаях эти трудности все же преодолимы, нет общего метода номиналистического истолкования выражения «предметов а больше, чем предметов b» (7). Трудности, возникающие при попытках выразить всю клас­сическую математику в номиналистических терминах, производят впечатление непреодолимых — и так оно, по всей вероятности, и есть. Поскольку речь идет о канторовской теории множеств, теории трансфинитных кардинальных чисел и подобных им теориях, то номиналисты только рады избавиться от этих теорий и с равнодушием относятся к понесенным «потерям». Зато к тем разделам математики, которые находят примене­ние в других науках, номиналисты относятся со здоровым ува­жением, и многие из них готовы скорее подвергнуть сомнению собственную философскую интуицию, нежели принести в жертву хотя бы часть такой рабочей математики. Есть только два заслуживающих внимания выхода из возникающих затрудне­ний: либо продолжать пользоваться всеми нужными частями математики в надежде, по-видимому, не слишком обоснован­ной (8), что в конце концов удастся получить их адекватную переформулировку в номиналистических терминах, либо объ­явить всю высшую математику неинтерпретируемым исчисле­нием, пользование которым, несмотря на отсутствие интерпре­тации, оказывается возможным благодаря тому обстоятельству, что его синтаксис формулируется (или может быть сформули­рован) на вполне понятном номиналистическом метаязыке (9). Насколько успешно неинтерпретированное (и непосредственно не интерпретируемое) исчисление может выполнять возлагаемую на него задачу согласования интерпретированных предложений эмпирического характера — вопрос пока еще далеко не ясный, несмотря на большие усилия, потраченные на его решение мно­гими учеными, занимавшимися проблемами философии науки (10). Здесь явственно усматривается близость к формалистической (гильбертовской) позиции, согласно которой определенная часть математики, в основном рекурсивная арифметика, считается интерпретируемой, а остальная часть — неинтерпретированным исчислением, используемым в качестве средства преобразования осмысленных предложений в другие осмысленные утверждения, причем этот статус «идеальных» частей математики сравнивается со статусом «идеальных» точек в аффинной геометрии.

От такой точки зрения остается всего один шаг до принятия философии «как-будто» („As-if "philosophy"); Генкин (11) указывает, что финитистски настроенный номиналист, т.е. тот, кто верит, что мир (который для него представляется всегда в виде некоторой однородной области индивидов, причем природа этих индивидов роли не играет) состоит лишь из конечного числа элементов, вполне мог бы допустить, что существование беско­нечного числа предметов есть полезный обман (pretense) (рань­ше в таких случаях говорили 'фикция' (fiction)). Он, конечно, видит, что уж если быть готовым к фикциям, то с таким же успехом можно было бы согласиться с фикцией о существовании универсалий и пользоваться в полном объеме платонистским языком, отрицая в то же время, что тем самым приходится принимать онтологические соглашения, связываемые обычно с таким языком; однако он чувствует, что между этими двумя фикциями есть существенное различие, вследствие которого по­следовательный номиналист охотнее согласится с первой фик­цией, чем со второй; Генкин признает при этом, что никакого объективного критерия для такого различения фикций ему неизвестно. Конечно, он прав, говоря, что такой образ действий, при котором использование языков форм не предполагает принятия онтологических допущений, производит несколько легко­мысленное впечатление и нуждается поэтому в дальнейших разъяснениях (12).

Имеются и такие авторы, которых не привлекает ни сочная растительность платонистских джунглей, ни суровый пустынный ландшафт неономинализма. Им больше нравится жить в тщательно распланированных и хорошо обозримых садах неоконцептуализма. Они претендуют на понимание того, что такое множество, хотя и предпочитают пользоваться метафорой по­строение (или придумывание (inventig}), а не любимой мета­форой платонистов выбор (или открытие); эти метафоры заменяют собой более старую антитезу: существование в созна­нии— существование в некотором внешнем (реальном или иде­альном) мире. Неоконцептуалисты готовы допустить, что лю­бое вполне определенное и ясное условие действительно опреде­ляет соответствующее множество — коль скоро в этом случае они могут «построить» это множество, исходя из некоторого за­паса множеств, существование которых либо интуитивно оче­видно, либо гарантировано предварительными построениями,— но не согласны принимать никаких аксиом или теорем, в силу которых им пришлось бы согласиться с существованием каких бы то ни было множеств (13), не характеризуемых конструктив­ным образом. Поэтому они не допускают множеств, соответствую­щих непредикативным условиям (за исключением, конечно, тех случаев, когда можно доказать, что такое условие можно заме­нить равносильным ему предикативным), и отрицают справед­ливость (validity) теоремы Кантора в ее наивной, абсолютной интерпретации, в силу которой множество всех подмножеств любого данного множества имеет мощность большую, чем мощность самого этого множества. Абсолютное понятие несчетности объявляется лишенным смысла, хотя и может случиться, что какое-либо бесконечное множество окажется не перечислимым с помощью некоторых данных средств.

Конечно, в номиналистически интерпретируемой теории мно­жеств, при которой '' интерпретируется как 'является членом', заключено contradictio in adiecto (14 - противоречие по определению). Но мы говорили уже, что некоторые номиналисты согласны пользоваться теорией мно­жеств как неинтерпретированным исчислением, выполняющим чисто трансформационные функции. И платонисты, и концеп­туалисты настаивают на том, что теория множеств (как и вооб­ще математика) должна быть интерпретируемой и понимаемой сама по себе и не использовать никаких неинтерпретируемых исчислений. Расходятся же эти два направления в своем понимании того, что такое «понимаемость» (intelligibility).

Нечего и говорить, что каждое из этих больших философских направлений распадается на множество более специальных, что границы их неопределенны и что часто бывает очень трудно отнести какого-либо автора с полной определенностью к одному из них. Логицизм обычно считают одной из разновидностей пла­тонизма; однако сам Рассел на протяжении своей шестидесяти­летней философской деятельности не раз высказывал идеи, носящие концептуалистский и даже номиналистический характер (15). Разветвленная теория типов имеет явственный концептуа­листский привкус; что же касается аксиомы сводимости, то она, конечно, является платонистской. Когда он выступил со своей бесклассовой теорией (no-class theory), многие расценили ее (особенно это относится к члену венского кружка Гансу Хану в начале 30-х годов (16); впрочем, пожалуй, некоторое время так был настроен и сам Рассел) как чисто номиналистическую, про­должающую традиции бритвы Оккама. (Это было, однако, яв­ным недоразумением, объясняемым отчасти двусмысленностью употребляемого Расселом термина 'пропозициональная функция': в значениях 'открытая формула' и в то же время 'аттрибут' (attribute). Фактически Рассел показал, каким образом можно обойтись без употребления классов, заменив их «пропозицио­нальными функциями»; но эти функции были не чем иным, как аттрибутами (свойствами или отношениями), т. е. по меньшей мере такими же «универсалиями», какими являлись сами клас­сы; Рассел отдавал себе отчет в двусмысленности этого своего словоупотребления, но заблуждался, полагая, что оно имеет чисто языковую природу (17). Гёделя теперь принято считать платонистом; но первые его работы испытали сильное влияние гильбертовской школы и даже Сколема, настроенного еще более решительно концептуалистски. Гёделевский постулат конструк­тивности (стр.153), имеющий очевидную концептуалистскую на­правленность, в качестве такового получил признание и одобре­ние концептуалистов; но сам Гёдель отказывается рассматри­вать его в качестве истинного теоретико-множественного утверждения (statement). Гильберт — отец современного форма­лизма; но его метаматематика в сильной степени концептуалистична, а взгляд, согласно которому математические понятия высших ступеней абстракции имеют «идеальную» природу, во­обще трудно отнести с определенностью к какому-либо из обыч­ных направлений. Лоренценовский операционизм следует охарактеризовать как некий переходный оттенок в смеси кон­цептуализма и номинализма породы «как-будто», но характери­стика эта лишь в малой степени вскрывает нам все отпугиваю­щие стороны его позиции. Куайн, начинавший как логицист, в течение многих лет пытался защищать номиналистическую по­зицию, но теперь он чувствует, что, устав от своих донкихотских попыток номиналистской реконструкции, может впасть в концептуализм, успокаивая при этом «свою пуританскую совесть сознанием, что не совсем уж погряз в платинистской скверне (18)» (19). Для первых работ Тарского характерна идущая от Лесневского позиция, характеризуемая самим Тарским как интуиционистский формализм; но теперешняя его позиция уже не такова (20). Если раньше он испытывал затруднения, связанные с обоснованием оперирования над бесконечными множествами предложений, то теперь он, не проявляя видимых угрызений совести, вводит в рассмотрение языки, множества индивидных констант которых имеют любую мощность.

Было бы легко, даже слишком легко, продолжать в том же духе. Лишь очень немногие современные логики и математики последовательно и неуклонно придерживались в течение всей своей жизни одной и той же философской линии. Говоря об исключениях из этого правила, можно назвать Брауэра, всю жизнь являющегося искренним и бескомпромиссным концеп­туалистом (позиция эта, между прочим, не помешала ему дока­зать несколько «классических» теорем топологии), Чёрча, про­поведующего прямолинейный (хотя отнюдь не догматический) платонизм, и Гудмена, до сих пор не поддавшегося концептуа­листским соблазнам и стойко исповедующего самый крайний но­минализм, который если и меняется в чем-либо со временем, то разве что в сторону еще большей радикальности. Следует, прав­да, отметить, что номинализм его несколько особой марки и имеет мало общего с классическим номинализмом. Номинализм этого рода можно было бы назвать чисто синтаксическим номи­нализмом; Гудмен настаивает на том, что единственной законной формой языка является некоторое функциональное исчисление первого порядка, но без каких бы то ни было ограничений, по крайней мере официально принятых им, на онтологический ста­тус самих индивидов, до которых ему нет решительно никакого дела; в качестве таковых можно рассматривать хотя бы сообщения с того света, или числа, или множества, вернее «множества», поскольку про такие множества нельзя сказать, что они содержат какие-либо члены. Короче говоря, девиз Гудмена та­ков: он ничего не имеет против множеств, он только не может понять, что значит множество чего-либо (21) .

Для большинства авторов, занимавшихся основаниями математики, характерно поразительное непостоянство философских позиций. С их точки зрения, эти изменения воззрений вполне естественно объяснять эволюцией мышления в сторону большей его зрелости и считать более поздние позиции более обоснованными, нежели ранние, независимо от того, в какую именно сто­рону произошел сдвиг.

В то же время вполне естественно, что в глазах некоторых мыслителей все эти причудливые блуждания служат подтвер­ждением той точки зрения, что ни одна из рассмотренных трех основных онтологических концепций объективно не имеет ни­какого отношения к проблеме оснований, независимо от того, что думают по этому поводу приверженцы этих концепций и насколько сильны в этом отношении их чувства. Сторонники та­кого образа мыслей пришли к выводу, что теории множеств следует оценивать не по их онтологиям (в смысле Куайна), а по их плодотворности. Существуют или нет непредикативные множества — на этот вопрос не следует ждать ответа ни от теоретических рассуждений, ни от (иррациональной?) веры, ос­новывающейся на интуиции или свободе совести. Получившие столь широкое распространение противоположные мнения были вызваны совместным рассмотрением и смешением двух совершенно различных вопросов: первый из них — можно ли доказать, или опровергнуть, или доказать неразрешимость не­которых определенных экзистенциальных предложений в неко­торой данной теории; другой вопрос — следует ли принять всю эту теорию. Можно ли доказать в существование множества, являющегося объединением (множеством-суммой) трех данных множеств,— это серьезный вопрос, легко решаемый, как мы знаем, положительно. Можно ли доказать в несуществова­ние нетривиального недостижимого числа — это еще более серь­езный вопрос, причем настолько трудный, что мы не умеем на него ответить. По отношению же к системе на тот же са­мый вопрос тривиальным образом следует дать отрицательный ответ. А для некоторых других теорий ответ может оказаться положительным, иногда получаемым тривиально, иногда тре­бующим глубоких рассуждений. Следует ли принять систему , или , или , или
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   22

Похожие:

Философские проблемы математики Материалы для выполнения учебных заданий iconМ. А. Розов 70 рассуждения об интеллигентности
Философия: Материалы для выполнения учебных заданий. 2-е изд., испр и доп. / Новосиб гос ун-т. Новосибирск, 2006. 194 с
Философские проблемы математики Материалы для выполнения учебных заданий iconПланы семинарских занятий по курсу Философские вопросы естествознания Для магистрантов направления подготовки 280700 «Техносферная безопасность»
Планы семинарских занятий предназначены для студентов, начинающих изучать философские проблемы естествознания. Содержит в себе программу...
Философские проблемы математики Материалы для выполнения учебных заданий iconУчебно-методический комплекс по дисциплине история и философия науки часть Философские проблемы математики для аспирантов и соискателей

Философские проблемы математики Материалы для выполнения учебных заданий iconЭлектронные ресурсыв преподавании математики Методические материалы для слушателей курсов «Информационные технологии в деятельности учителя-предметника»
Ресурс будет интересен как преподавателям математики в качестве дополнительного материала к занятиям, так и их ученикам при подготовке...
Философские проблемы математики Материалы для выполнения учебных заданий iconР: выделять учебную задачу на основе соотнесения известного, освоенного и неизвестного
П: использовать поиск необходимой информации для выполнения учебных заданий с использованием учебной литературы, Интернета
Философские проблемы математики Материалы для выполнения учебных заданий iconБилет 1 Б. Рассел: главные философские проблемы, их формулировки, содержание и роль для развития философии. Проблема универсалий. Истоки проблемы, способы решения. Спор номиналистов и реалистов. Августин Блаженный
Б. Рассел: главные философские проблемы, их формулировки, содержание и роль для развития философии
Философские проблемы математики Материалы для выполнения учебных заданий iconСеминарским занятиям по направлению «философские проблемы естествознания и математики»
Составители: К. Г. Мальцев, А. М. Бекарев, В. И. Казакова, Т. Л. Михайлова, Е. Н. Соснина
Философские проблемы математики Материалы для выполнения учебных заданий iconРекомендации по организации проверки выполнения заданий с развернутым ответом
Проверка выполнения заданий с развернутым ответом осуществляется путем сопоставления с характеристиками верного ответа, указанного...
Философские проблемы математики Материалы для выполнения учебных заданий iconКонтроль качества выполнения заданий по аудиту
Настоящее федеральное правило (стандарт) аудиторской деятельности, разработанное с учетом международных стандартов аудита, устанавливает...
Философские проблемы математики Материалы для выполнения учебных заданий iconПрограмма развития Фейгина Никиты Олеговича Цель
...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org