Стандартные виды уравнений и способы их решения Уравнение вида = b ↔ f(x) = b2, при b ≥ 0; не имеет решений при b < 0



Скачать 149.42 Kb.
страница1/3
Дата18.04.2013
Размер149.42 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3
Методы решения иррациональных уравнений

Оглавление

4. Уравнения, сводящиеся к квадратным 2


Стандартные виды уравнений и способы их решения

1. Уравнение вида = b ↔ f(x) = b2, при b ≥ 0; не имеет решений при b < 0.

Золотое правило. Для решения корень нужно уединить.

Примеры.

1)

2)

3) . Решений нет, т. к. < 0.

2. Уравнение вида



Примеры.

1)



Ответ: х = - 1

2)В примерах, сводящихся к данному виду уравнений, при применении равносильных переходов необходимо найти область допустимых значений.

Пример.

Ответ

3. Уравнение вида
либо



Выбрать неравенство, которое проще.

Примеры.

1)

, sinх = t, |t| ≤ 1, t ≥ 0 , 0 ≤ t ≤ 1

2t2 + t – 1 = 0

t = -1 , t = ½ С учетом ограничений t = ½

gif" name="object19" align=absmiddle width=183 height=100>

Ответ:

4. Уравнения, сводящиеся к квадратным


Такие уравнения содержат корни с одинаковыми подкоренными выражениями, степени которых разняться в два раза (). Решаются путем замены корня , с учетом ограничений.

Примеры.

1)

= t, где t ≥ 0

t 2 – 2 t – 3 = 0, t = - 1 , t = 3, учитывая, что t ≥ 0, t = 3

= 3

Ответ: х = ± 7

2)

= t , тогда



= 2 или = ½

= 32 = 1/32

16z =32 16·32z – z = - 1

z = 2 z = - 1/511
5. Уравнения, содержащие более одного корня в виде слагаемых

В уравнениях данного вида необходимо избавиться от корней. Чаще всего это происходит путем возведения обеих частей в квадрат. Необходимо отметить, что при возведении в квадрат ОДЗ неизвестного расширяется, что может привести к посторонним корням уравнения. Возведение в квадрат не обеспечивает равносильного перехода, поэтому полученные значения неизвестного нужно проверять.

При решении нужно соблюдать следующие правила:

  1. Корни разнести по разные стороны, т. к. преобразования в этом случае проще;

  2. Найти множество значений, при которых корни существуют;

  3. Возвести обе части в квадрат;

  4. Привести уравнение к стандартному виду;

  5. Решить согласно видам 1 – 3;

  6. Исключить посторонние корни;

  7. Проверить оставшиеся корни.

Примеры.

1)



решаем, выполняя п.5 (уравнение вида )



Проверка х = 3

Равенство верно.

Ответ: х = 3.
2)



3х – 4 - 2= х – 2

2х – 2 = (1) х – 1 =



Заметим, что, исходя из равносильности, решаем только уравнение (1), а не первоначальное, поэтому нужно произвести проверку.

Можно решать без учета ОДЗ и не использовать равносильность, но в этом случае все полученные значения х необходимо проверить. В некоторых уравнениях это достаточно сложно.

Проверка. х = 3

Равенство верно.

Ответ: х = 3
6. Уравнения, решаемые способом замены переменных.

6.1 Очевидные замены.

Если в примере есть члены с повторяющимися выражениями, то целесообразно провести замену переменных, что по сути не является непосредственным решением, но значительно упрощает преобразование выражений и приведение уравнения к стандартному виду.

Золотое правило. Сделал замену – определи область изменения новой переменной. (нанеси ограничения на новую переменную)

Примеры.

1)

Пусть = t, где t ≥ 0, т. к. корень арифметический.

Получим: t2 – 2t – 3 = 0

t = - 1, t = 3

Т. к. t ≥ 0, t = 3

Перейдем к х

= 3 х2 + 32 = 81, х = ± 7.

Ответ: х = ± 7.

  1. Найти наибольший корень уравнения

Т. к. и взаимно обратные выражения, то если = t,

= , где t > 0.

Получим t + = , 2t2 – 5t + 2 = 0,

t = ½, t = 2,

= или = 2

8х = 1+2х, 2х = 4 + 8х

х = 1/6. х = - 2/3

Наибольший корень х = 1/6.

3)





= t, t ≥ 0 Заменить корень и выразить через t правую часть.

= t2, t2 – 20

t = - (t2 – 20) , t2 + t – 20 = 0. t = - 5 или t = 4.

Т.к. t ≥ 0 , то t = 4

= 4,

х2 + 2х + 8 = 16,

х2 + 2х - 8 = 0, х = - 4 или х = 2.

Ответ: х = - 4 , х = 2.

4) . Произведем двойную замену:

t = , где t ≥ 0, d = , где d ≥ 0.

Выразим х из каждого: х = 5 - t 2 или х = d2 + 3. Получим систему:

. t = 0 или d = 0

= 0 или = 0

х = 5 или х = 3

Ответ: х = 5; х = 3.



6.2 Неочевидная замена

Замена переменной может возникнуть не сразу, а после проведенных преобразований.

Примеры.

1)

ОДЗ: - 1 ≤ х ≤ 3

Перенесем вправо, чтобы более сложное выражение осталось одно.

Возведем в квадрат обе части, ожидая получение одинаковых выражений:





Ожидания оправдались.

= t, t ≥0 = t2 + 4

4t = t2 + 4, t2 – 4t + 4 = 0, (t – 2)2 = 0, t = 2

= 2, = 4,

х = 1 корень уравнения, т. к. сумма коэффициентов и свободного члена равна нулю.

разделим на х – 1 . Получим х2 – 2х + 1 = 0. х = 1 ± .

Все три корня являются решениями, т. к. удовлетворяют условию - 1 ≤ х ≤ 3.

Ответ: х = 1, х = 1 ±
7. Уравнения вида произведение равно нулю.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла.

f(x) · g(x) = 0

Примеры.

1)

= 0

решений нет х = - 1, х = 2.

Ответ: х = - 1, х = 2.

Неравенства, входящие в систему можно сразу не решать, а подставить полученный корень в неравенство.

2) Необходимо разложить на множители.






= 4

решений нет х = 0, х = 5.

Ответ: х = 0, х = 5.


  1   2   3

Похожие:

Стандартные виды уравнений и способы их решения Уравнение вида = b ↔ f(x) = b2, при b ≥ 0; не имеет решений при b < 0 iconШамшина Е. Графический метод решения уравнений вида
При решении трансцендентных уравнений мы пользуемся приближенными методами. Для выявления числа их решений выполняется эскиз графиков...
Стандартные виды уравнений и способы их решения Уравнение вида = b ↔ f(x) = b2, при b ≥ 0; не имеет решений при b < 0 iconРазработка урока по теме «Применение различных формул при решении квадратных уравнений»
Важно научится решать их четко и быстро. Вы уже знакомы с формулой для решения квадратных уравнений, теоремой Виета. Сегодня на уроке...
Стандартные виды уравнений и способы их решения Уравнение вида = b ↔ f(x) = b2, при b ≥ 0; не имеет решений при b < 0 icon«способы решений различных квадратных уравнений»
Сила теории уравнений в том, что не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит практическим...
Стандартные виды уравнений и способы их решения Уравнение вида = b ↔ f(x) = b2, при b ≥ 0; не имеет решений при b < 0 iconРешение уравнений, сводящихся к квадратным. Проверка д / з : вопросы? 1 проверим решения и ответы
Новый материал. Существует ряд квадратных уравнений, для которых имеет смысл упростить формулу вычисления корней. Это – квадратные...
Стандартные виды уравнений и способы их решения Уравнение вида = b ↔ f(x) = b2, при b ≥ 0; не имеет решений при b < 0 iconВиды тригонометрических уравнений и методы их решений
Суть этого метода: если уравнение f (x) = 0 удается преобразовать к виду f1(х) f2(х) = 0, то либо f1(х) = 0, либо f2(х) = 0
Стандартные виды уравнений и способы их решения Уравнение вида = b ↔ f(x) = b2, при b ≥ 0; не имеет решений при b < 0 iconУрок по теме «Уравнение х 2 = а». Мы познакомимся с простейшим квадратным уравнением х
Образовательные: рассмотреть решение простейшего квадратного уравнения х2=а; формировать навык решения такого вида уравнений
Стандартные виды уравнений и способы их решения Уравнение вида = b ↔ f(x) = b2, при b ≥ 0; не имеет решений при b < 0 iconРешение квадратных уравнений
Цели урока: образовательная –формирование навыков решения квадратных уравнений по формуле, отработать способы решения неполных квадратных...
Стандартные виды уравнений и способы их решения Уравнение вида = b ↔ f(x) = b2, при b ≥ 0; не имеет решений при b < 0 iconРешение уравнений Будем рассматривать графическое решение уравнений двух видов f(x)=0…
Решить уравнение f(x)=0 – это значит найти такие значения х, при которых функция y=f(x) принимает нулевые значения. Следовательно,...
Стандартные виды уравнений и способы их решения Уравнение вида = b ↔ f(x) = b2, при b ≥ 0; не имеет решений при b < 0 iconОсновные виды логарифмических уравнений и способы их решения
По определению логарифма: b – показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить логарифмируемое выражение...
Стандартные виды уравнений и способы их решения Уравнение вида = b ↔ f(x) = b2, при b ≥ 0; не имеет решений при b < 0 iconМетоды решения систем уравнений
Умение решать системы уравнений позволяет существенно расширить класс текстовых задач и перед нами стоит задача: повторить способы...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org