Описание методов вычисления определенных интегралов



Скачать 33.74 Kb.
Дата19.04.2013
Размер33.74 Kb.
ТипЛабораторная работа
Лабораторная работа 2. Приближенное вычисление интегралов.

Цель работы: изучение различных методов вычисления определенных интегралов, практическое интегрирование функций на ЭВМ.

Описание методов вычисления определенных интегралов.

Если функции u =  (x) и v =  (x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:



Существует огромное количество функций, интеграл от которых не может быть выражен через элементарные функции. Для нахождения интегралов от подобных функций применяются разнообразные приближенные методы, суть которых заключается в том, что подынтегральная функция заменяется «близкой» к ней функцией, интеграл от которой выражается через элементарные функции.

Формула прямоугольников.

Если известны значения функции f(x) в некоторых точках x0, x1, … , xm, то в качестве функции «близкой» к f(x) можно взять многочлен Р(х) степени не выше m, значения которого в выбранных точках равны значениям функции f(x) в этих точках.



Если разбить отрезок интегрирования на n равных частей:



При этом y0 = f(x0), y1 = f(x1), …. , yn = f(xn).

Общая формула прямоугольников:



или



Формула трапеций является более точной по сравнению с формулой прямоугольников.

Г
еометрически площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей вписанных трапеций. Очевидно, что чем больше взять точек n разбиения интервала, тем с большей точностью будет вычислен интеграл.

Формула трапеций:



Формула парабол (формула Симпсона или квадратурная формула).

Томас Симпсон (1710-1761) - английский математик.

Разделим отрезок интегрирования [a, b] на четное число отрезков (2m). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси Оу и проходящей через точки кривой, со значениями f(x0), f(x1), f(x2).


  Для каждой пары отрезков построим такую параболу.

 

Уравнения этих парабол имеют вид Ax2 + Bx + C, где коэффициенты А, В, С могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой.



Обозначим .



Если принять х0 = -h, x1 = 0, x2 = h, то .

Тогда уравнения значений функции имеют вид: 



C учетом этого:





Формула Симпсона:



Чем больше взять число m, тем более точное значение интеграла будет получено.

Формула относительной погрешности:

,

I – точное значение интеграла, вычисленное через первообразную функции; Ih – значение интеграла, полученное в результате применения конкретной формулы интегрирования.

Блок-схема алгоритма программы интегрирования функции (формула Симпсона).

При запуске программы требуется ввод подынтегральной функции; первообразной функции; значений отрезка [a, b]; числа n – количество подотрезков; значения точности, с которой необходимо вычислить значение интеграла на отрезке [a, b].

Алгоритм нахождения значения интеграла с заданной точностью (10-5) по формуле Симпсона заключается в следующем:

  1. Формула Симпсона для всего отрезка имеет вид Simp := (h/6)*(F(a) + F(b) + Res), где переменная Res представляет собой сумму значений функции F(x).

If Round(i/2) = i/2 then

Res := Res + 2*F(x) //четные

Else

Res := Res + 4*F(x); //нечетные.

  1. Для нахождения величины шага, обеспечивающей заданную точность организуем цикл, уменьшая шаг в 2 раза и находим значения интеграла Int := (h/3)*(F(a) + F(b) + Res).

Алгоритм вычисление погрешности заключается в нахождении первообразной функции Perv(a, b) и расчету по формуле, где переменная Int – значение интеграла, вычисленное с помощью формулы Симпсона:

Prec := (Abs((Perv(a, b) - Int)/Perv(a,b)))*100.

Вариант 7.

Дано:

f(x) = x^2 * sin x

F(x) = x^2 * sin x – (x^2 – 2) cos x

a = 0

b = 1

Если n = 10 (количество подотрезков), то

Ответ: = 0,43882, h = 0,025, δ = 0,0000012373.



Похожие:

Описание методов вычисления определенных интегралов iconПриближённые методы вычисления определённых интегралов
Цель: Проверить на практике знание понятия определённого интеграла, умение вычислять табличные интегралы, умение вычислять определённый...
Описание методов вычисления определенных интегралов icon«приближенные методы вычисления интегралов»
Изучая, интегральное исчисление в рамках школьного курса математики мне стало ясно, что задача вычисления интегралов возникает во...
Описание методов вычисления определенных интегралов iconКурсовая работа по вычислительной математике. Вычисление двойных интегралов методом ячеек
Численные методы могут использоваться для вычисления кратных интегралов. Ограничимся рассмотрением двойных интегралов вида
Описание методов вычисления определенных интегралов icon«Вычисление площадей с помощью интегралов»
Обобщить и систематизировать теоретический материал по теме. Отработать навыки вычисления первообразных для функций. Отработать навыки...
Описание методов вычисления определенных интегралов iconЛабораторная работа №3 Операторы. Операторы вычисления сумм и произведений
Знак оператора суммы можно получить, используя кнопку интегралов панели Стандартная. Знак оператора произведения можно также получить...
Описание методов вычисления определенных интегралов icon1А9 вопросы на доказательства 3 семестр
Доказать формулу Ньютона-Лейбница для вычисления интегралов по незамкнутой кривой от аналитической функции
Описание методов вычисления определенных интегралов iconОсновные вопросы на доказательства по математике 3 семестр
Доказать формулу Ньютона-Лейбница для вычисления интегралов по незамкнутой кривой от аналитической функции
Описание методов вычисления определенных интегралов iconКратные интегралы и ряды (ФН2, 3 семестр)
Определение двойного и тройного интегралов. Геометрический и физический смысл двойного и тройного интегралов. Теоремы о необходимых...
Описание методов вычисления определенных интегралов iconЛекция 18. Приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих...
Описание методов вычисления определенных интегралов iconРешение. Для функции точка
Теорема Коши о вычетах имеет важное значение для приложений, например, для вычисления интегралов
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org