Аксиоматическое построение геометрии. Аксиома параллельности



Скачать 98.79 Kb.
Дата19.04.2013
Размер98.79 Kb.
ТипУрок
Урок геометрии в 7 классе с применением элементов технологии

« Развитие критического мышления через чтение и письмо»

Калинина Елена Игоревна,

учитель математики

ГОУ СОШ №707 г. Москвы

Тема урока Аксиоматическое построение геометрии. Аксиома параллельности.
Цель урока. Познакомить учащихся с аксиоматическим построением геометрии. Показать важность и значимость аксиоматического построения геометрии на примерах евклидовой и неевклидовой геометрии.

Познакомить учащихся с историей развития аксиоматического построения геометрии.
Ход урока


Стадия технологии

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Деятельность учителя

Стадия вызова

Учитель предлагает ученикам задание: составить и записать в тетрадь по 2-3 предложения, используя слова: Аксиома, параллельные прямые, Евклид, геометрия, система.

Ученики работают в парах 3-5 минут, затем называют составленные предложения.

.

Учитель наблюдает за ходом работы, затем выписывает несколько предложений, составленных учащимися и различающихся по смыслу, на доске.

Аксиома – это утверждение, не требующее доказательства. Евклид жил в Древней Греции и был математиком. Параллельные прямые – это прямые, которые не пересекаются. В геометрии используют систему аксиом. Геометрия изучает фигуры и их свойства.

Далее на разных этапах урока ученики работают с таблицей

Знаю

Хочу узнать

Узнал(а)









Новая информация.





Смысловая стадия

Учитель предлагает учащимся вопрос :«Что я знаю (или слышал) о Евклиде и его геометрии?


Фронтальная работа с классом. Ученики называют известные им факты и записывают свои ответы в ходе работы в 1 колонку таблицы.


Учитель контролирует время работы (5-7 минут), записывает различные ответы учащихся на доске в такую же таблицу.


Евклид жил в Древней Греции. Он был математиком , написал книгу «Начала» по геометрии. Доказал какие-то теоремы. Пятый постулат Евклида вызывал много споров у математиков.

Он создал систему аксиом. Слышал ,что бывает неевклидова геометрия, но не знаю, что это.




Учитель предлагает ответить на второй вопрос :«Что я хочу узнать о Евклиде и системе аксиом?»

Ученики формулируют возникшие у них вопросы и вместе с учителем вносят их во вторую колонку таблицы.

Учитель вносит ответы учащихся в таблицу на доске.

В какое время жил Евклид? Кто был его современником? Почему он стал известным? Какой вклад он внес в развитие геометрии? Как выглядит его книга?

Что такое Пятый постулат? Что такое неевклидова геометрия?




Учитель предлагает ученикам прочитать текст «Начала» Евклида» и заполнить в процессе чтения 3 колонку таблицы, внося туда ответы на сформулированные предварительно вопросы. Новую для себя информацию ученики вносят в нижнюю графу таблицы.

Ученики работают над текстом и заполняют 3 колонку таблицы и выписывают новую для себя информацию.

Примерные записи ответов учащихся.

Евклид жил в 4-3 веках до н.э .Был современником царя Птолемея. Он написал книгу «Начала», которую можно считать первым учебником геометрии. Его книга состоит из 13 отдельных книг. V постулат –это современная аксиома параллельности. При замене V постулата на другую аксиому получается неевклидова геометрия.

Стадия рефлексии

По результатам работы с текстом учитель предлагает учащимся осмыслить, найдены ли ими в тексте ответы на вопросы, записанные во второй колонке? Какие вопросы остались без ответа? Что нового узнали ученики? Что ученики хотели бы узнать более подробно?

Ученики читают вслух свои записи, дополняют ответы друг друга, формулируют вопросы, возникшие по ходу чтения текста, обмениваются новой информацией.

Новые вопросы, возникшие по ходу чтения текста , учитель предлагает записать в тетрадь.

Домашнее задание( по выбору учащихся)

1). Подготовить сообщение по заинтересовавшему вопросу в виде доклада.

Жизнь и деятельность Н.И. Лобачевского.

Н.И.Лобачевский и его геометрия.

2). Написать сочинение-рассуждение « Что я узнал сегодня нового на уроке геометрии».


Личностный отзыв по проведенному уроку.
Урок был проведен в 7 классе . В классе есть учащиеся с различным уровнем математической подготовки, с разной степенью владения общеучебными навыками. Все ученики старались активно принимать участие в разных этапах урока. Текст, предложенный для чтения, труден для восприятия некоторыми учащимися, возможно его нужно переработать и сократить. Однако ученики узнали много новой для себя информации, выходящей за рамки школьного учебника. На следующем уроке ряд учащихся подготовили доклады по названным темам. В сочинениях ученики одобрительно отозвались о прошедшем уроке. Предложенная форма работы оказалась эффективной при проработке большого объема информации, новой для учащихся.

Текст, предложенный ученикам для работы на уроке
Евклид и его книга «Начала». V постулат Евклида.
Евклид (330-275 гг. до н. э.) – ученик школы Платона, при царе Птолемее I преподавал математику в Александрии – столице Древнего Египта. Из работ, написанных Евклидом, главным произведением являются «Начала».

Эта книга намного превосходила более поздние труды математиков, она сыграла огромную роль в истории математики. Достаточно сказать, что она была переведена на все языки мира и выдержала около 500 изданий. До середины XIX века все математики учились по «Началам» Евклида.

«Начала» Евклида состоят из 13 книг:

I – VI посвящены планиметрии;

VII – IX – арифметике;

Х – несоизмеримым величинам;

XI–XIII – стереометрии (XIII посвящена правильным многогранникам).

Каждой из 13 книг «Начал» предпосылаются основные предложения, необходимые для вывода всех предложений рассматриваемой книги. Эти предложения делятся на 3 категории: определения, аксиомы и постулаты.

Первая книга «Начал» начинается с 23-х определений. Приведём список некоторых определений «Начал»:

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия есть длина без ширины.

3. Границы линии суть точки.

. . .

Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той ни с другой стороны между собой не встречаются.

За определениями следуют постулаты и аксиомы, т. е. предложения, принимаемые без доказательства. Полный список аксиом и постулатов данный Евклидом не сохранился. Известно 5 постулатов и 10 аксиом.

Постулаты:

Требуется,

1. Чтобы из каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.

2. И чтобы каждую ограниченную прямую можно было продолжать неограниченно.

3. И чтобы из каждой точки, как из центра, можно было произвольным радиусом описать окружность.

4. И чтобы все прямые углы были равны друг другу.

V постулат:

5. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше 2-х прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше 2-х прямых.

Аксиомы:

1. Равные порознь третьему равны между собой.

2. И если к равным прибавим равные, то получим равные.

. . .

6. И половины равных равны между собой.

. . .

8. И целое больше части.

9. И две прямые не могут заключить пространства.

Евклид в «Началах» разделил постулаты и аксиомы. Но трудно провести между ними строгую грань. С современной точки зрения все они могут называться аксиомами. Огромное историческое значение «Начал» Евклида в том, что они являются первым крупным научным документом по геометрии, в котором сделана попытка логического построения геометрии на основе аксиом.

«Начала» Евклида на протяжении более двух тысяч лет подвергались тщательному изучению. Имеется огромная литература, содержащая комментарии к «Началам».. Особое внимание привлекал к себе V постулат.

V постулат занимает в системе постулатов «Начал» особое положение. Прежде всего, обращает на себя внимание то обстоятельство, что утверждение, содержащееся в V постулате, не имеет столь простого и очевидного характера, какой имеют прочие постулаты. Во-вторых, формулировка V постулата носит довольно сложный и громоздкий характер. И наконец, третья особенность заключается в весьма своеобразном использовании Евклидом этого постулата. В то время, как все остальные постулаты используются им с самого начала, при изложении первых теорем, V постулат применяется впервые лишь в доказательстве 29-го предложения.

Таким образом, применение V постулата в «Началах» Евклида резко разграничивает геометрические предложения на две категории: на предложения, доказываемые без помощи V постулата; и на предложения, которые не могут быть доказаны без его использования. Предложения первой категории называются абсолютной геометрией, а второй – образует так называемую собственную евклидову геометрию.

Изложенные особенности V постулата имели большое значение для последующего развития геометрии. Исследователи, жившие после Евклида, рассматривали V постулат, как предложение, которое не следует помещать среди постулатов, а необходимо доказать как теорему. Они были убеждены в его доказуемости. Поэтому усилия многих поколений математиков были направлены на то, чтобы доказать V постулат при помощи остальных постулатов и тем самым свести его в разряд теорем. В этом и заключалась проблема V постулата Евклида.

Решением этой проблемы занимались многие математики, Авторы доказательств в своих рассуждениях использовали явным или скрытым образом наглядно очевидные предложения, которые при тщательном анализе оказывались предложениями эквивалентными самому постулату. Известно около 250 серьёзных сочинений, посвящённых теории параллельности и не достигших поставленной цели. Однако, несмотря на безрезультатность и тщетность всех попыток доказательства V постулата, они всё же не были бесполезны. В результате этих многовековых поисков были выявлены логические зависимости между некоторыми важными геометрическими предложениями и, в частности, были открыты предложения, эквивалентные V постулату. Например, в современной школьной практике V постулат известен, как аксиома параллельных: «Через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной».

Безуспешные поиски доказательства 5-го постулата сыграли ту положительную роль, что помогли глубже проникнуть в структуру геометрии, уяснить взаимную связь её важнейших предложений. Эти попытки подготовили почву для возникновения у передовых учёных предположения, что V постулат недоказуем при помощи остальных аксиом геометрии Евклида.

Здесь повторилось замечательное явление, неоднократно наблюдавшееся в истории науки вообще и математики в частности, когда достаточно созревшие новые идеи возникали у нескольких учёных одновременно. В течение первых же десятилетий XIX в. проблема 5-го постулата была решена несколькими лицами почти одновременно и независимо друг от друга, но совершенно не так, как предполагали это прежние учёные: была создана новая геометрия, независимая от 5-го постулата, основанная на замене его утверждением: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её. К открытию новой, так называемой «неевклидовой», геометрии пришли три человека:

1) профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский (1792–1856);

2) великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855);

3) венгерский офицер Янош Бояи (1802–1860).

Однако вклад в создание новой геометрии, сделанный этими учёными, весьма неравноценен.

Что касается Гаусса, то он совершенно не оставил никаких следов систематического изложения своих открытий в области неевклидовой геометрии и при жизни не опубликовал ни одной строчки по этому вопросу. Гаусс слишком боялся уронить свой огромный авторитет в глазах учёного мира.

Янош Бояи пришёл к открытию неевклидовой геометрии в 1823 г., будучи в возрасте 21 года, но опубликовал свои результаты в 1832 г. (позже Лобачевского) в виде приложения к учебнику математики. Но, непонятый своими современниками, встретивший сдержанное, нечуткое отношение со стороны Гаусса, он впал в глубокое отчаяние. Больше ни одного произведения по новой геометрии Я. Бояи не опубликовал. Остаток жизни он трагически провёл в нужде, неизвестности и полном одиночестве, пережив и Гаусса, и Лобачевского.

Однако всё сделанное в области геометрии Гауссом и Я. Бояи представляет собой лишь первые шаги по сравнению с глубокими и далеко идущими исследованиями Лобачевского, который всю жизнь упорно и настойчиво разрабатывал с разных точек зрения своё учение, довёл его до высокой степени совершенства и опубликовал целый ряд крупных сочинений по новой геометрии. Поэтому как с формальной стороны (первое по времени опубликование открытия в 1826 г.), так и по существу первое место среди лиц, разделяющих славу создания неевклидовой геометрии, следует безраздельно отвести Н. И. Лобачевскому, имя которого и носит созданная им геометрия.

Геометрия Лобачевского так и не была понята и оценена при жизни самого учёного. Но уже через десятилетие после смерти Лобачевского его открытие привлекло всеобщее внимание математических кругов и послужило могучим стимулом к коренному пересмотру взглядов на основания геометрии.

Это объясняется тем, что к этому времени самим развитием математики была подготовлена почва к правильному восприятию и пониманию идей Лобачевского и к их дальнейшему углублению и развитию.

Похожие:

Аксиоматическое построение геометрии. Аксиома параллельности iconВопросы к зачёту по геометрии за 8 класс Определения
Параллельность прямых. Углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, их свойства. Признаки параллельности...
Аксиоматическое построение геометрии. Аксиома параллельности icon«аксиома параллельных прямых»
Аксиома – это (очевидные, принятые, исходные) положения геометрии, не требующие (объяснений, доказательств, обоснований)
Аксиоматическое построение геометрии. Аксиома параллельности iconА. Е. Малых, Е. И. Янкович г. Пермь, пгпу аксиоматическое построение эллиптической геометрии римана
Связано оно с V постулатом Евклида. Ученые установили, что заменив обычный, и казалось бы, единственный способ, как считали до этого,...
Аксиоматическое построение геометрии. Аксиома параллельности iconПостроение серединного перпендикуляра
Построение в «Живой геометрии»: выделяем отрезок, в меню Построение – середина, проводим перпендикуляр через середину отрезка
Аксиоматическое построение геометрии. Аксиома параллельности iconПланирование уроков наглядной геометрии в 4 классе
Построение на нелинованной бумаге. Построение прямого угла. Перпендикулярные прямые
Аксиоматическое построение геометрии. Аксиома параллельности iconМетодическая разработка курса по выбору по теме «Элементы проективной геометрии в решении задач на построение» Иванченко И. А
Курс по выбору «Элементы проективной геометрии в решении задач на построение» 9
Аксиоматическое построение геометрии. Аксиома параллельности iconАксиоматическое построение основных уравнений теории реального электромагнитного поля
Планка. Таким образом, локальными (корпускулярными) электромагнитными характеристиками микрочастицы являются электрический заряд,...
Аксиоматическое построение геометрии. Аксиома параллельности iconПрограмма по геометрии 7 класс
Угол. Параллельные и пересекающиеся прямые. Треугольник. Прямоугольные, остроугольные и тупоугольные треугольники Измерение геометрических...
Аксиоматическое построение геометрии. Аксиома параллельности iconЭлективный курс. «Некоторые вопросы геометрии. Задачи на построение. Практическая геометрия»
«Некоторые вопросы геометрии. Задачи на построение. Практическая геометрия»(9 класс)
Аксиоматическое построение геометрии. Аксиома параллельности icon4. Словарь терминов Аксиома
Аксиома — очевидность, ясная по себе и бесспорная истина, не требующая доказательств
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org