Самым определяется перспективное отображение



страница1/7
Дата20.04.2013
Размер1.02 Mb.
ТипДокументы
  1   2   3   4   5   6   7
с 4| ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО 35

самым определяется перспективное отображение Прямой а на прямую а' из центра О (прямая рассма­тривается прл этом как множество инцидентных ей точек; точка О, и обе прямые я и л' расположены в одной плоскости). Пусть Т\ есть перспективное отображение плоскости ш на плоскость о/ из центра Ои а Т3 — перспективное отображение плоскости й/ на плоскость м из центра 0* (рис, 13). Их произ­ведение S=T$T, превращает точки и прямые плоскости w в точки

ГЛЛНА [[

основные понятия проективной геометрии

§ 4, Проективное пространство

1. Перспективные отображении н преобразованкя. Операция

параллельного проектирования привела нас выше (§ I, пп, 2, 4) к понятиям перспективно-аффинного отображения и преобразо­вания. Аналогичным образом, отправляясь от центрального проектирования (см. Введение, п. I), мы определим перспектив ные отображения н преобразования.

При проектировании из точки О (рис. 12) точке А плоско­сти » будет соответствовать в плоскости &' точка А'\ если точки



Рнс, 12.

Л, Вт С лежат на одной прямой а, инцидентной плоскости <и, то отве­чающие им точки А', В', С расположатся на прямой а', ко которой пересекаются плоско­сти и/ п О АС. Мы имеем здесь, таким об­разом, отображение точек и прямых пло­скости to соответствен-но на точки и прямые плоскости а'; оно на­зывается п е р с и е к-

тпвным о т о б р а ж ечеи е м плоскости и на плоскость ©' из центра О. При перспективном отображении Т плоскости на плоскость кол ли неарные точки переходят и колли-неарные точки; отображение Г сохраняет инцидентность точки к прямой (ср. § 1, п. 3, I], 2J). Отметим также, что при отображе­нии Т каждая из точек прямой g, по которой пересекаются пло­скости и и и', переходит сама в себя.

При проектировании из центра О точкам прямой а (рис. \2) отвечают (как уже указывалось выше) точки прямой af; тем



Рий. 13.

и прямые, принадлежащие той же плоскости, т. е, будет ее пре­образованием; на рис.
13 А" = Т{{А), К - Т3(А") = ${А)\ $ называется перспективным преобразованием плоскости чу. Рассуждая как в § I, п. 4 при установлении свойств 2] — 5], приходим к выводу, что перспективное преобра-заванне S плоскости к» сохраняет коллинеарность точек и инци­дентность точки и прямой; все точки прямой g будут для преоб­разования S двойными.

Если прямая О}О^ пересекает плоскость <о в точке О, а пло­скость а' —в точке О", то О" - Т}{0), О - Т2(О") = Т*Т}(0), тая что и точка О дпойная для преобразования S= T%ti, Как нетрудно убедиться, если А — произвольная точка плоскости й, то точки О, А н А' <=• S(A) коллинеарны (так как все они лежат в обеих плоскостях и и А"АА').

2, Несобственные точки. Сказанное в п. ] требует некоторого уточнения. Остановимся прежде всего на случае перспективного отображения U прямой а на прямую а' (рис. 14).

Точке А прямой а отображение U относит точку А' прямой пг\ однако здесь имеется исключение: если OD | а', то точка D не имеет образа в отображении U. Обозначим, далее, через Е' ту

3*




ПОНЯТИЯ ПРОЕКТИВНОЙ

[гл.

ПРОЕКТИВНОЕ П РОСТР АНСТКО



точку прямой а', для которой QE' \\ а; каждая точка Вг прямой а, отличная от Е', имеет в преобразовании U прообраз В на пря­мой а; точка же. Е' прообраза не имеет. Мы видим, что отобра­жение U не является взаимно однозначным.

Длч устранения этого дефекта мы добавим к точкам каждой прямой еще одну несобственную точку, принимая при этом, что две параллельные прямые имеют одну н ту же несоб­ственную точку. Пусть dL есть несобственная точка прямой я', a El-o —несобственная точка прямой а; в силу указанЕЮго согла­шения в отображении U точка dL будет служить образом для



7 V

Рис. 14.

точки D, а Его —прообразом для точки Е': dL

Е' = f/(£m); отображение U стало теперь взаимно однозначным.

Читатель не должен думать, что тем самым мы сделали па­раллельные прямые евклидовой плоскости пересекающимися; введена лишь своеобразная терминология: вместо слов «прямые параллельны» мы будем говорить «прямые имеют общую не­собственную точку». Как мы убедимся- дальше, это соглашение оказывается весьма целесообразным.

Две параллельные прямые имеют одно и то же направление: поэтому можно считать также, что несобственная точна прямой есть не что иное, как ее направление. Таким образом, утвержде­ние «две прямые имеют общую несобственную точку» означает, Что эти прямые имеют одно и то же направление, т. е. парал­лельны.

Обычная (евклидоиа) прямая, дополненная ее несобственной точкой, носит название проективной прямой. Возьмем вне проективной прямой а точку Р (рис. 15) и соединим се прямыми со всеми точками прямой а. Тогда установится взаимно одно­значное соответствие между точками проективной прямой а и прямыми пучка с центром к точке Р (т. е. с множеством веек прямых плоскости, содержащей Р и а, которые проходят через

точку Р)', несобственной точке прямой а будет отвечать при этом* прямая РК !1 а, В пучке ни одна ии его прямых не является крайней, поэтому проективную прямую следует считать яамк--н у т о и.



Рис. 15.

Несобственную точку прлыой иногда называют бесконечно у д а-_ .1 и о и. Причина этого названия в следующем: если на рис. 15 мы будем удалять точку D а бесконечность, то прямая PD будет неа граничен но при-блнжатьсп к примой РК, ларялипельной л.

3. Несобственные прямые; несобственная плоскость. Обра­тимся теперь к перспективному отображению Т плоскости ш на плоскость и' из центра О (рис. 16). Проведем через точку О пло­скость % параллельную плоскости tu'; она пересечет плоскость (о



Рис, 16.

по пряной \. Если точка L лежит па прямой I, то прямая OL па­раллельна плоскости и'; образом точки L ъ отображении Т слу-зкнт несобственная точка £<» прямой OL; точка L« принадлежит всем тем прямым плоскости и/, которые параллельны иря- OL, и, следовательно, принадлежит н самой плоскости щ'.



|гл. и

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ПРО£КТИШ10Й ГЕОМЕТРИИ

Прямая LK плоскости м перейдет при отображении Т в пря­мую /(N, по которой плоскость OLK пересекает плоскость ы'; так лак Oh || to', то по известной теореме стереометрии пря­мая KN параллельна прямой 01. Следовательно, пучок прямы\ плоскости и с центром в точке L преобразуется в множество М прямых плоскости /у/, параллельных прямой OL. Прямые мно­жества М проходят все через точку L^\ поэтому множество М надлежит назвать пучком прямых плоскости й'с несобствен­ным центром im. Итак, в отображении Т пучку прямых пло­скости w с центром L соответствует в плоскости о/ пучок прямых с центром Lm = T(L),

Пряная / не имеет образа r отображении Т; поэтому мы должны дополнить множество всех прямых плоскости ш' еиц>

одной, несобственной прямой /□□, принадлежащей также и пло­скости р. и принять, что L) = Г(/). По указанной причине мы присоединяем к прямым каждой плоскости пространства не­собственную прямую. Параллельные друг другу плоско­сти имеют общую несобственную прямую; иначе говоря, несоб­ственная прямая есть направление плоскости. В отображении Т образы всех точек, лежащих па прямой I, будут несобственными точками, принадлежащими несобственной прямой /«.

Аналогичным образом плоскость, проведенная через точку О параллельно плоскости а, пересечет плоскость <$' по прямой ш', для которой прообразом в отображении Т будет служить не-собственная прямая ffi« плоскости «; прообразы всех точек прямой пг' будут несобственными точками, инцидентными не­собственной прямой fthx,- Только теперь, после введения несоб­ственных точек и плоскостей, отображение Т стало, как легко проверить, взаимно однозначным.

Евклидова плоскость после присоединения к ией несобствен­ной прямой и несобственных точек всех лежащих в ней прямых превращается в проективную плоскость.

Наконец, к плоскостям всего пространства мы добавляем несобственную плоскость и принимаем, что в ней ле­жат все несобственные точки и все несобственные прямые.

4. Проективное пространство, В результате присоединения к евклидову пространству всех перечисленных в гш. 2 и 3 несоб­ственных элементов оно превращается в проективное про­странство.

Подведем итоги «сему вышеизложенному (пп. 2—4). Проек­тивное пространство получается из евклидова пространства, когда мы его дополним несобственными точками, несобствен­ными прямыми и несобственной плоскостью.

Несобственной точкой мы называем направление прямой; все параллельные друг другу прямые инцидентны одной и той же


4!

TTPOEKTHDHOB ПРОСТРАНСТВО

несобственной точке. Несобственная прямая есть направление плоскости; исе параллельные между собой плоскости инци­дентны одной и той же несобственной прямой. Несобствен нал точка прямой 1 инцидентна несобственной прямой плоскости ш, тем самым и плоскости о>, тогда и только тогда, когда прямая / параллельна плоскости <*> или лежит в ней; все точки несоб* ствепной прямой несобственные.

Все несобственные точки и все несобственные прямые инци­дентны несобственной плоскости. Если точка или прямая при* надлежит несобственной плоскости, то она обязательно несоб­ственная.

5. Предмет проективной геометрии. Построй» проективной пространство, мы можем определить предмет проективной гео-Метрик.

Проективным свойством плоской фигуры проектив­ного пространства называется се свойство, инвариантное относи­тельно всех перспективных отображений и преобразований (т. е. остающееся после них неизменным) *), Проективная гео­метр!! я изучает проективные свойства фигур проективного пространства; в предложениях проективной геометрии могут участвовать только проективные понятия, определяе­мые па основе проективных свойств фигур.

У двух центральных проекций тела Р на одну и ту же пло­скость из двух различных центров (Виедение, п. I) все проек­тивные свойства одинаковы, так как одна из этих проекций получается из другой с помощью перспективного преобразова­ния плоскости о> (п, 1, рис. 13).

Примерами проектнпных понятий могут служить коллинеар­ность трех точек, инцидентность точки и пряной (п. 1), приме­ром проективного предложения — теорема Дезарга (см. ниже, теорема 12).

Если Т — перспективное отображение, рассмотренное в п. 3 (рис. 16), то при перспективном отображении 7""' несобственная точка С^ переходит в собственную (обычную, евклидову) точку L, несобственная прямая d — в собственную (евклидову) прямую I, а пучок параллельных прямых с центром £« — и пу­чок пересекающихся е точке L прямых. Следовательно, несоб* стйенная точка, несобственная прямая, параллельные прямые — понятия непроекгпвные; поэтому в проективной геометрии не­собственные точки и прямые нигде особо не выделяются. Сточки 3Речия проективной геометрии все точки проективного простран-Стеа, включая и несобственные, совершенно равноправны; то же вносится и к прямым, и к плоскостям.

*) Свойства простраиствешшл фигур ми будем выражать через свои­ми а ПЛОСКИ К,

40

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ

[гл. и

§5]

АКСИОМЫ ИНЦИДЕНТНОСТИ ПРОЕКТИВНОЙ ГЁОМЯТРНИ

41


§ 5. Аксиомы инцидентности проективной геометрии

1. Предварительные замечания. Преобразовав евклидово
пространство в проективное и объявив равноправными все
его точки, прямые и плоскости, мы изменили свойства про-
странетва; поэтому лежащие в основе проективной геометрии
аксиомы отличаются от аксиом элементарной (евклидовой)
геометрии.

Основными объектами, изучаемыми в проективной геометрии, являются точки, проективные прямые и проективное плоскости проективного пространства. Для краткости прилага­тельное проективный'» будет по большей части опускаться; с TOir же целыо мы будем применять следующие обозначения (которые частично употреблялись и выше): пряная, соединяю­щая точки Л it В, будет обозначаться через АВ, плоскость, со-держащая прямые а и Ь или точку О к прямую с,— соответ­ственно через пЬ и Оа. Далее, а X Ь есть точка пересечения пря­мых а и Ь\ g X. а. — общая точка прямой g и плоскости а; а X |3 означает прямую, по которой пересекаются плоскости а и 3.

R настоящем параграфе мы рассмотрим аксиомы инцидент­ности, в которых указываются свойства трех основных отно­шен и й, связывающих точки, прямые и плоскости: инцидент­ность точки и прямой, инцидентность точки и плоскости, инцидентность прямой и плоскости. Для обозначения инцидентности мы будем иногда пользоваться особым ян а ком Н; инцидентность (любого вида) — понятие симметричное: записи ЛНаиаН-4 означают одно и то же.

Мы не будем избегать и обычных выражений: точка А лежит на прямой а, А есть точка прямой а, прямая а проходит через точку А и т. п.. рассматривая нх все как равносильные утвер­ждению, что точка А и прямая я инцидентны, Нсли мы говорим, что прямые а и Ь пересекаются в точке Я, то это означает, что РН (t n P Н.Ь. Аналогично будем поступать и для двух других видов инцидентности.

2. Ачсномы инцидентности проективной геометрии *) (при­
чина, по которой некоторые аксиомы написаЕ1Ы в два столбца,
выяснится ниже, в п. 3; если не оговорено противное, то упоми­
наемые в аксиомах точки (прямые или плоскости) предпола­
гаются все различными).

И.1. Если точка Л инцидентна прямой а, а пря­мая с инцидентна плоскости а, то точка А и а л о-скостьдтакже инцидентлЫ-

*) Ансиоми даны по Л,


И-2*. Существует од­на и только одна пря­ная, инцидентная дьум плоскостям аи р.

ИЛ*. Если две пря­мые я, Ь инцидентны од­ной точке Л, то суще-ствует плоскость, ин­цидент пая как прямой а, т а к и п р я м о й 6.

И.2. Существует одна к только одна прямая, инцидентная двум точ­ка м Л и В.

И.З. Если две прямые д, Ь инцидентны одной плоскости а, то с у щ е-с г в у е т т о ч к а, и и 11 и д е н т-пая как прямой а, так и прямой*.



И-4, Если каждая из двух точек А, В инци­дентна каждой из двух плоскостей а, (3, то пря-маяАВсовпадаетс прямой зХ0 (рис. 17).

И.5. Существует (по меньшей ме­ре) одна прямая.

Для формулировки последней аксио­мы инцидентности нам понадобится еще один термин. Две прямые о, Ь назы­ваются скрещивающимися, если 1} не существует точка, инцидентная обеим прямым, и если 2) не существует плоскость, обладающая тем же свой­ством. Оба эти требования не являются независимыми: в силу

аксиомы И.З из 1} следует 2), а в си­лу аксиомы И,3* из 2) следует 1) (то и" другое легко установим, рассуждая от противного).

ИД Вмсстес прямой а суще­ствуют по меньшей мере три попарно скрещивающиеся прямые Ь\, Ьь, Из, каждая iu к о-т о р ых пересекает прямую а (рис. 18).

Отмечу, что единственность точки аХ Ь а ИЗ следует из И.2; анало­гичное замечание можно сделать и для И.З*.

Рнс. 18,

Нетрудно проверить, что в проек­тивном пространстве, полученном из евклидоиа пространства добавлением к нему несобственных эле­ментов (§ 4, п. 4), выполняются вес еосемь аксиом ИЛ—И,6; сделаем это, например, для аксиом И.2 и И.З.

Если обе точки А, В собственные (евклидовы), то ак­сиома И.2 сводится к известной аксиоме евклидовой геометрия.




[ГЛ. ][

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕО1НЕТГЦИ

Б случае, когда точка А собственная, а В есть несобственная точна прямо» k (которую можно считать не содержащей

точку А), аксиома И,2 превращается в утверждение, что суще­ствует одна и только одна прямая, проходящая через точку А и параллельная прямой А; таким образом, аксиома параллельно­сти евклидовой геометрии оказалась частным случаем ак­сиомы И.2. Наконец, если обе точки А, В несобствениые, пер-вяя __ прямой g, в вторая — прямой h, то прямые g и h не могут быть параллельны (так как точки /1 и В различны). Пря­мая А В будет здесь несобственной пряной плоен ости, па­раллельной обеим прямым g и h\ такие плоскости всегда суще­ствуют и все параллельны друг другу, тан что прямая А В единственная.

При проверке аксиомы И,3 предположим сначала, что пло­скость а собственная; с случае, когда обе прямые а, Ь собствен­ные, инцидентная им обеим точка а X Ь есть их точка пересече­ния или, если a IJ Ъ, их обшая несобственная точка- Если же а - ■ несобственная прямая плоскости я, а прямая Ь собственная, то йУ.Ь есть несобственная точка прямой Ь, Так как в плоскости а имеется только одна несобственная прям ал, то обе прямые я, Ь не могут быть несобственными.

Пусть, далее, плоскость д несобственная; тогда обе пря­мые a, b несобственные {§ 4, п. 4). Если а есть направление плоскости а, а Ь — направление плоскости т, то а X Ъ является несобственной точкой прямой eXi (так как прямые а и Ъ раз­личны, то плоскости о и т не могут быть параллельны).

Проверку остальных аксиом инцидентности предоставляем читателю {упр. 52).

3. Большой принцип двойственности. Как легко обнаружить, данные в п. 2 аксиомы инцидентности проективной геометрии обладают следующей замечательной особенностью: если всюду слово «точка» заменить словом «плоскость» и, обратно, слово «плоскость» — словом «-точка*, то вся система аксиом останется неизменной. В аксиомам И I, 114 и в определении скрещиваю­щихся прямых при этом произойдет лишь перестановка состя-вляющия их фраз (если учесть симметричность отношения инци­дентность). Аксиома V\2 превратится в аксиому И.2*, а И.2* — в И.2; так же связаны между собой аксиомы ИЗ, ИЗ*. Нако­нец, аксиомы И.5 и И.К при указанной замело сохранят cbofo формулировку; для аксиомы Й,6 следует при этом принять во внимание сказанное выше об определении скрещивающихся прямых.

Все предложения проективной геометрии об инцидентности элементов проективного пространства устанавливаются на ос­нове аксиом И.! —И.6; следовательно, указанная выше замена слов превращает любое такое предложение в новое предложе-


43

аксиомы инцидентности n pork тинной гиометгии

  1   2   3   4   5   6   7

Похожие:

Самым определяется перспективное отображение iconСамым определяется перспективное отображение
О, и обе прямые я и л' расположены в одной плоскости). Пусть Т\ есть перспективное отображение плоскости ш на плоскость о/ из центра...
Самым определяется перспективное отображение iconПоследовательности
Определение. Последовательность {an} определяется как отображение множества натуральных чисел в множество действительных чисел, {an}:...
Самым определяется перспективное отображение iconДвижения. Преобразования фигур
...
Самым определяется перспективное отображение iconВнеклассное мероприятие «Зов джунглей»
Мы приветствуем всех, кто пришел на нашу игру, которую мы посвящаем самым добрым, самым чутким, самым нежным, заботливым, беспокойным,...
Самым определяется перспективное отображение iconВнутреннее отображение товара
Отображение товара должно быть в 4 ряда и прорисовано так же: ireplace ru/catalog/zapchasti-iphone/4s
Самым определяется перспективное отображение iconСоветы медицинского работника
Рано или поздно каждый из нас страдает от обычного насморка. Будь вы самым храбрым, самым сильным, самым хорошим, самым умным, все...
Самым определяется перспективное отображение iconТеория неявных функция
Говорят, что данное отображение или функция принадлежит классу C1 (или непрерывно дифференцируемо), если непрерывно дифференцируемы...
Самым определяется перспективное отображение iconКлассный час «Будьте милосердными»
Учитель. Человеколюбие общества, семьи, отдельного человека определяется прежде всего отношением к детям, старикам, к самым беззащитным...
Самым определяется перспективное отображение iconКруглый стол «Сельский туризм перспективное направление развития малых форм хозяйствования» Организаторы: фгбу «Учебно-методический центр сельскохозяйственного консультирования и переподготовки кадров в апк»
Круглый стол «Сельский туризм перспективное направление развития малых форм хозяйствования»
Самым определяется перспективное отображение iconТ. Н. Бондаренко учитель начальных классов, психолог мбоу «Начальная школа детский сад» города-курорта Железноводска счастливые родители одаренных детей методическое пособие
...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org