Закон инерции Импульсом частицы называется произведение массы частицы на ее скорость



Скачать 70.45 Kb.
Дата22.04.2013
Размер70.45 Kb.
ТипЗакон
ЛЕКЦИЯ 3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ЧАСТИЦЫ

3.1 Теорема об изменении импульса частицы. Закон инерции

Импульсом частицы называется произведение массы частицы на ее скорость:

. (3.1)

Согласно второму закону Ньютона

. (3.2)

Здесь мы использовали тот факт, что масса частицы есть величина постоянная, и ее можно внести под знак производной. Используя определение импульса частицы (3.1), перепишем последнее равенство в виде

. (3.3)

Данное уравнение математически выражает собой теорему об изменении импульса частицы: скорость изменения импульса частицы равна силе, действующей на частицу.

Рассмотрим свободную частицу, т.е. частицу, на которую не действуют силы или действие сил действующих на частицу скомпенсировано. Таким образом, для свободной частицы и, следовательно, . Это означает, что свободная частица движется прямолинейно и равномерно либо покоится (закон инерции).

Закон инерции является следствием однородности пространства и времени, изотропности пространства и принципа относительности. На самом деле, ускорение частицы



есть функция времени и ее координат и скорости в тот же момент времени. В силу однородности времени эта функция для свободной частицы не должна зависеть от времени, в силу однородности пространства она не зависит от координат частицы. Принцип относительности требует, чтобы выполнялось равенство

.

Поскольку вектор является произвольным, то данная функция должна быть постоянным вектором, который в силу изотропности пространства должен быть равен нулю.
3.2 Теорема об изменении момента импульса частицы

Моментом силы относительно точки (центра) называется векторное произведение радиус-вектора частицы на вектор силы:

. (3.4)

Моментом импульса (орбитальным моментом) частицы называется векторное произведение радиус-вектора частицы на ее импульс:

. (3.
5)

Найдем скорость изменения момента импульса частицы:

,

где при переходе к последнему равенству использовано, что векторы скорости и импульса частицы параллельны и их векторное произведение равно нулю. Используя теорему об изменении импульса (3.3) и определение (3.4), приходим к теореме об изменении момента импульса частицы:

, (3.6)

скорость изменения момента импульса частицы равна моменту силы, приложенной к частице.

Если момент силы, приложенной к частице, равен нулю, то момент импульса частицы есть величина постоянная. В частности, момент импульса свободной частицы сохраняется.
3.3 Кинетическая энергия частицы. Работа, мощность. Теорема об изменении кинетической энергии частицы

Кинетической энергией частицы называется величина

. (3.7)

Элементарной работой называется скалярное произведение силы, действующей на частицу, на вектор элементарного перемещения частицы

. (3.8)

Работа силы по перемещению частицы из положения 1 в положение 2 определяется как сумма элементарных работ на данном перемещении, т.е.

. (3.9)

Преобразуем формулу (3.9) для работы силы с учетом второго закона Ньютона и определения кинетической энергии (3.7):

,

т.е.

. (3.10)

Данные формулы выражают собой теорему об изменении кинетической энергии частицы в дифференциальной и интегральной форме, соответственно.

Мощностью называют работу, совершенную за единицу времени:

(3.11)

- мощность силы. Используя первую формулу (3.10), получим формулу для изменения кинетической энергии частицы в виде:

. (3.12)
3.4 Потенциальная сила. Потенциальная энергия. Теорема об изменении потенциальной энергии

Сила называется потенциальной, если работа этой силы по перемещению частицы из положения 1 в положение 2 не зависит от вида траектории движения частицы и определяется только начальным и конечным положениями частицы. Работа потенциальной силы по замкнутому контуру равна нулю (теорема о циркуляции):

. (3.13)

Потенциальная сила не зависит от скорости движения частицы и может быть представлена в виде

. (3.14)

Здесь - скалярная функция координат частицы и времени, называемая потенциальной энергией. Из определения потенциальной энергии (3.14) следует, что она определяется с точностью до некоторой постоянной, в которую, в качестве параметра, может входить время. Выбор этой постоянной называется нормировкой потенциальной энергии.

Вычислим элементарную работу потенциальной силы по перемещению частицы:



. (3.15)

Формула (3.15) представляет собой теорему об изменении потенциальной энергии частицы.

Пример 3.1. Вычислим работу силы тяжести :

,

где - величина вертикального смещения частицы. Таким образом, работа силы тяжести равна произведению силы на вертикальное смещение частицы. Работа силы не зависит от вида траектории, по которой перемещается частица, т.е. сила тяжести является потенциальной силой. Потенциальная энергия частицы в поле силы тяжести определяется по формуле .

Пример 3.2. Вычислим работу силы упругости :

.

Потенциальная энергия частицы, движущейся под действием упругой силы, .

Пример 3.3. Работа силы ньютонова тяготения :

.

Потенциальная энергия частицы массы в поле силы тяготения .
3.5 Теорема об изменении полной механической энергии системы

Пусть сила, действующая на частицу, является потенциальной. В этом случае наряду с теоремой об изменении кинетической энергии (3.10) справедлива теорема об изменении потенциальной энергии (3.15). Приравнивая, друг к другу правые части первого равенства (3.10) и равенства (3.15) получим:

. (3.16)

Сумма кинетической и потенциальной энергий частицы называется полной механической энергией частицы:

. (3.17)

С учетом данного определения формула (3.16) приобретает вид:

(3.18)

или

(3.19)

- полная производная по времени от механической энергии частицы равна частной производной по времени от ее потенциальной энергии (теорема об изменении полной механической энергии частицы).

Если потенциальная энергия частицы не зависит явно от времени, то полная механическая энергия частицы сохраняется (закон сохранения механической энергии частицы). В частности, у свободной частицы механическая энергия совпадает с кинетической энергией и сохраняется.

Пример 3.4. Потенциальная энергия частицы в поле силы тяжести Земли , где высота частицы над поверхностью Земли. Полная механическая энергия . В процессе движения частицы ее кинетическая и потенциальная энергия меняются со временем, полная энергия остается постоянной.

3.6 Законы сохранения и их связь со свойствами симметрии пространства и времени

Выпишем формулы для изменения со временем импульса, орбитального момента и кинетической энергии частицы:

. (3.20)

В случае, когда сила является потенциальной, данные формулы приобретают вид:

. (3.21)

Из данных теорем вытекают соответствующие законы сохранения, которые связаны определенным образом со свойствами пространства и времени.

Из первой формулы (3.20) следует, что импульс частицы сохраняется, если сила, действующая на частицу, равна нулю. Если равна нулю проекция силы на некоторое направление, то сохраняется проекция импульса частицы на данное направление. Из второй формулы вытекает, что орбитальный момент частицы сохраняется, если сила равна нулю или вектор силы параллелен радиус-вектору частицы (момент силы равен нулю). Если равна нулю проекция момента силы на некоторое направление, то сохраняется проекция орбитального момента на это направление. Наконец, если вектор силы перпендикулярен вектору скорости частицы, то сохраняется кинетическая энергия частицы.
Пример 3.5. Частица в поле силы тяжести. Сила тяжести направлена по оси . Проекции силы на оси равны нулю. Следовательно, проекции импульса частицы сохраняются. Момент силы тяжести относительно оси равен нулю. Поэтому проекция момента импульса частицы сохраняется.

Пример 3.6. Частица движется под действием магнитной составляющей силы Лоренца: . В данном случае сила перпендикулярна скорости движения частицы и кинетическая энергия частицы сохраняется. Заметим, что магнитная составляющая силы Лоренца принадлежит к числу гироскопических сил, которые линейно зависят от скорости частицы и перпендикулярны скорости. Работа гироскопической силы равна нулю.
Когда сила является потенциальной, то импульс сохраняется в том случае, если потенциальная энергия частицы не меняется при сдвигах в пространстве. Если потенциальная энергия не меняется при сдвиге вдоль некоторого направления, то сохраняется проекция импульса на это направление. Орбитальный момент сохраняется тогда, когда потенциальная энергия не меняется при поворотах в пространстве. В том случае, когда потенциальная энергия не меняется при повороте вокруг некоторого направления, то сохраняется проекция орбитального импульса на это направление. Механическая энергия частицы сохраняется, когда потенциальная энергия не зависит явно от времени (не меняется при временных сдвигах). Данные утверждения следуют из формул (3.21).

Пример 3.7. Движение частицы под действием центральной силы: . Потенциальная энергия частицы в данном случае зависит только от модуля радиус-вектора частицы: . Она не меняется при пространственных поворотах вокруг силового центра. Следовательно, момент импульса частицы в центральном поле сохраняется.
Закон сохранения импульса связан с однородностью пространства, орбитального момента – с изотропностью пространства, энергии – с однородностью времени. Если теряется одно из свойств симметрии пространства и времени (например, из-за наличия внешних полей), то теряется и соответствующий закон сохранения.





Похожие:

Закон инерции Импульсом частицы называется произведение массы частицы на ее скорость iconМетодические указания к практическии занятиям по дисциплине физика часть Тула 2010 Волны де Бройля
Если электромагнитное излучение с длиной волны должно проявлять свойства частицы-фотона с энергией и импульсом, то и материальные...
Закон инерции Импульсом частицы называется произведение массы частицы на ее скорость iconL0-длина стержня в системе, относительно которой стержень покоится l
А = mc2 = m0с2 + Т, где т кинетическая энергия частицы, m0с2 её энергия покоя. Частица называется релятивистской, если скорость частицы...
Закон инерции Импульсом частицы называется произведение массы частицы на ее скорость iconЗадача 15. Две одинаковые частицы массы
Две одинаковые частицы массы с дебройлевскими длинами волн и движутся перпендикулярно друг другу. Найти дебройлевские длины волн...
Закон инерции Импульсом частицы называется произведение массы частицы на ее скорость iconЗакон сохранения импульса
Задача № Частица столкнулась с частицей, в результате чего возникла составная частица. Найти её скорость и модуль скорости, если...
Закон инерции Импульсом частицы называется произведение массы частицы на ее скорость iconЗадача кеплера. Рассеяние частиц 1 Задача Кеплера Задачей Кеплера называется задача о движении частицы в поле 1)
Потенциальная энергия частицы в таком поле отрицательна и обратно пропорциональна расстоянию частицы до силового центра; сила, действующая...
Закон инерции Импульсом частицы называется произведение массы частицы на ее скорость iconЗакон сохранения импульса. Импульс Импульсом называется произведение массы тела на скорость. • Импульс величина векторная, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости; • Размерность импульса
Импульс величина векторная, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости
Закон инерции Импульсом частицы называется произведение массы частицы на ее скорость icon12. Момент импульса частицы и системы частиц. Момент силы
Моментом импульса частицы массой m относительно точки о называется псевдовектор, равный векторному произведению векторов и
Закон инерции Импульсом частицы называется произведение массы частицы на ее скорость iconПриложение для слаб. Распределите по графам таблицы «4 случая написания частицы ни»
Распределите по графам таблицы «4 случая написания частицы ни» в ваших тетрадях номера данных предложений. Ниже таблицы выпишите...
Закон инерции Импульсом частицы называется произведение массы частицы на ее скорость iconЗакон сохранения электрического заряда
Система называется эл изолированной, если через ограничивающую её поверхность не могут проникать заряженные частицы. Точечным зарядом...
Закон инерции Импульсом частицы называется произведение массы частицы на ее скорость iconИтальянска я Директор ООО «ИХиП»
В результате чего с ковра удаляется: частицы песка, пыли, волос и другие частицы грязи
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org