Законы и теоремы динамики системы частиц



Скачать 61.43 Kb.
Дата22.04.2013
Размер61.43 Kb.
ТипЗакон
ЛЕКЦИЯ 4. ЗАКОНЫ И ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ
4.1 Внешние и внутренние силы. Центр инерции системы частиц

Пусть имеется система, состоящая из - частиц. Все силы, действующие на частицы системы, можно разделить на внешние - и внутренние: -сила, действующая со стороны частицы b системы на частицу a.

Внутренние силы подчиняются третьему закону Ньютона, т.е.

. (4.1)

Теорема 1. Сумма всех внутренних сил, действующих на частицы системы, равна нулю:

, (4.2)

где штрих у второй суммы означает, что .

Теорема 2. Сумма моментов всех внутренних сил равна нулю:

. (4.3)

Следует помнить, что внутренние силы приложены к разным частицам и не уравновешивают друг друга, т.е. они способны вызывать движение частиц системы относительно друг друга.

Центром инерции системы называется точка с радиус-вектором

, (4.4)

где - масса системы частиц.
4.2 Теорема о движении центра инерции

Запишем уравнения движения каждой частицы системы



и просуммируем их по числу частиц системы

,

где - главный вектор внешних сил и использована теорема о сумме внутренних сил. Таким образом,

, (4.5)

где - скорость центра инерции. Данная формула математически выражает теорему о движении центра инерции: центр инерции системы движется как точка, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложен главный вектор внешних сил. Если главный вектор внешних сил равен нулю, то центр инерции системы движется прямолинейно и равномерно, либо покоится.
4.3 Импульс системы частиц.
Теорема об изменении импульса системы частиц


Импульсом системы частиц называется суммарный импульс всех частиц системы, т.е.

. (4.6)

Используя определение центра инерции системы (4.4) и его скорости, выражение для импульса системы частиц можно преобразовать к виду

, (4.7)

где - масса системы и - скорость центра инерции. Дифференцируя (4.7) по времени и используя (4.5), получим теорему об изменении импульса системы частиц:

(4.8)

- скорость изменения импульса системы частиц равна главному вектору внешних сил, действующих на частицы системы.

Если главный вектор внешних сил равен нулю, то импульс системы частиц сохраняется (закон сохранения импульса системы частиц).
4.4 Момент импульса системы частиц. Теорема об изменении момента импульса системы частиц

Момент импульса системы (орбитальный момент) частиц равен сумме моментов импульса частиц системы:

. (4.9)

Запишем закон изменения момента импульса для каждой частицы системы:

(4.10)

и просуммируем данные - уравнений:

, (4.11)

где - главный вектор момента внешних сил и использована теорема о сумме моментов внутренних сил. С учетом определения (4.9), получаем

. (4.12)

Данная формула выражает собой теорему об изменении момента импульса системы частиц: скорость, изменения момента импульса системы частиц, равна главному вектору момента внешних сил. Если главный вектор момента внешних сил равен нулю, то момент импульса системы частиц сохраняется (закон сохранения момента импульса системы).
4.5 Преобразование момента импульса системы частиц

Рассмотрим, как преобразуется момент импульса системы при переходе от одной ИСО к другой. Пусть не штрихованная ИСО является неподвижной, а штрихованная ИСО связана с центром инерции системы и ее оси координат параллельны осям неподвижной системы координат (рис.4.1).












O

Рис. 4.1


Для импульса системы частиц в данном случае, проведя соответствующие преобразования и используя тот факт, что относительно центра инерции импульс системы частиц и вектор центра инерции равны нулю, имеем:

(4.13)

- момент импульса системы частиц складывается из момента импульса системы поступательного движения, как единого целого, и относительного движения (относительно центра инерции).

Рассмотрим систему из двух частиц в системе центра инерции. Имеем:

,

,

,

где - приведенная масса.

В квантовой механике показывается, что частицы могут обладать собственным (внутренним) моментом импульса, который называется спином. Собственный момент импульса системы частиц при этом представляет собой сумму относительного момента импульса системы и собственных моментов импульса частиц (их спинов):

. (4.14)

4.6 Кинетическая энергия системы частиц. Теорема об изменении кинетической энергии системы. Теорема Кенига

Кинетическая энергия системы частиц складывается из суммы кинетических энергий частиц системы:

. (4.15)

Запишем теорему об изменении кинетической энергии каждой частицы системы:

;

складываем данные N- уравнений:

. (4.16)

Данное выражение представляет собой теорему об изменении кинетической энергии системы. Следует заметить, что изменение кинетической энергии зависит от работы, как внешних сил, так и внутренних сил.

Рассмотрим, как преобразуется кинетическая энергия системы при переходе от одной ИСО к другой (рис. 4.1):

, (4.17)

где - масса системы. Таким образом, кинетическая энергия системы частиц равна сумме кинетической энергии системы, как единого целого в ее поступательном движении, и кинетической энергии в ее относительном движении относительно центра инерции (теорема Кенига).

В частности, для замкнутой системы из двух частиц в системе центра инерции:

,

где - приведенная масса системы.

4.7 Потенциальная энергия системы частиц. Собственная энергия системы частиц

Рассмотрим систему частиц, взаимодействующих друг с другом и с частицами, которые не входят в данную систему. Силы взаимодействия между частицами будем считать потенциальными и стационарными. В этом случае для каждой частицы системы можно записать

,

где - потенциальная энергия частицы в поле частиц системы, - во внешнем поле. Для системы частиц элементарная работа записывается в виде

, (4.18)

где - потенциальная энергия системы частиц во внешнем поле (теорема об изменении потенциальной энергии системы частиц). Она складывается из потенциальной энергии системы частиц в отсутствии внешнего воздействия на систему



и потенциальной энергии, обусловленной внешним силовым полем

.

Энергия складывается из энергий парного взаимодействия частиц системы (принцип суперпозиции)

, (4.19)

где множитель ½ компенсирует вклад одинаковых членов . В случае центральных сил потенциальная энергия (4.19) зависит от модуля разности радиус-векторов частиц системы.

Собственная энергия системы частиц складывается из кинетической энергии движения частиц относительно центра масс системы

,

из энергии (4.19) и собственных (внутренних) энергий частиц системы

,

которые определяются формулой Эйнштейна: .Таким образом, собственная энергия частиц системы

. (4.20)

Если частицы системы не взаимодействуют друг с другом, то второе слагаемое в последней формуле обращается в ноль.

4.8 Закон сохранения механической энергии системы частиц

Сравнивая между собой формулы (4.16) и (4.18) для изменения кинетической и потенциальной энергии системы частиц, соответственно, можно записать

. (4.21)

Таким образом, если все силы, действующие на частицы системы, являются потенциальными и стационарными, то полная механическая энергия системы частиц сохраняется.

В том случае, если потенциальные внешние силы, действующие на частицы системы, не являются стационарными, справедлива теорема об изменении механической энергии системы:

. (4.22)

Отсюда видно, что изменение механической энергии системы определяется временной зависимостью потенциальной энергии системы частиц.




Похожие:

Законы и теоремы динамики системы частиц iconПрограмма вступительного экзамена в аспирантуру по специальности
Движение материальной точки и системы материальных частиц в механике Ньютона. Интегралы движения и законы сохранения. Движение в...
Законы и теоремы динамики системы частиц iconНовые законы сохранения для уравнений газовой динамики
...
Законы и теоремы динамики системы частиц iconСистемы частиц и твёрдых тел
Все возможные факторы, влияющие на поведение частицы, должны учитывать законы движения
Законы и теоремы динамики системы частиц iconЗаконы сохранения; общие свойства одномерного движения; колебания; движение в центральном поле; система многих взаимодействующих частиц; рассеяние частиц; механика частиц со связями, уравнения Лагранжа
Галилея и Эйнштейна; нерелятивистские и релятивистские уравнения движения частицы
Законы и теоремы динамики системы частиц iconОбщие теоремы динамики
Центр масс системы движется как материальная точка, масс которой равна массе механической системе и к которой приложены все внешние...
Законы и теоремы динамики системы частиц iconФизические основы динамики газов
Понятие фазового пространства механической системы из частиц. Функция Гамильтона и уравнения движения. Интеграл энергии и гипотеза...
Законы и теоремы динамики системы частиц iconЛекция 2 основные постулаты динамики ньютона
И. Ньютоном и носят название законов Ньютона. Рассмотрение движения частиц проводится по отношению к исо. Случаи, когда движения...
Законы и теоремы динамики системы частиц iconЗаконы Ньютона. Классическая механика
Законы Ньютона — законы классической механики, позволяющие записать уравнения движения для любой механической системы
Законы и теоремы динамики системы частиц iconЗаконы сохранения в мире частиц. Барионное и лептонное квантовое число. Странность. Частицы античастицы
Эти законы можно разделить на два класса универсальные (действующие во всех взаимодействиях) и те, которые в некоторых взаимодействиях...
Законы и теоремы динамики системы частиц iconСистемы одинаковых квантовых частиц. Вторичное квантование
Рассмотрим систему одинаковых частиц, т е частиц одного сорта, у которых одинаковы массы, заряды, спины и, возможно, некоторые другие...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org