Лекции. Момент импульса



Скачать 85.45 Kb.
Дата22.04.2013
Размер85.45 Kb.
ТипЛекции
Тема лекции.

Момент импульса. Момент силы. Момент инерции тела вращающегося вокруг фиксированной оси. Теорема Гюйгенса — Штейнера. Кинетическая энергия вращающегося тела. Закон сохранения момента импульса. Механика твердого тела.
В этом разделе будет обсуждаться материал, который также связан с ещё одним законом сохранения. Понятия, которые, рассматриваются в этом разделе, учитывают точку приложения сил и являются необходимыми при описании движения (или условий равновесия) твердых (и не только) тел.

Начнем с определения момента импульса. Моментом импульса материальной точки (частицы) называется следующая величина:



(1)

Здесь и — радиус вектор и импульс частицы соответственно. Из этого определения видно, что:

  1. Момент импульса является векторной величиной.

  2. Момент импульса зависит от выбора точки (начала координат) относительно которой момент импульса вычисляется. Т.е момент импульса зависит от точки приложения силы (положения материальной точки) в данной системе отсчета.

Прежде всего, поймем, как момент импульса зависит от точки приложения силы. Из определения векторного произведения следует, что модуль (направлением пока не интересуемся) момента импульса равен:



(2)


Р
ис.1


Из Рис.1 следует, что можно также модуль момента импульса записать, используя плечо вектора импульса :



(3)

Т.е. момент импульса не меняется при перемещении частицы вдоль направления импульса (момент импульса при этом не меняется). Это можно показать, используя свойство, свойство векторного произведения, согласно которому векторное произведение равно нулю для параллельных векторов (угол gif" name="object7" align=absmiddle width=19 height=18> равен нулю). Если частица движется так, что её импульс не меняется, то она движется с постоянной скоростью вдоль линии AB на Рис.1, из которого видно, что и плечо силы не меняется. В этом случае зависимость радиус-вектора частицы дается уравнением:

,

(4)

А момент импульса равен:

,

(5)

Т.е. момент импульса не меняется со временем, т.е. остается постоянным. Итак, мы получили, что момент импульса частицы, движущейся с постоянной скоростью, остается постоянным. А как будет меняться момент импульса, если скорость не постоянна (если на частицу действуют силы). Для этого продифференцируем момент по времени и воспользуемся вторым законом Ньютона:



(6)

Поскольку вектора и параллельны, то иx векторное произведение равно нулю и в итоге получаем уравнение моментов для одной частицы:



(6)

Вектор — называется моментом силы . По аналогии с моментом импульса, для момента силы также можно ввести плечо.

Момент импульса системы частиц равен моменту импульса каждой из частиц:



(7)

Напишем уравнение для изменения момента системы со временем. Для чего найдем производную и воспользуемся вторым законом Ньютона:



(8)

Силу, которая действует на i-ю частицу можно представить в виде суммы сил действующих на неё со стороны других частиц системы и внешней силы:



(9)

В соответствии с этим моменты сил действующих, на систему, также разбиваются на внутренний и внешний:



(10)

Рассмотрим подробнее момент внутренних сил действующих между двумя частицами:



(11)

Согласно третьему закону Ньютона и это дает:



(12)

Но сила взаимодействия между двумя частицами направлена вдоль линии, соединяющей частиц, т.е. вдоль (см. Рис.2). Это означает, что момент внутренних сил для выбранной пары равен нулю:



(13)

Р
ис.2
Поскольку пара была выбрана произвольно, то полный момент внутренних сил равен нулю. И уравнение моментов для системы имеет вид:



(14)

Если момент внешних сил равен нулю, то момент импульса системы сохраняется. Ещё один закон сохранения. Также как и в случае с импульсом систему, момент импульса является векторной величиной, и сохраняются три проекции. Кроме того, если равна нулю проекция внешних сил на какую-то ось, То сохраняется проекция момента импульса на эту ось.

Выясним, как момент сил зависит от выбора начала координат. Пусть момент сил при некотором выборе начала отсчета. Выясним, чему равен момент при изменении начала отсчета, т.е. при преобразовании :



(14)

Где суммарная внешняя сила, действующая на систему. Из этого уравнения видно, что момент внешних сил не зависит от точки, относительно которой он вычисляется, если сумма внешних сил равна нулю (хоть они и приложены к разным точкам системы). Одним из примеров, такого случая является случай, когда в системе приложена пара сил. Пусть к телу в точках с радиус векторами и приложены силы и соответственно. И при этом результирующая сила равна нулю . Поскольку в этом случае момент сил не зависит от точки, относительно которой он вычисляется, то можно вычислять его относительно точки (1). И тогда он равен



(15)

Вообще, говоря, уравнения движения твердого тела сводятся к решению следующих систем дифференциальных уравнений:



(16)

Здесь — скорость центра масс тела (мы это уравнение получили, когда рассматривали закон сохранения импульса), а соответствующие моменты вычисляются в системе центра масс относительно самого центра масс. В принципе, совсем не обязательно писать уравнение для моментов относительно центра масс. Можно написать уравнение моментов и относительно любой другой точки, но, как правило, удобнее писать это уравнение именно относительно центра масс. Мы не будем подробно обсуждать движение твердого тела в деталях. Достаточно знать, что движение тела сводится к движению его центра масс и вращению, которое определяется моментам внешних сил.
Момент импульса и момент силы относительно оси.

Момент импульса и момент силы относительно оси используются при описании вращения тела относительно неподвижной оси. Начнем с определения этих понятий. Выберем неподвижную ось и определим момент импульса частицы и момент сил относительно некоторой точки находящейся на этой оси. Моментом импульса частицы относительно этой оси, называется проекция момента импульса на эту ось (ещё раз подчеркнем, что точка относительно которой определяется момент). Аналогично определяется момент силы относительно некоторой оси. Итак, остановимся несколько подробнее на моменте сил относительно некоторой оси. Для вычисления момента импульса сил относительно оси удобно представить радиус-вектор и силу в виде составляющих (), направленных вдоль оси, относительно которой вычисляется момент и составляющих перпендикулярных этой оси ():



(16a)



(16b)

При таком разбиении момент силы записывается в виде:



(17)

Проанализируем входящие в это равенство слагаемые:

  1. вектор — равен нулю, т.к. оба вектора параллельны (или антипараллельны).

  2. вектора и — направлены перпендикулярно выбранной оси и поэтому дают нулевой вклад в проекцию на эту ось.

  3. вектор — направлен вдоль выбранной оси, и только он представляет интерес (дает ненулевую проекцию).

В итоге получаем (выбранная ось совпадает с осью Z):



(18)

Направление проекции момента силы на ось Z определяется правилом правого винта, а величина равна

.

(19)

Где — плечо силы, которое определяется как кратчайшее расстояние между направлением силы и осью Z (см. Рис.3).
Р
ис.3

Аналогично моменту силы относительно оси можно определить и момент импульса относительно оси.

Вращение вокруг неподвижной оси.

Момент инерции тела вращающегося вокруг фиксированной оси.

Теорема Гюйгенса — Штейнера.

Остановимся на выражении для момента импульса твердого (недеформируемого) тела, которое вращается вокруг фиксированной оси. Прежде всего, разобьем тело на маленькие объемы, которые будем считать материальными точками. Пронумеруем эти объёмы и воспользуемся выражением для связи скорости материальной точки вращающейся вокруг

.

(20)

здесь — радиус окружности, по которой вращается i – я материальная точка. Очевидно, что угловая скорость имеет одну и ту же величину для всех точек тела (чтобы все точки тела повернулись на один и тот же угол за данный промежуток времени). Соответственно импульс i – ой материальной точки:

.

(21)

Поскольку частицы движутся по окружностям лежащим в плоскости перпендикулярной к оси вращения, то плечо i – ой точки равно радиусу окружности . Отсюда имеем для проекции момента импульса тела на ось вращения:

.

(22)

Введенная здесь величина называется моментом инерции относительно оси Z. Она является характеристикой тела и, как видно из (22) момент инерции относительно оси по определению равен:

.

(23)

С учетом этого определения получаем уравнения для вращения вокруг оси Z :

(24)

Где — угловое ускорение. Внимание! Это уравнение справедливо, только если момент импульса остается постоянным. В общем виде уравнение имеет вид

(25)

Или, если , то:

(26)

Часто бывает легко вычислить момент инерции тела относительно оси проходящей через некоторую точку. Рассмотрим две параллельные ось проходящие через точки и . Будем считать, что точка совпадает с центром инерции. Будем рассматривать двумерные вектора лежащие в плоскости, перпендикулярной выбранным осям. Моменты импульсов относительно осей проходящих через точки и равны:

(27)

(28)

При этом имеется связь:

(29)

Поскольку точка совпадает с центром масс системы, то должно выполняться равенство:

(30)

Действительно, это равенство означает, что координата центра масс совпадает с началом координат. С учетом (28) — (30) можно преобразовать (27) к следующему виду:

(31)

Полученная связь моментов инерции носит название теоремы Гюйгенса — Штейнера (иногда просто Штейнера).

Кинетическая энергия вращающегося тела.

Остановимся на вопросе вычисления кинетической энергии тела вращающегося

вокруг фиксированной оси. Запишем кинетическую энергию тела:

которое, вращается вокруг фиксированной оси:

(32)

При вращении вокруг фиксированной оси скорость , расстояние до оси вращения и угловая скорость связаны соотношением:

(33)

с учётом этой связи можно выразить кинетическую энергию через момент инерции и угловую скорость:

(34)

Механика твердого тела.

Движение твёрдого (недеформируемого) тела определяется движением центра масс и вращением вокруг оси проходящей через центр масс. Вообще говоря, последнее требование не является необходимым, но обычно так бывает проще. В итоге получаем, что под действием внешних сил движение твердого тела (недеформируемого тела) описывается следующей системой уравнений (16):

(35)

(36)

Эту систему мы уже писали (16) и эти формулы просто ещё раз напоминают, что недостаточно равенства нулю внешних сил. В этом случае тело ещё может вращаться вокруг центра масс. А вот если нулю равны и моменты, то тело покоится. Ну а моменты у нас учитывают мо обстоятельство, что силы приложенные к разным точкам действуют по-разному.

Похожие:

Лекции. Момент импульса iconМомент импульса микрочастицы Содержание
Момент импульса состоит из орбитального и собственного. Собственным моментом импульса называется момент импульса, вычисленный при...
Лекции. Момент импульса icon12. Момент импульса частицы и системы частиц. Момент силы
Моментом импульса частицы массой m относительно точки о называется псевдовектор, равный векторному произведению векторов и
Лекции. Момент импульса icon" Проверка сохранения момента импульса"
Цель работы: определить момент инерции и угловую скорость электродвигателя. Проверить закон сохранения импульса
Лекции. Момент импульса iconТемы для изучения Момент инерции, вращающий момент, момент импульса, нутация. Принцип
При незначительном смещении оси вращения свободного гироскопа наблюдается нутация. Исследуется зависимость между частотой нутации...
Лекции. Момент импульса iconТема нашей работы: Элементы механики твердого тела. Гироскоп
Рассмотренные вопросы: момент инерции, момент импульса и закон его сохранения, гироскоп и его применение в школьном курсе физики...
Лекции. Момент импульса iconM=J, где м  момент силы M=[ r  f ], j 
М(внешн)=0 закон сохранения момента импульса кинетическая энергия вращающегося тела
Лекции. Момент импульса iconУрок по физике: Импульс. Закон сохранения импульса
Дать понятие импульса тела; изучить закон сохранения импульса тела; учиться решать задачи
Лекции. Момент импульса iconЛекции лекции лекции, зачет лекции лекции Зимняя сессия
Памятка для студентов 1 курса экономического факультета заочной формы обучения по направлению подготовки
Лекции. Момент импульса iconЗакон сохранения импульса. Импульс Импульсом называется произведение массы тела на скорость. • Импульс величина векторная, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости; • Размерность импульса
Импульс величина векторная, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости
Лекции. Момент импульса iconКонспект доклада от 26 октября А. П. Пятаков, мгу : Различия и сходства
Фотон и электрон. Кажется что больше различий, чем сходств. Но и тот и другой имеют импульс, момент импульса. Уже есть основания...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org