Философское значение геометрии Лобачевского Название направлений форума



Скачать 236.5 Kb.
Дата08.10.2012
Размер236.5 Kb.
ТипДокументы




Муниципальный тур краевого форума «Молодежь и наука»

Полное название темы работы

Философское значение геометрии Лобачевского


Название направлений форума

«Естественные науки и современный мир»

Тип работы

исследовательская работа

Возрастная номинация

6-10 классы,

Фамилия, имя, отчество
(полностью) автора, дата рождения (ДД.ММ.ГГГГ)


Гетто Святослав Александрович, 15,10,1996

Домашний адрес автора

г. Сосновоборск, ул. Весенняя, д.7, кВ.61. 662501

Место учебы:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Гимназия №1»

Класс

10 г

Место выполнения работы




Руководитель

Зайцева Татьяна Владимировна, учитель математики

Научный руководитель

нет

Ответственный за корректуру текста работы




e-mail (обязательно)
Контактный телефон

Автора : gettoslava@gmail.com

89232803894


Гетто Святослав Александрович

г. Сосновоборск, МБОУ «Гимназия №1», 10 класс

«Философский смысл геометрии Лобачевского»

Руководитель: Зайцева Татьяна Владимировна, учитель математики

Цель научной работы: определить философский смысл геометрии Лобачевского. Методы проведенных исследований: сравнительно-исторический анализ литературы, причинно-следственный анализ, опрос (анкетирование), оценивание. Основные результаты исследования: определен философский смысл геометрии Лобачевского.

Содержание :
Введение.
1.Глава 1. исследование исторических данных о геометрии Лобачевского.

1,1 История создания геометрии Лобачевского

1,2 Модели плоскости Лобачевского

1,3 Некоторые свойства геометрии Лобачевского

1,4 Определение в некоторых источниках значения геометрии Лобачевского

1,5 Вывод по главе 1

2.Глава 2. определение философского смысла геометрии Лобачевского на основе сравнения.

2,1 Сравнение геометрии Лобачевского и геометрии Евклида

2,2 Применяемость знаний о философском смысле геометрии Лобачевского

2,3 Вывод по главе 2
3.Заключение.

4.Библиографический список.

Введение.
В современном мире очень быстро развиваются технологии, растет поток информации, общество развивается очень быстро. Но на фоне всего этого очень мало значения уделяется формированию мировоззрения, философского подхода к окружающему миру, развитию толерантности. Считается, что философское отношение к миру – тема только нескольких гуманитарных наук. Однако это не так. Можно обнаружить философию даже в такой науке, как математика. Недавно я узнал о таком направлении математики, как геометрия Лобачевского. Во многих источниках, таких как, например, Большая Советская Энциклопедия говориться о том, что, помимо математического, геометрия Лобачевского имеет и философский смысл. Я решил подробнее заняться этой темой.
Цель работы: определение философского смысла открытия Лобачевского.

Задачи:

Исследовать историю создания геометрии Лобачевского.

Выяснить, какие имеются модели геометрии Лобачевского.

Сравнить геометрию Лобачевского с геометрией Евклида.

Оценить вклад геометрии Лобачевского в философию.

Примененные методы исследования:

Метод сравнительно-исторического анализа литературы

Метод причинно-следственного анализа

Метод опроса (анкетирование)

Метод оценивания


Глава 1. Исследование исторических данных о геометрии Лобачевского
1,1История создания геометрии Лобачевского.
Попытки доказательства пятого постулата.
Отправным пунктом геометрии Лобачевского послужил V постулат Евклида — аксиома, эквивалентная аксиоме о параллельных. Он входил в список постулатов в «Началах» Евклида. Относительная сложность и неинтуитивность его формулировки вызывала ощущение его вторичности и порождала попытки вывести его как теорему из остальных постулатов Евклида.
Среди многих пытавшихся доказать пятый постулат были, в частности, следующие крупные учёные.

  • Древнегреческие математики Птолемей (II в.) и Прокл (V в.) (основывался на предположении о конечности расстояния между двумя параллельными).

  • Ибн аль-Хайсам из Ирака (конец X — начало XI вв.) (основывался на предположении, что конец движущегося перпендикуляра к прямой описывает прямую линию).

  • Иранские математики Омар Хайям (2-я половина XI — начало XII вв.) и Насир ад-Дин ат-Туси (XIII в.) (основывались на предположении, что две сходящиеся прямые не могут при продолжении стать расходящимися без пересечения).

  • Герсонид (он же Леви бен Гершом, XIV век). Его доказательство опиралось на утверждение о существовании прямоугольника.

  • Немецкий математик Клавиус (1574).

  • Катальди (впервые в 1603 году напечатал работу, целиком посвященную вопросу о параллельных).

  • Борелли (1658),

  • Дж. Витале (1680).

  • Английский математик Валлис (1663, опубликовано в 1693) (основывался на предположении, что для всякой фигуры существует ей подобная, но не равная фигура).

  • Французский математик Лежандр (1800) (основывался на допущении, что через каждую точку внутри острого угла можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла; у него также были другие попытки доказательства).


При этих попытках доказательства пятого постулата математики вводили (явно или неявно) некоторое новое утверждение, казавшееся им более очевидным.
Были предприняты попытки использовать доказательство от противного:

  • итальянский математик Саккери (1733) (сформулировав противоречащее постулату утверждение, он вывел ряд следствий и, ошибочно признав часть из них противоречивыми, он счёл постулат доказанным),

  • немецкий математик Ламберт (около 1766, опубликовано в 1786) (проведя исследования, он признал, что не смог обнаружить в построенной им системе противоречия).


Наконец, стало возникать понимание о том, что возможно построение теории, основанной на противоположном постулате:

немецкие математики Швейкарт (1818) и Тауринус (1825) (однако они не осознали, что такая теория будет логически столь же стройной).
Создание неевклидовой геометрии.
Лобачевский в работе «О началах геометрии» (1829), первой его печатной работе по неевклидовой геометрии, ясно заявил, что V постулат не может быть доказан на основе других посылок евклидовой геометрии, и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную, как и евклидова, и свободную от противоречий.
Одновременно и независимо к аналогичным выводам пришёл Янош Бойяи, а Карл Фридрих Гаусс пришёл к таким выводам ещё раньше. Однако труды Бойяи не привлекли внимания, и он вскоре оставил эту тему, а Гаусс вообще воздерживался от публикаций, и о его взглядах можно судить лишь по нескольким письмам и дневниковым записям. Например, в письме 1846 года астроному Г. Х. Шумахеру Гаусс отозвался о работе Лобачевского, как о предположении, сходном с тем, которое он сделал сам, но раскрытом более точно.
В итоге Лобачевский выступил как первый наиболее яркий и последовательный пропагандист новой геометрии. Хотя геометрия Лобачевского развивалась как умозрительная теория, и сам Лобачевский называл её «воображаемой геометрией», именно он впервые открыто предложил её не как игру ума, а как возможную и полезную теорию пространственных отношений. Однако доказательство её непротиворечивости было дано позже, когда были указаны её интерпретации (модели).

Утверждение геометрии Лобачевского
Лобачевский умер в 1856 году. Спустя несколько лет была опубликована переписка Гаусса, в том числе несколько восторженных отзывов о геометрии Лобачевского, и это привлекло внимание к трудам Лобачевского. Появляются переводы их на французский и итальянский языки, комментарии видных геометров. Публикуется и труд Бойяи.
В 1868 году выходит статья Э. Бельтрами об интерпретациях геометрии Лобачевского. Окончательно непротиворечивость геометрии Лобачевского была доказана в 1871 году, после появления модели Клейна.
Вейерштрасс посвящает геометрии Лобачевского специальный семинар в Берлинском университете (1870). Казанское физико-математическое общество организует издание полного собрания сочинений Лобачевского, а в 1893 году столетие русского математика отмечается в международном масштабе.

1.2 Модели плоскости Лобачевского
Модель Клейна
В 1871 году Клейн предложил первую полноценную модель плоскости Лобачевского.
Плоскостью служит внутренность круга, прямой — хорда круга без концов, а точкой — точка внутри круга. «Движением» назовём любое преобразование круга в самого себя, которое переводит хорды в хорды. Соответственно, равными называются фигуры внутри круга, переводящиеся одна в другую такими преобразованиями. Тогда оказывается, что любой геометрический факт, описанный на таком языке, представляет теорему или аксиому геометрии Лобачевского. Иными словами, всякое утверждение геометрии Лобачевского на плоскости есть не что иное, как утверждение евклидовой геометрии, относящееся к фигурам внутри круга, лишь пересказанное в указанных терминах. Евклидова аксиома о параллельных здесь явно не выполняется, так как через точку P, не лежащую на данной хорде а (то есть «прямой»), проходит сколько угодно не пересекающих её хорд («прямых»)
Одним из основных недостатков модели Клейна является слишком сложное определение расстояний между точками и углов.


Если точки A и B лежат на хорде PQ так, что порядок их следования на прямой PABQ, тогда расстояние l (A,B) в плоскости Лобачевского определяется как
l(A,B)=½In(PQ;BA)
где (PQ;BA) обозначает двойное отношение.

Определение углов в этой модели еще сложнее.
Модель Пуанкаре
Позже Пуанкаре, в связи с задачами теории функций комплексного переменного дал другую модель. За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга, прямыми считаются дуги окружностей, перпендикулярных окружности данного круга, и его диаметры, движениями — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.
Модель Пуанкаре замечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами.

Существуют разновидности модели — в круге (стереографическая проекция) и на полуплоскости для планиметрии Лобачевского, а также в шаре и в полупространстве — для стереометрии Лобачевского, соответственно.
В модели Пуанкаре на полуплоскости за плоскость Лобачевского принимается верхняя полуплоскость. Прямая, ограничивающая полуплоскость (то есть ось абcцисс), называется «абсолютом». Роль прямых выполняют содержащиеся в этой полуплоскости полуокружности с центрами на абсолюте и начинающиеся на абсолюте перпендикулярные ему лучи (то есть вертикальные лучи). Роль движений — преобразования, получаемые композицией конечного числа инверсий с центром на абсолюте и осевых симметрий, оси которых перпендикулярны абсолюту.
Метрика ds плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре в верхней полуплоскости имеет вид:

, где u и v - прямоугольные координаты, соответственно параллельно и перпендикулярно абсолюту.
Соответственно, в модели Пуанкаре в полупространстве роль абсолюта выполняет плоскость в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является лежащее на этой плоскости полупространство.

1.3 Некоторые свойства геометрии Лобачевского
Приведём несколько фактов геометрии Лобачевского, отличающих её от геометрии Евклида и установленных самим Лобачевским
1) В Лобачевского геометрия не существует подобных, но неравных треугольников; треугольники равны, если их углы равны.

2) Сумма углов всякого треугольника меньше p и может быть сколь угодно близкой к нулю. Это непосредственно видно на модели Пуанкаре. Разность p — (a + b + g), где a, b, g — углы треугольника, пропорциональна его площади.
3) Через точку О, не лежащую на данной прямой а, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих а и находящихся с ней в одной плоскости; среди них есть две крайние b, b`, которые и называются параллельными прямой а в смысле Лобачевского. В моделях Клейна (Пуанкаре) они изображаются хордами (дугами окружностей), имеющими с хордой (дугой) а общий конец (который по определению модели исключается, так что эти прямые не имеют общих точек). Угол ее между прямой b (или b`) и перпендикуляром из О на а — т. н. угол параллельности — по мере удаления точки О от прямой убывает от 90° до 0° (в модели Пуанкаре углы в обычном смысле совпадают с углами в смысле Лобачевского, и потому на ней этот факт можно видеть непосредственно). Параллель b с одной стороны (а b` с противоположной) асимптотически приближается к а, а с другой — бесконечно от неё удаляется (в моделях расстояния определяются сложно, и потому этот факт непосредственно не виден).
4) Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся в обе стороны от него. К любой из них можно восстановить перпендикуляры, которые не достигают другой прямой.
5) Линия равных расстояний от прямой не есть прямая, а особая кривая, называемая эквидистантой, или гиперциклом.
6) Предел окружностей бесконечно увеличивающегося радиуса не есть прямая, а особая кривая, называемая предельной окружностью, или орициклом.

7) Предел сфер бесконечно увеличивающегося радиуса не есть плоскость, а особая поверхность — предельная сфера, или орисфера; замечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия. Это служило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии.
8) Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растет быстрее.
9) Чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрические соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Можно сказать, что в бесконечно малой области имеет место евклидова геометрия. Например, чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от p; чем меньше окружность, тем меньше отношение её длины к радиусу отличается от 2p, и т. п. Уменьшение области формально равносильно увеличению единицы длины, поэтому при безграничном увеличении единицы длины формулы Лобачевского геометрия переходят в формулы евклидовой геометрии. Евклидова геометрия есть в этом смысле «предельный» случай Лобачевского геометрии.
Лобачевского геометрия продолжает разрабатываться многими геометрами; в ней изучаются: решение задач на построение, многогранники, правильные системы фигур, общая теория кривых и поверхностей и т. п. Ряд геометров развивали также механику в пространстве Лобачевского. Эти исследования не нашли непосредственных применений в механике, но дали начало плодотворным геометрическим идеям. В целом Лобачевского геометрия является обширной областью исследования, подобно геометрии Евклида.

1.4 Определение в некоторых источниках значения геометрии Лобачевского
После того, как стало известно, что Гаусс считал геометрию Лобачевского логически вполне правильной, «неевклидова геометрия» (названная так именно Гауссом), привлекла к себе внимание многих математиков.
Произведения Лобачевского и «Appendix» Бояй были переведены на французский, итальянский и другие языки. Однако, выявилось много противников неевклидовой геометрии, которые отнеслись к ней с недоверием, утверждая, что она представляет собой сплошную фантазию, нелепость, которая рано или поздно будет обнаружена.
Положение коренным образом изменилось, когда итальянский математик, профессор римского университета Эудженио Бельтрами (1835-1900) нашел модель для неевклидовой геометрии, показав в своей работе «Опыт интерпретации неевклидовой геометрии»(1868г.), что наряду с плоскостями, на которых осуществляется евклидова геометрия, и сферическими поверхностями, на которые действуют формулы сферической геометрии, существуют и такие реальные поверхности, названные им псевдосферами, на которых частично осуществляется планиметрия Лобачевского. Известно, что сферу можно получить вращением полуокружности вокруг своего диаметра. Подобно тому, псевдосфера образуется вращением линии FCE, называемой трактрисой, вокруг ее оси АВ. Итак, псевдосфера – это поверхность в обыкновенном реальном пространстве, на котором выполняются многие аксиомы и теоремы неевклидовой планиметрии Лобачевского. Например, если начертить на псевдосфере треугольник, то легко усмотреть, что сумма его внутренних углов меньше 2d. Сторона треугольника – это дуги псевдосферы, дающие кратчайшее расстояние между двумя ее точками и выполняющие ту же роль, которую выполняют прямые на плоскости. Эти линии, называемые геодезическими, можно получить, зажав туго натянутую и политую краской или мелом нить, в вершинах треугольника.
Таким образом, для планиметрии Лобачевского была найдена реальная модель - псевдосфера. Формулы новой геометрии Лобачевского нашли конкретное истолкование. Ими можно было пользоваться, например, для решения псевдосферических треугольников.
Таковы некоторые из основных идей и фактов геометрии Лобачевского. После работы «О началах геометрии», появились в свет и другие произведения Лобачевского по неевклидовой геометрии: «Воображаемая геометрия» (1835), «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» (1836), «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных», опубликованные в «Ученых записках Казанского университета» в 1835-1838г. г., «Геометрические исследования по теории параллельных» (опубликованы впервые в1840г. в Берлине на немецком языке).
Однако идеи Лобачевского были настолько революционными и до того опередили свой век, что не могли быть понятыми даже крупными математиками того времени. Поэтому новая геометрия не была признана современниками, была встречена с полным равнодушием и даже с иронией. Ее многие считали сплошной фантазией, а ее автора чудаком или даже невеждой. Одинокий Лобачевский не отказался от своих идей. Он твердо был убежден в логической правильности неевклидовой геометрии. Чтобы можно было это доказать, Лобачевский предпринимал астрологические наблюдения, и производил измерения углов космических треугольников, стороны которых измерялись расстояниями от Земли до небесных тел, в надежде установить, равна ли сумма углов треугольника 2dили она меньше двух прямых углов.

Другую модель геометрии Лобачевского построил в 1882г. французский математик Анри Пуанкаре (1854-1912), применивший ее к решению некоторых важных задач теории функций комплексного переменного. Одним из важнейших результатов открытия геометрии Лобачевского (называемой также гиперболической геометрией) было развитие новых неевклидовых геометрий, в первую очередь, геометрии Римана (в узком смысле), называемой так же эллиптической геометрией. В качестве модели планиметрии Римана может служить сфера, если считать каждую пару диаметрально противоположных ее точек за одну «точку».

Лобачевский указывал но связь геометрии с физикой, и хотя его измерения углов с треугольника с громадными астрономическими размерами показали еще справедливость евклидовой геометрии, на самом деле, как оказалось позже, поправки, полученные в рамках теории, основанной именно на неевклидовой геометрии, оказались заметными даже внутри планетной системы, объяснив знаменитую аномалию движения Меркурия, обнаруженную в XIX столетии Леверье. Неевклидова геометрия сыграла огромную роль во всей современной математике, и фактически в теории геометризованной гравитации марселя Гросмана-Гильберта-Эйнштейна(1913-1915). Довольно неожиданно, еще раньше была установлена вязь кинематики Лоренца-Пуанкаре с геометрией Лобачевского. В 1909 году Зоммерфельд показал, что закон сложения скоростей данной кинематики связан с геометрией сферы мнимого радиуса (подобное соотношение уже отмечали Лобачевский и Бояйи). В 1910 году Варичак указал на аналогию данного закона сложения скоростей и сложения отрезков на плоскости Лобачевского.
Предположение Лобачевского, что реальные геометрические отношения зависят от физической структуры материи, нашло подтверждение не только в космических масштабах. Современная теория квант все с большей настоятельностью выдвигает необходимость применения геометрии, отличной от евклидовой, к проблемам микромира. Однако измерения не могли дать определенного результата в силу их приближенного характера. Лобачевский всю жизнь искал оправдания своей геометрии в механике и астрономии и не переставал верить, что торжество его идей неминуемо. В 1855г. умирает Гаусс, единственный крупный ученый, сумевший оценить Лобачевского по достоинству при его жизни, хотя и не решившись выступить публично в защиту новой геометрии. В этом же году, Лобачевский, которого постоянное умственное напряжение и тяжелые переживания, перенесенные в борьбе за признание своих идей, довели до потери зрения, диктует последнее свое произведение «Пангеометрия». Лобачевский умер в 1856 г. непризнанным, почти забытым.

Гораздо более важное и принципиальное значение имеет сам факт "неединственности" геометрии, существования разных геометрических систем: он проливает новый свет на основные особенности математической науки; на роль идеализации в научном естествознании; на общее понятие дедуктивной науки, т. е. науки, развиваемой исходя из определенной системы аксиом; на роль системы аксиом в математике и на предъявляемые к любой аксиоматике требования; на взаимоотношение двух аспектов геометрии - геометрии как абстрактной математической дисциплины и геометрии как естественнонаучной дисциплины, изучающей определенную категорию свойств окружающего нас реального пространства, так сказать, "геометрии-математики" и "геометрии-физики".
Также нами был рассмотрен процесс создания неевклидовой геометрии. К открытию новой, так называемой «неевклидовой», геометрии пришли три человека: профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский (1792–1856), великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855), венгерский офицер Янош Бояи (1802–1860).
Вопрос об истине - один из основных в философии. Одной из основных проблем в определении понятии истины был вопрос о том, верно ли человеческие чувства передают мир, окружающий нас. чтобы избежать неправильного представления об истине, такие философы, как рационалисты, взяли за основу своих суждений математику. Она основывается на логике и объективности, а это значит, что выводы, полученные логическим путем из ранее существовавших знаний, являются истинными, и если что-то доказано математически, то другой точки зрения быть не может.
Так было до тех пор, пока не было доказано, что представления о пространстве, которыми мы пользуемся, могут быть заменены другими. Таким доказательством и послужило открытие геометрии Лобачевского. С одной стороны, такое утверждение порывает наши представления о реальности, но с другой стороны, сильно расширяют сознание, позволяет смотреть на мир с разных точек зрения, может быть, такой подход и ведет к познанию истины.


1.5 Вывод по главе 1:

Существуют разные подходы к толкованию геометрии Лобачевского, они используются в разных ситуациях, но их существование не мешает друг другу. Во многих источниках говориться о том, что помимо математического, геометрия Лобачевского имеет и философский смысл.

Глава 2. определение философского смысла геометрии Лобачевского на основе сравнения
2.1 Сравнение ге6ометрии Лобачевского и Евклида
Я ничего не слышал о философском значении геометрии Евклида, однако достаточно много говориться о таком смысле геометрии Лобачевского. Чтобы понять, почему так происходит, я сравнил два вида геометрии по некоторым критериям.
Таблица 1. Сравнение геометрии Лобачевского и Евклида.


Критерий сравнения

Геометрия Евклида

Геометрия Лобачевского

Основные положения, на которых строится

Первые четыре постулата Евклида

Фактор, позволивший выделить их в разные виды геометрии

Отличие в формулировке постулата о параллельных прямых

применяемость

Большинство геометрических задач, как в науке, так и в повседневной жизни.

Некоторые области науки, в которых геометрия Евклида не позволяет достичь точных результатов

известность

Ей пользуются практически все люди, получившие общие представления о математике, однако для большинства само понятие «Евклидова» не существует, ее просто считают единственной геометрией.

О ней знают немногие, преимущественно заинтересованные математикой, а также ученые, пользующиеся ей.

Разные модели плоскости

нет

Есть модель Пуанкаре и модель Клейна

Признанность

Обе признаны логичными и непротиворечивыми.


Результатом этого сравнения стал вывод о том, что основным поводом для выделения такого значения является не сами свойства геометрии Лобачевского, а факт неединственности геометрии. Получается, что сама по себе геометрия Лобачевского не имеет свойств, позволяющих говорить о философском смысле. Но если пойти глубже, можно обнаружить в самой геометрии Лобачевского факт неединственности. Существует, во-первых, две модели плоскости Лобачевского, а, во-вторых, модель Пуанкаре также разделяется на несколько видов. Что примечательно, такое изобилие разнообразных точек зрения никак не мешает существованию и развитию как отдельно геометрии Лобачевского, так и всей геометрии в целом.

2.2 Применяемость знаний о философском смысле геометрии Лобачевского
В результате исследования литературных источников и сравнения евклидовой и неевклидовой геометрии я пришел к выводу, что философский смысл у открытия Лобачевского действительно есть. Он заключается в доказательстве того, что две противоречивые точки зрения могут существовать, совершенно не мешая друг другу. Интересно то, что такой факт, обычно характерный в области гуманитарных наук, теперь наблюдается в математике.
После того, как я убедился в наличии философии в геометрии Лобачевского, передо мной встал вопрос о том, где можно применять эти знания. Для того, чтобы это выяснить, я провел исследование среди учащихся 10 и 11 классов своей школы. Целью исследование было выявление у них предрасположенности к пониманию этого смысла, а также выяснение того, есть ли у них какие-либо знания о геометрии Лобачевского. Образец анкет и диаграммы результатов исследования представлены в приложении 1.
Анализ данных, полученных в ходе исследования, показал, что большинство школьников старших классов разделяют позицию о том, что в современном мире необходимо существование различных точек зрения на мир. Они также согласны с тем, что применение геометрии Лобачевского доказывает возможность такого отношения к восприятию действительности.
Я пришел к выводу, что полученные данные о философском смысле геометрии Лобачевского и информацию, собранную в результате исследования, можно использовать на классных часах для расширения кругозора и формирования философского отношения к действительности.

2.3 Вывод по главе 2:
Несмотря на существование разных точек зрения на геометрию, противоречия между геометрией Евклида и Лобачевского не возникает. Кроме того, хотя в геометрии Лобачевского существуют разные модели плоскостей, она не считается противоречивой. Это может послужить поводом для вывода, что философский смысл геометрии Лобачевского заключается в доказательстве того, что противоположные точки зрения на мир могут существовать, не мешая друг другу.

Анализ анкетирования, проведенного среди учащихся, показал, что не все они знакомы с геометрией Лобачевского, однако потенциально расположены к пониманию ее философского значения, поскольку большинство из них считает научную точку зрения не всегда объективной, а геометрию Лобачевского способной доказать неединственность представлений о мире.

3. Заключение
В настоящее время традиционная логика, основанная на таком понятии, как бинарная оппозиция, теряет свое значение. Она уступает логике другого типа – логике, основанной на свободе взглядов, существовании различных точек зрения. Очень важно то, что теперь такая множественность присуща не только гуманитарным, но и техническим наукам, во многом благодаря созданию действующей модели неевклидовой геометрии, свободной от противоречий. Это достаточно необычный пример – существование двух противоположных точек зрения, не мешающих существованию друг друга. В доказательстве существования такой двойной системы взглядов заключается философское значение геометрии Лобачевского.

Полученные данные о философском смысле геометрии Лобачевского и информацию, собранную в результате исследования, можно использовать на классных часах для расширения кругозора и формирования философского отношения к действительности


4. Библиографический список


  • Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия, — УРСС, Москва, 2007.

  • Клейн Ф. «Неевклидова геометрия» — М.-Л.: ОНТИ, 1936. — С. 356.

  • Обществознание: профил. уровень: учеб. Для 10 кл. общеобразоват. Учреждений / [Л.Н.Боголюбов, А.Ю.Лобезникова, Н.М.Смирнова и др.]; под ред. Л.Н.Боголюбова и др. 2007.

Ссылки


Приложение 1
Образец анкеты.


  • Слышали ли вы когда-нибудь о геометрии Лобачевского?

·да ·нет ·затрудняюсь ответить

  • Считаете ли вы, что научная точка зрения на мир всегда объективна?

·да ·нет ·не задумывался

Сейчас ученые пользуются как привычной для нас евклидовой геометрией, так и такой, в которой параллельные прямые пересекаются и наблюдается множество противоречивых нашим представлениям фактов:

  • Вам не кажется, что это может быть доказательством того, что на мир могут существовать различные точки зрения?

·да ·нет ·не задумывался



1 – знают о ее существовании. 2 – никогда о ней не слышали. 3 – затруднились ответить.

1 – считают всегда объективной. 2 – считают не всегда объективной. 3 – затруднились ответить.


1 – согласны с предположением. 2 – не согласны. 3 – затруднились ответить.





Похожие:

Философское значение геометрии Лобачевского Название направлений форума iconСравнительная характеристика геометрии Евклида и геометрии Лобачевского
В данной работе показывается сходства и различия двух геометрий путем доказательства 5 постулата Евклида и продолжение этих понятий...
Философское значение геометрии Лобачевского Название направлений форума iconГеометрия лобачевского
Лобачевский по существу берет за отправной пункт все то, что Евклид доказал без помощи 5-го постулата. Все эти предположения являются...
Философское значение геометрии Лобачевского Название направлений форума iconГеометрия Лобачевского
Лобачевский по существу берет за отправной пункт все то, что Евклид доказал без помощи 5-го постулата. Все эти предположения являются...
Философское значение геометрии Лобачевского Название направлений форума iconГеометрия Лобачевского
Николая Ивановича Лобачевского, которому принадлежит честь открытия неевклидовой геометрии (1829). Независимо в 1832 году к аналогичным...
Философское значение геометрии Лобачевского Название направлений форума iconПараллельный перенос плоскости Лобачевского Определение
В геометрии Евклида параллельный перенос определяется как композиция осевых симметрий относительно двух параллельных прямых, но в...
Философское значение геометрии Лобачевского Название направлений форума iconЧетвертого форума молодых писателей россии
«Газета». Окончил Нижегородский гу им. Лобачевского. Участник Форума молодых писателей России (2001, 2002), мастерская О. Павлова,...
Философское значение геометрии Лобачевского Название направлений форума iconУроки н. И. Лобачевского, или Размышления о взаимосвязях математики и философии, о проблемах образования и преимуществах провинциальной науки Владимир курашов
Казани, вдалеке от государственных и научных столиц и сложившихся научных школ. Заслуга Лобачевского заключается главным образом...
Философское значение геометрии Лобачевского Название направлений форума iconБесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий
Трудно назвать в какой-либо другой части геометрии теоремы, которые проще всего доказать используя методы и идеи теории групп, а...
Философское значение геометрии Лобачевского Название направлений форума icon«Энергетическая безопасность России. Новые подходы к развитию угольной промышленности»
Конференция является объединяющим элементом всей научной программы «Кузбасского международного угольного форума-2012» и её название...
Философское значение геометрии Лобачевского Название направлений форума iconНазвание статьи: Поверхности с постоянными эквиаффинными ин
Полученные результаты являются новыми в аффинной геометрии гладких поверхностей и имеют теоретическое значение. Исследование ведется...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org