Анализ на многообразиях для студентов 1 год



Скачать 38.01 Kb.
Дата08.10.2012
Размер38.01 Kb.
ТипПрограмма
Программа экзамена по курсу «Анализ на многообразиях» для студентов 1 года магистратуры (геометрия). Зимняя сессия 2012/13 уч. года.


  1. Топология. Примеры топологий. Хаусдорфова топология. Гомеоморфизмы.

  2. Гладкие отображения областей евклидовых пространств. Диффеоморфизм областей евклидовых пространств. Пример диффеоморфизма областей евклидовых пространств.

  3. Гладкая структура на многообразии. Гладкая структура на векторном пространстве и аффинном пространстве.

  4. Гладкая структура на окружности. Различные атласы на окружности.

  5. Гладкие отображения многообразий. Алгебра гладких функций многообразия.

  6. Касательный вектор как класс эквивалентности гладких путей. Координаты касательного вектора в локальной карте. Теорема о преобразовании координат касательного вектора при переходе от одной карты к другой.

  7. Теорема о реперном отображении как биекции. Построение структуры векторного пространства в касательном пространстве.

  8. Касательный вектор как инфинитазимальное дифференцирование.

  9. Касательное пространство к векторному пространству.

  10. Натуральный базис касательного пространства. Различные взгляды на натуральный базис. Координаты касательного вектора в натуральном базисе.

  11. Векторное расслоение. Касательное расслоение как пример векторного расслоения.

  12. Гладкие сечения векторных расслоений. Структуры векторного пространства и модуля в множестве гладких сечений векторного расслоения.

  13. Гладкие сечения векторных расслоений. Теорема о локальном базисе модуля гладких сечений.

  14. Векторные поля на гладком многообразии как гладкие сечения касательного расслоения и как дифференцирования алгебры гладких функций.

  15. Натуральный базис модуля гладких векторных полей. Формулы, связывающие векторные поля натуральных базисов в двух картах.

  16. Коммутатор векторных полей. Свойства коммутатора. Вычисление коммутатора в локальной карте.

  17. Кокасательное расслоение. Дифференциальные 1-формы как гладкие сечения кокасательного расслоения. Натуральный базис. Формулы, связывающие 1-формы натуральных базисов двух карт.

  18. Дифференциальные 1-формы как линейные отображения.

  19. Векторное расслоение тензоров типа (r,s). Тензорные поля как сечения векторного расслоения тензоров и как полилинейные отображения.

  20. Примеры тензорных полей: векторное поле, 1-форма, эндоморфизм.

  21. Компоненты тензорных полей в локальной карте. Теорема об однозначном задании значения тензорного поля компонентами. Формулы преобразования компонент тензорного поля при переходе из одной карты в другую.

  22. Операции с тензорными полями (сумма, произведение на функцию, тензорное произведение, свертка). Свойства. Теорема об операциях с тензорными полями в компонентах.

  23. Симметрические и кососимметрические тензорные поля.
    Эндоморфизмы альтернирования и симметризации.

  24. Операция внешнего умножения. Свойства. Канонический базис модуля кососимметрических тензорных полей типа (r,0).

  25. Связность на гладком многообразии. Оператор Кошуля. Разложение ковариантной производной векторного поля по натуральному базису.

  26. Обобщенные коэффициенты Кристоффеля как пример геометрического объекта не тензорной природы.

  27. Ковариантная производная векторного поля в направлении касательного вектора. Векторное поле, параллельное вдоль кривой. Критерий параллельности векторного поля вдоль кривой.

  28. Параллельное семейство касательных векторов вдоль кривой. Параллельный перенос касательных векторов вдоль кривой. Оператор параллельного переноса.

  29. Параллельный перенос ковекторов и тензоров вдоль кривой. Свойства параллельного переноса.

  30. Ковариантная производная тензорного поля. Свойства ковариантного дифференцирования.

  31. Ковариантный дифференциал тензорного поля. Связь между компонентами ковариантного дифференциала тензорного поля и компонентами ковариантной производной этого тензорного поля.

  32. Тензоры кручения и кривизны связности.

  33. Компоненты тензора кручения в локальной карте.

  34. Компоненты тензора кривизны в локальной карте.

  35. Связность без кручения и ее свойства.

  36. Тензор аффинной деформации. Множество связностей гладкого многообразия как пример аффинного пространства.

  37. Псевдо-римановы многообразия. Риманова связность. Теорема о римановой связности.

  38. Выражение символов Кристоффеля римановой связности через компоненты псевдо-римановой структуры.

  39. Ковариантный тензор Римана-Кристоффеля и его свойства симметрии.

  40. Тензоры Бианки. Тензор Бианки как билинейная форма.

  41. Тензоры Бианки. Тензор Бианки как эндоморфизм. Тензор Риччи и скалярная кривизна тензора Бианки.

  42. Разложение тензора Бианки в сумму тензора Эйнштейна и тензора Вейля.

  43. Конформные преобразования римановых многообразий. Тензор Вейля конформной кривизны как конформный инвариант.


Литература.

  1. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях, Прометей, 2003.

  2. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия, Наука, 1988.

  3. Постников М.М. Лекции по геометрии Семестр V. Риманова геометрия, Наука, 1998.

  4. Джет Неструев Гладкие многообразия и наблюдаемые, МЦНМО, 2000.

  5. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, Мир, 1964.

  6. Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения, Мир, 1975.

Похожие:

Анализ на многообразиях для студентов 1 год iconАнализ темы курсовых работ по всеобщей истории архитектуры для студентов II курса. 2012 2013 учебный год
Архитектура египетских погребальных комплексов в эпоху Древнего и Среднего царства
Анализ на многообразиях для студентов 1 год iconАнализ социальных представлений о преступлениях у русских и французских студентов Концепция социальных представлений возникла в 70х год
Сравнительный анализ социальных представлений о преступлениях у русских и французских студентов
Анализ на многообразиях для студентов 1 год iconСписки студентов факультета «Математические методы и анализ рисков» курсы по выбору на 2012/2013 учебный год

Анализ на многообразиях для студентов 1 год iconПрограмма дисциплины «Математический анализ»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов. Курс предназначен для студентов...
Анализ на многообразиях для студентов 1 год iconМетодические указания по дисциплине «Математический анализ» для студентов дневной формы обучения
Интегральное исчисление: методические указания по дисциплине «Математический анализ» для студентов дневной формы обучения / сост....
Анализ на многообразиях для студентов 1 год iconКонтрольные задания для студентов 1 курса специальности “Физика” по дисциплине “Математический анализ” раздел “Введение в анализ”
Исследовать следующие функции на непрерывность и выяснить характер их точек разрыва
Анализ на многообразиях для студентов 1 год iconУчебно-методическое пособие по выполнению курсовой работы для студентов специальности «Бухгалтерский учёт, анализ и аудит»
О–51 Макроэкономика : учеб метод пособие по выполнению курсовой работы для студентов специальности «Бухгалтерский учёт, анализ и...
Анализ на многообразиях для студентов 1 год iconЭкономический анализ и управление
Рекомендовано умо по образованию в области финансов, учета и мировой экономики в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся...
Анализ на многообразиях для студентов 1 год iconАнализ работы школы за прошедший учебный год (2009-2010 год) Анализ уровня здоровья и здорового образа жизни
Здоровье – одна из важнейших человеческих ценностей. Оно выступает как необходимое условие реализации жизненной программы, достижении...
Анализ на многообразиях для студентов 1 год iconРабочая программа учебной дисциплины экономический анализ наименование дисциплины
Курс «Экономический анализ» является одной из основных базовых дисциплин для подготовки студентов по специальности 080102 «Мировая...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org