Ответы на вопросы к зачету по математическому анализу. (1 курс / 2 семестр)



Скачать 82.23 Kb.
Дата28.04.2013
Размер82.23 Kb.
ТипДокументы

Ответы на вопросы к зачету по математическому анализу. (1 курс / 2 семестр)




1. Определение неопределённого интеграла.


Если функция f(x) определена и непрерывна на промежутке (a, b) и F(x) – ее первообразная, т.е. F’(x) = f(x) при , то , , где С – произвольная постоянная.

2. Основные свойства неопределенного интеграла.


а. производная от интеграла равна подынтегральной функции.

б. интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования.

в. , (A=const) постоянную можно выносить за знак интеграла.

г. интеграл суммы равен сумме интегралов.

3. Табличные простейшие интегралы.


I.

II.

III.

IV.

V.

VI.

VII. ;

VIII.

IX.

X.

XI.

XII.

XIII.

XIV.

XV. gif" name="object24" align=absmiddle width=117 height=40>

и табличные интегралы


I.

II.

III.

IV.

V.

VI.

VII.

VIII.

4. Основные методы интегрирования.


а. Метод введения нового аргумента. Если , то , где - непрерывно дифференцируемая функция.

б. Метод разложения. Если , то .

в. Метод подстановки. Если f(x) непрерывна, то, пологая , где непрерывная вместе со своей производной , получим .

г. Метод интегрирования по частям. Если u и v – некоторые дифференцируемые функции от х, то .

5. Доказать, что если , то .


В этом случае интеграл можно упростить с помощью естественной замены , откуда и . Пусть известна первообразная для : .

Выполняя подстановку, получаем: = = =

6. Интегрирование рациональных функций (метод неопределенных коэффициентов, метод Остроградского).


Формулы Остроградского



Пусть - правильная дробь, где = .
Простейшие дроби (4 вида):
, , , , где - не имеет действительных корней.
= + .

7. Интегрирование иррациональных функций.


Общий принцип интегрирования иррациональных выражений заключается в замене переменной, позволяющей избавиться от корней в подынтегральном выражении. Для некоторых классов функций эта цель достигается с помощью стандартных замен.

Интегралы вида , где R (u,v) - рациональная функция своих аргументов, вычисляются заменой .

Интегралы вида  вычисляются заменой или .

Интегралы вида  вычисляются заменой  или .

Интегралы вида вычисляются заменой или .

Дифференциальный бином .


Интеграл от дифференциального бинома , где m, n и p – рациональные числа, может быть приведен к интегрированию рациональных функций лишь в следующих трех случаях (теорема Чебышева):

Случай 1. Пусть p – целое. Тогда полагаем , где N – общий знаменатель дробей m и n.

Случай 2. Пусть - целое. Тогда полагаем , где N – общий знаменатель дроби p.

Случай 3. Пусть - целое. Тогда применяем подстановку , где N – знаменатель дроби p.
Если n=1, то эти случаи эквивалентны следующим:

а. р – целое

б. m – целое

г. m + p – целое.

8. Интегрирование тригонометрических функций.


Интегрирование рационально-тригонометрических функций всегда рационализует универсальная подстановка = t(,, ).

Вычисление интегралов вида ,


где R – рациональная функция, в общем случае приводится к интегрированию рациональных функций с помощью подстановки .

а. Если выполнено равенство или , то выгодно применить подстановку cos x = t или соответственно sin x = t.

б. Если , то полезно применить подстановку tg x =t.

Вычисление интегралов вида .


приведя знаменатель к логарифмическому виду (хз каг)

9. Интегрирование трансцендентных функций.

10. Определенный интеграл как предел суммы.


а. Интеграл (в смысле Римана). Если функция f(x) определена на и , то интегралом функции f(x) на сегменте называется число , где и .

Для существования предела необходимо и достаточно, чтобы нижняя интегральная сумма и верхняя интегральная сумма , где и , имели общий предел при .

Функции f(x), для которых предел в правой части равенства существует, называются интегрируемыми (собственно) на соответствующем промежутке. В частности,

а) непрерывная функция;

б) ограниченная функция, имеющая конечное число точек разрыва;

в) ограниченная монотонная функция, - интегрируема на любом конечном сегменте.

Если функция f(x) не ограничена на сегменте , то она собственно не интегрируема на .

б. Условие интегрируемости. Необходимым и достаточным условием интегрируемости на данном сегменте функции f(x) является выполнение равенства , где - колебания функции f(x) на сегменте .

11. Формула Ньютона-Лейбница.


Если функция f(x) определена и непрерывна на сегменте и F(x) – ее первообразная, то .

Формула интегрирования по частям.


Если f(x), , то .

Формула замены переменной.


Если: 1) функция f(x) непрерывна на сегменте ; 2) функция непрерывна вместе со своей производной на сегменте , где , ; 3) сложная функция определена и непрерывна на , то .

12. Определение несобственного интеграла.


Если функция f(x) собственно интегрируема на каждом конечном сегменте , то, по определению, полагают (1).

Если f(x) не ограничена в окрестности точки b и собственно интегрируема на каждом сегменте , то принимают (2).

Если пределы (1) или (2) существуют, то соответствующий интеграл – сходящийся, в противном случае – расходящийся (в элементарном смысле).

13. Геометрический смысл определенного интеграла.


Определенный интеграл при геометрически представляет собой площадь S, ограниченную кривой y=f(x), осью Ох и двумя перпендикулярами к оси Ох: х=а и х=b.

14. Вычисление площади фигуры в прямоугольных координатах.


Площадь S плоской фигуры , ограниченной двумя непрерывными кривыми: и () и двумя прямыми: х=а и х=b (), равна .

Вычисление площади фигуры в полярных координатах.


Площадь S сектора OAB, ограниченного непрерывной кривой и двумя полупрямыми и (), равна .

Вычисление площади фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрическом виде.


Если х=х(t), y=y(t), - параметрические уравнения кусочно-гладкой просто замкнутой кривой С, пробегаемой против хода часовой стрелки и ограничивающей слева от себя фигуру с площадью S, то , или .

15. Вычисление длины дуги в прямоугольных координатах.


Длина дуги отрезка гладкой (непрерывно дифференцируемой) кривой y=y(x) () равна .

Вычисление длины дуги в полярных координатах.


Если , где , то длина дуги соответствующего отрезка кривой равна .

Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически.


Если кривая С задана уравнениями х=х(t), y=y(t), , где х(t), , то длина дуги кривой С равна .

16. Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям.


Если объем V тела существует и S=S(x) есть площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох в точке х, то .

Объем тела вращения.


Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции , , где y(x) – непрерывная однозначная функция, равен .

В более общем случае объем кольца, образованного вращением воруг оси Ох фигуры , , где и – непрерывные однозначные функции, равен .

17. Вычисление площади поверхности вращения. Дифференциал дуги.


Площадь поверхности, образуемой вращением гладкой кривой АВ вокруг Ох, равна , где ds – дифференциал дуги.

18. Физический смысл определенного интеграла.


Моменты. Если на плоскости Оху масса М плотности заполняет некоторый ограниченный континуум (линию, плоскую область) и - соответствующая мера (длинна дуги, площадь) той части континуума , ординаты которой не превышают у, то k-моментом массы М относительно оси Ох называется число = = , (k=0,1,2,…), где и .

Как частные случаи, получаем при k=0 массу М, при k=1 – статический момент, при k=2 – момент инерции.

Аналогично определяются моменты массы относительно координатных плоскостей.

Если , то соответствующий момент называется геометрическим (момент линии, плоской фигуры, тела и т.д.).
Центр тяжести. Координаты центра тяжести однородной плоской фигуры площади S определяются по формулам: , , где , - геометрические статические моменты фигуры относительно осей Оу и Ох.

19. Функция нескольких переменных. Определение предела функции.


Пусть функция определена на множестве Е, имеющем точку сгущения . Говорят, что , если для любого существует , такое что при и , где - расстояние между точками .

Определение непрерывности функции.


Функция f(P) непрерывна в , если . Функция f(P) непрерывна в данной области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

20. Частные производные.


Результат частного дифференцирования функции нескольких переменных не зависит от порядка дифференцирования, если все производные, входящие в вычисление непрерывны.

Формула дифференциала функции.



21. Символическая форма дифференциала высшего порядка.



22. Формула производной сложной функции.


Производная сложной функции:

,

.

Для вычисления производных второго порядка функции w полезно пользоваться символическими формулами:

= + + +

и

= + + + .

где

, , . , , .

Какие-то формулы:




= + .
dano f(xy;x+y)

Pust' k=xy; l=x+y

df/dx=df/dk*dk/dx+df/dl*dl/dx=f'[k]*y+f'[l]*0=y*f'[k]
d^2f/dxdy=(P[1]*df/dk+Q[1]*df/dl)(P[2]*df/dk+Q[2]/df/dl)+dP[1]/dy*df/dk+dQ[1]/dl*df/dl=
gde P[1]=dk/dx; P[2]=dk/dy; Q[1]=dl/dx; Q[2]=dl/dy
=(y*f'[k])*(x*f'[k])+f'[k]=x*y*f''[kk]+f'[k]
d^2f/dx^2=(P[1]*df/dk+Q[1]*df/dl)^2+d*P[1]/dy*df/dk+d*Q[1]/dy*df/dl=y^2*f''[kk]+f'[k]

Похожие:

Ответы на вопросы к зачету по математическому анализу. (1 курс / 2 семестр) iconВопросы к экзамену по математическому анализу второй семестр, весна2003

Ответы на вопросы к зачету по математическому анализу. (1 курс / 2 семестр) iconВопросы для экзамена по математическому анализу 2 -ой семестр
Последовательность. Предел последовательности. Свойства предела последовательности
Ответы на вопросы к зачету по математическому анализу. (1 курс / 2 семестр) iconВопросы к экзамену по математическому анализу 1 семестр, специальность математика
Функции, отображения, образы, прообразы и их свойства. Инъекция, сюръекция, биекция. Примеры. Композиция отображений
Ответы на вопросы к зачету по математическому анализу. (1 курс / 2 семестр) iconЭкзаменационные вопросы по математическому анализу для студентов III курса специальности «пми» (5 семестр)
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах (случай прямоугольной области)
Ответы на вопросы к зачету по математическому анализу. (1 курс / 2 семестр) iconКонтрольные вопросы к калоквиуму за I семестр по математическому анализу (с ответами)
Записывается комплексное число в виде выражения: z = X + iy. Символ I носит название мнимой единицы и определяется соотношением i2...
Ответы на вопросы к зачету по математическому анализу. (1 курс / 2 семестр) iconВопросы к зачету по математическому анализу
Числовые множества. Точная верхняя и точная нижняя грань множества. Декартово произведение множеств
Ответы на вопросы к зачету по математическому анализу. (1 курс / 2 семестр) iconВопросы и упражнения к коллоквиуму по математическому анализу Прикладная математика, 3 семестр
Основные понятия о числовых рядах. Необходимый признак сходимости числового ряда. Критерий Коши сходимости рядов
Ответы на вопросы к зачету по математическому анализу. (1 курс / 2 семестр) iconВопросы и упражнения к экзамену по математическому анализу Прикладная математика, 3 семестр
Числовой ряд. Сходимость и сумма. Пример Критерий Коши сходимости ряда. Необходимый признак сходимости числового ряда
Ответы на вопросы к зачету по математическому анализу. (1 курс / 2 семестр) iconМетодические рекомендации преподавателям преподавание дисциплины «Практикум по математическому анализу» предусматривает
...
Ответы на вопросы к зачету по математическому анализу. (1 курс / 2 семестр) iconПрограмма по математическому анализу (весенний семестр). Базовый уровень
Теорема Римана об осцилляции. Стремление к нулю коэффициентов Фурье абсолютно интегрируемой функции
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org