Руководство для студентов экономических специальностей вуза Гомель ггу им. Ф. Скорины 2011 удк 512 : 514. 123. 1(076)
|
Скачать 1.3 Mb.
|
Следствие 9.1. Если  = (х1; у1; z1) и = (х2; у2; z2), то косинус угла между векторами и вычисляется по формулеcosφ = .Следствие 9.2. Векторы = (х1; у1; z1) и = (х2; у2; z2) перпендикулярны тогда и только тогда, когда х1х2 + у1у2 + z1z2 = 0.Пример. Найти угол между векторами = (7; 2; –8) и = (11; –8; –7).Решение. По следствию 9.1 cosφ = . Тогда φ = .9.3 Векторное произведение векторов 9.3.1 Правая и левая система координат Три некомпланарных вектора , , , взятых в указанном порядке называют тройкой векторов. Пусть векторы , и отложены из одной точки. Будем смотреть с конца вектора на плоскость, в которой лежат векторы и . Если кратчайший поворот от совершается против часовой стрелки, то тройка векторов , , называется правой тройкой (рисунок 9.2). Если же указанный поворот совершается по часовой стрелке, то тройка векторов , , называется левой (рисунок 9.3).Рисунок 9.2 Рисунок 9.3 Декартовая прямоугольная система координат Охуz называется правой, если тройка её базисных векторов  является правой, и левой, если тройка – левая. В основном используют правые прямоугольные системы координат.9.3.2 Векторное произведение векторов Определение 9.2. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор Ч , который удовлетворяет следующим условиям:1) │ Ч │ = ││││sinφ, где φ – угол между векторами и ;2) вектор Ч перпендикулярен каждому из векторов и ;3) тройка векторов , , Ч – правая.Свойства векторного произведения 1. Ч = 0 для любого вектора .2. Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда Ч = 0.3. Площадь параллелограмма, построенного на неколлинеарных векторах и , равна │ Ч │.4. Площадь треугольника, построенного на неколлинеарных векторах и , равна │ Ч │.5. Ч = – (Ч).6. ( + )Ч = Ч + Ч .7. ( α) Ч (β) = ( Ч )(αβ).Теорема 9.2. Если = (х1; у1; z1) и = (х2; у2; z2), то Ч = = － + .Доказательство. Запишем разложение векторов и по базисным векторам: = + + , = + + .Составим таблицу векторных произведений базисных векторов, используя рисунок 9.4:  -- - Рисунок 9.4 Теперь Ч = ( + + ) Ч ( + + ) ()Ч() + ()Ч() + ()Ч() + + ()Ч() + ()Ч() + ()Ч() + ()Ч() + ()Ч() + ()Ч() (Ч)+(Ч)+(Ч)+(Ч)+(Ч)+(Ч) + (Ч)+ +(Ч)+(Ч)－()+()+()－()－()+() = =(－)－(－)+(－) = －+ = . |
