Л 12. Метод конечных разностей



Скачать 47.24 Kb.
Дата30.04.2013
Размер47.24 Kb.
ТипДокументы
л 12. Метод конечных разностей.

Конечно-разностное представление дифференциального уравнения Фурье и граничных условий сводит решение задачи теплопроводности к расчету температур в конечном числе точек - узлов сетки (рис.12.1). Чтобы дискретизованная задача была близка к исходной, необходимо сделать сетку достаточно частой. Поэтому число неизвестных (т.е. значений температур в узлах) оказывается большим, и решение задачи требует использования ЭВМ. Конечно-разностную аппроксимацию уравнения теплопроводности можно получить, записывая закон сохранения энергии для контрольного объема, содержащего внутренний узел К,L (заштрихован на рис.12.1).

Скорость увеличения внутренней энергии в контрольном объеме определяется соотношением

, (12.1)

где h и τ- пространственный и временной шаг, а "крышка" над обозначением температуры указывает, что имеется в виду значение для последующего момента времени. Внутреннее тепловыделение в контрольном

объеме определяется как h2qv.

Как показано на рис. 12.1, положительным считается направление теплового
потока внутрь контрольного объема. Например, через правую грань посредством
теплопроводности подводится количество энергии:

. (12.2)

Суммируя потоки энергии и используя закон сохранения, получаем:





и


О


X




Рис. 12.1. К формулировке конечно-разностных уравнений: h - шаг сетки; K,L, - индексы значений температуры в узлах сетки; КМАХ и LМАХ - число узлов осей X и У'; qv - мощность внутренних источников; A и tи - коэффициент теплоотдачи и температура среды.

(12.3)

где - сеточное число Фурье, безразмерный шаг по времени;

- коэффициент температуропроводности материала.

Отдельные операторы в этом уравнении означают:

  1. – Скорость увеличения внутренней энергии, конечно-разностная аппроксимация частной производной по времени;

(2а) – подвод теплоты теплопроводностью вдоль оси х, аппроксимация второй производной по х;

(2б) – подвод теплоты вдоль оси у, аппроксимация второй производной по у;

(3)– внутреннее тепловыделение.
Баланс энергии для контрольного объема, содержащего узел на границе области (рис. 12.1), записывается:
, (12.4)
- сеточное число Био.
Операторы в квадратных скобках означают подвод теплоты по направлению нормали к поверхности вдоль границы.

Вместо индексов использованы мнемонические обозначения для граничного (Г), для левого (Л), для правого (П) узлов.

Предполагается, что наблюдатель находится внутри области.

Тепловой поток на поверхности рассчитывается по формуле Ньютона-Рихмана, т.е. использованы граничные условия 3-его рода.

Соотношения (12.3) и (12.4) являются приближенными и допускают некоторый произвол при записи правой части. Если все значения температур справа отнесены к исходному моменту времени, то расчетную схему называют явной:

искомое значение температуры T^ в следующий момент времени явно выражается через известные температуры Т в исходный момент времени. Алгоритм расчета оказывается очень простым: начальное условие определяет распределение температур в узлах сетки на старте расчета; затем по (12.3) и (12.4) вычисляют температуру в узлах для следующего момента; процесс повторяется, пока не будет пройден заданный промежуток времени (либо до установления стационарного состояния).

Однако явная схема имеет существенный недостаток: если шаг по времени превышает некоторое критическое значение, в расчете возникают колебания температуры с быстро нарастающей амплитудой. Такое решение не имеет ничего общего с реальным процессом теплопроводности.

Неявная схема получается, если в правых частях уравнений для внутренних и граничных узлов все температуры отнести к последующему моменту времени, т.е. снабдить значками "крышка".

Такая схема абсолютно устойчива, т.е. расчет можно вести с любым шагом по времени, допускаемым по соображениям точности. Однако теперь, чтобы найти неизвестную температуру , необходимо решить систему уравнений. Действительно, соотношение (12.3), записанное для каждого внутреннего узла, дает уравнение, содержащее неизвестные температуры в центральном (K,L) узле и четырех окружающих узлах. Объем вычислений быстро увеличивается с ростом числа узлов и оказывается недопустимо большим даже для современных ЭВМ.

Метод переменных направлений позволяет сократить объем вычислений по неявной схеме, сохраняя свойство абсолютной устойчивости. Ниже приводится реализация этого метода для областей прямоугольной формы без внутренних источников теплоты.

При построении продольно-поперечной схемы шаг по времени осуществляется, как два полушага: на первом оператор теплопроводности вдоль оси x записывается в неявной форме, а вдоль оси у - в явной; на втором полушаге явным становится первый оператор и неявным - второй. Расчетная схема определяется следующими соотношениями:


(12.5)
(12.6)

Величины Т^, вычисленные на первом полушаге, используются затем как исходные значения (т.е. Т) для расчета на втором полушаге.

Оба записанных соотношения по-прежнему неявные, но обладают теперь важным свойством, упрощающим их решение: каждое уравнение содержит неизвестные только для трех соседних точек. Поэтому получающиеся системы линейных уравнений являются трехдиагональными и их решение может быть получено методом прогонки - экономичным вариантом метода исключения Гаусса; при этом система (12.5) решается прогонкой вдоль строк (вдоль оси х), система (12.6) — прогонкой вдоль столбцов (оси у) — см. рис. 12.1.

Полушаг при прогонке в направлении нормали к границе делается согласно (12.4) по формуле

(12.7)

Схема переменных направлений является, по-видимому, лучшей для двумерных задач теплопроводности. Ее применение обеспечивает выполнение весьма важного для практических задач требования: получения разумных результатов при расчете на грубых сетках и с большими шагами по времени.

Похожие:

Л 12. Метод конечных разностей iconБанк экзаменационных вопросов по курсу «Методы математической физики»
Метод конечных разностей. Конечно-разностные сетки и шаблоны. Конечно-разностные представления функций и производных
Л 12. Метод конечных разностей iconРешение нестационарной задачи теплопроводности Для решения задачи теплообмена лучше всего подходит метод сеток или конечных разностей
Температуру как непрерывную функцию координат и времени заменяем дискретными значениями в узлах этой сетки
Л 12. Метод конечных разностей iconПрограмма наименование дисциплины: Теория конечных графов
Основной целью освоения дисциплины является изучение классической теории конечных графов, а также применение методов теории конечных...
Л 12. Метод конечных разностей iconПрограмма наименование дисциплины: Теория конечных графов
Цели и задачи дисциплины: Основной целью освоения дисциплины является изучение классической теории конечных графов, а также применение...
Л 12. Метод конечных разностей iconРешение задачи можно проиллюстрировать следующим рисунком: Схема аппроксимации
В качестве метода решения рассмотрим метод сопряжённых градиентов с диагональным предобуславливанием для ускорения сходимости системы...
Л 12. Метод конечных разностей iconРабочей программы дисциплины Математическое программирование Место дисциплины в структуре ооп
Фибоначчи, метод «золотого сечения», метод Ньютона. Многометрическая (многомерная) оптимизация. Методы многомерной оптимизации: метод...
Л 12. Метод конечных разностей iconАлгоритм компактного хранения и решения слау высокого порядка
...
Л 12. Метод конечных разностей iconЧисленное моделирование переходных течений
Обербека-Буссинеска, с введенной слабой сжимаемостью вдоль траекторий [1, 2]. Метод конечных элементов, реализован в программном...
Л 12. Метод конечных разностей iconМетод конечных элементов. Решение плоской задачи
Ритца. Различие между традиционной формой метода Ритца и мкэ состоит в выборе системы координатных функций. Если в методе Ритца функции...
Л 12. Метод конечных разностей iconОтчету о втором этапе исследования по теме «Компьютерное исследование групп гомоморфизмов конечных групп, гомоморфной устойчивости и топологий конечных множеств»
Группа состоит из гомоморфизмов, а ее групповой операцией является отображение, где
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org