Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)»



Скачать 353.61 Kb.
страница2/6
Дата01.05.2013
Размер353.61 Kb.
ТипМетодические указания
1   2   3   4   5   6

ДУ второго порядка. Понижение порядка уравнения.

Дифференциальное уравнение второго порядка иногда удается свести к двум ДУ первого порядка. Рассмотрим два характерных случая, когда это можно сделать.

1). Неизвестная функция входит в уравнение только под знаком производной: . При помощи подстановки такое уравнение сводится к уравнению первого порядка .

ПРИМЕРЫ:

8. Найти общее решение уравнения .

Это ДУ не содержит . Положим , тогда и получаем ДУ первого порядка:

.

Так как это линейное ДУ первого порядка относительно функции , то ищем его решение в виде . Тогда , и




Решим первое уравнение: .

Решим второе уравнение: . Таким образом, общее решение ДУ первого порядка или . Интегрируя, получим: . Интеграл берем по частям и окончательно получим

.

9. Найти решение задачи Коши: .

В уравнении отсутствует . Обозначая , приводим исходное уравнение к виду . Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными:

.

Нgif" align=left hspace=12>айдем . При имеем и . Следовательно . Отсюда . Используя еще одно начальное условие , находим . Окончательно, .

2). Независимая переменная не содержится в уравнении явно: .

В этом случае примем за независимую переменную, а будем считать функцией от . По правилу дифференцирования сложной функции получаем выражение для выражение для второй производной: . Таким образом, исходное уравнение становится уравнением первого порядка.

ПРИМЕР.

10. Решить уравнение . Независимая переменная не содержится явно в уравнении. Обозначив , получим . В итоге получаем ДУ первого порядка . Это уравнение с разделяющимися переменными: . Таким образом, . Решим последнее уравнение.




ЛИНЕЙНЫЕ Дифференциальные УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Дифференциальное уравнение




называется однородным линейным дифференциальным уравнением (ОЛДУ) второго порядка. Если и – два решения ОЛДУ, то их сумма с произвольными коэффициентами и

(9)

также является решением.

Если функции и линейно независимы (т.е. ), то (9) задает общее решение ОЛДУ второго порядка.

В важном частном случае, когда коэффициенты ОЛДУ постоянны , частное решение уравнения

(10)

следует искать в виде . Постоянная является корнем характеристического уравнения




Корни этого квадратного уравнения называются характеристическими корнями.

Если характеристические корни вещественны и , то функции и линейно независимы, и общее решение уравнения (10) имеет вид

, (11)

где – произвольные постоянные.

Если характеристические корни совпадают, т.е. , то решение получается по формуле

. (11’)

В случае комплексных корней общее решение ОЛДУ (10) удобно записать (используя формулу Эйлера) в виде

(12)

ПРИМЕРЫ.

11. Найти общее решение ОЛДУ с постоянными коэффициентами .

Составим характеристическое уравнение : . Его корни и . Общее решение имеет вид .

12. Найти общее решение ОЛДУ .

Составим характеристическое уравнение . Его корни и, и общее решение имеет вид .

13. Найти частное решение ОЛДУ , удовлетворяющее начальным условиям .

Составим характеристическое уравнение ; его корни совпадают. Общее решение . Найдем и . Для этого найдем . Подставляя в и , получаем систему




Имеем . Искомое решение задачи Коши есть .

14. Найти общее решение уравнения .

Это ОЛДУ. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: . Общее решение имеет вид: .

15. Найти заряд конденсатора для конура с сопротивлением в момент времени , если в начальный момент он равен , а ток в цепи отсутствовал.

Колебания заряда конденсатора описываются уравнением , которое получается из уравнения примера 2 при и .

Найдем общее решение этого ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Корни характеристического уравнения – чисто мнимые: , где . Общее решение по формуле (12) запишется в виде

.

Мы видим, что частота собственных колебаний контура равна (формула Томсона).

Используем начальные условия – при , а . Так как , то , . Следовательно . При получим .

16. Найти частное решение уравнения (10), удовлетворяющее начальным условиям . Функция называется импульсной характеристикой.

Если характеристические корни различны, то общее решение уравнения (10) имеет вид , а его производная . При имеем




Решая систему, получаем . Следовательно, .

Если характеристические корни совпадают (), то

, . Подставляя , получим и .

Получим выражение для импульсной характеристики в случае комплексных корней :

.

При вычислениях использовалась формула Эйлера . Итак в случае комплексных характеристических корней

(13)

Общее решение неоднородного линейного ДУ

(14)

можно записать в виде суммы , где – какое-либо частное решение уравнения (14), – общее решение соответствующего однородного уравнения

.

В теории колебаний – это собственные колебания, а – вынужденные колебания под действием внешней силы .

Если коэффициенты постоянны, то можно найти, решая характеристическое уравнение. Для нахождения существует несколько способов. Ниже приведены два из них.

Частное решение можно записать в виде интеграла наложения

,

где – импульсная характеристика (см. пример 16).

ПРИМЕРЫ.

17. Найти общее решение линейного ДУ .

Решим сначала соответствующее однородное уравнение . Его характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корни . Общее решение ОЛДУ имеет вид

. По формуле (13) переходная функция .

Частное решение линейного ДУ найдем с помощью интеграла наложения:

.

Интегрируем по (при интегрировании – постоянно):




Общее решение неоднородного уравнения

Видно, что вынужденные колебания имеют частоту вынуждающей силы и ограничены по амплитуде().

18. Найти общее решение линейного ДУ .

Первая часть решения такая же, как в пр. 17. Частное решение ищем в виде интеграла наложения




Общее решение неоднородного уравнения получаем в виде суммы:

.

В этом примере имеется резонанс – частота вынуждающей силы совпадает с частотой собственных колебаний. В результате амплитуда вынужденного колебания неограниченно возрастает.

В некоторых случаях, когда вычисление интеграла наложения достаточно громоздко, можно найти частное решение другим способом. Рассмотрим метод подбора. Этот метод решения ДУ применяется, когда в правой части стоит функция вида

,

где и – многочлены степени и , соответственно. В этом случае частное решение имеет ту же структуру, что и правая часть исходного уравнения:

.

Здесь и – многочлены степени , записанные с неопределенными коэффициентами, причем, они содержат все степени ; число , если не является характеристическим корнем. Если же число совпадает с характеристическим корнем, то равно кратности этого корня (резонансный случай).

ПРИМЕРЫ.

19. Найти общее решение ЛДУ .

Общее решение соответствующего однородного уравнения получено в примере 17. В правой части уравнения стоит многочлен нулевой степени (). Резонанс отсутствует, так как число не является корнем характеристического уравнения . Следовательно, частное решение будет многочленом нулевой степени: .

Чтобы найти неопределенный коэффициент , необходимо подставить в исходное уравнение: . Следовательно, и . Таким образом, общее решение уравнения .

20. Найти общее решение ЛДУ .

Найдем общее решение ОЛДУ . Его характеристическое уравнение имеет корни . Общее решение однородного уравнения .

В правой части исходного уравнения стоит многочлен второй степени. Следовательно , а величина совпадает с корнем характеристического уравнения , кратность которого равна 1. Поэтому , , . Подставляя в исходное уравнение , получим:




Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа, имеем

при : ; ;

при : ; ;

при : ; .

Итак , .

21. Решить линейное ДУ .

Общее решение соответствующего ОЛДУ найдено в примере 17: . Частное решение линейного ДУ ищем методом подбора – в правой части стоит многочлен нулевой степени, умноженный на и на . То есть, имеем . Резонанс отсутствует, так как число –1 не является корнем характеристического уравнения .

Частное решение ищем в виде . Тогда . Подставляя в уравнение, получаем Т.е., а общее решение .

Безусловно, можно было бы найти и при помощи интеграла наложения. Так, для уравнения имеем ; для уравнения имеем ; для уравнения – .

Вычислив интегралы, убедитесь, что общее решение имеет тот же вид, что и полученные ранее методом подбора.

В примерах 17 и 18 правая часть уравнения имеет вид, допускающий применение метода подбора. Применяя этот метод, проверьте, что для уравнения , а для уравнения . Найдите неопределенные коэффициенты, подставив в уравнения и приравняв коэффициенты при подобных членах слева и справа.

ПРИМЕР

22. Для цепи, рассмотренной в примере 2, найти изменение заряда на конденсаторе, если Гн, Ф, Ом, входное напряжение . В начальный момент заряд и ток в цепи отсутствуют.

В уравнение подставим исходные данные:




Начальные условия . Решим задачу Коши, используя метод подбора. Запишем характеристическое уравнение для соответствующего ОЛДУ: . Его корни ;

, . Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид




В правой части неоднородного уравнения стоит выражение , следовательно, его частное решение имеет вид .. Резонанс отсутствует, так как . Найдем и и подставим в уравнение:

Приведем подобные слагаемые:




Приравняем коэффициенты при синусах и косинусах:




и найдем и из полученной системы: , .

Таким образом, общее решение неоднородного ЛДУ имеет вид




Найдем и из начальных условий ,




При получим систему




Решая ее, найдем ,

Окончательно получаем



1   2   3   4   5   6

Похожие:

Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания и контрольные задания для студентов очного отделения
Начертательная геометрия. Методические указания и контрольные задания: / Новосиб гос аграр ун-т; сост. Т. В. Семенова, Г. А. Евдокимова,...
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания и контрольные задания Авторы: Рабкин Е. Л., Фарфоровская Ю. Б. / Спбгут. Спб
Дискретная математика булевы функции и элементы теории графов методические указания и контрольные задания Авторы: Рабкин Е. Л., Фарфоровская...
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания и контрольные задания к выполнению самостоятельной работы для студентов направления 521500 «Менеджмент»
Если студент испытывает затруднения в освоении теоретического или практического материала, то он может получить консультацию на кафедре...
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания и контрольные задания к выполнению самостоятельной работы для студентов направления 521500 «Менеджмент» Одобрено
Если студент испытывает затруднения в освоении теоретического или практического материала, то он может получить консультацию на кафедре...
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания и контрольные задания по курсу математического анализа (1 часть) для студентов заочного факультета по направлениям 210700, 220700, 230400 Санкт -петербург гут 2012
Методические указания и контрольные задания по курсу математического анализа для студентов заочного факультета по направлениям 210700,...
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания и контрольные задания по дисциплине «Статистика»
Методические указания и контрольные задания по дисциплине «Статистика» для студентов заочников по специальности
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconПрограмма, методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения специальности 330200
...
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания к выполнению контрольных работ по курсу «Высшая математика» Подлежит возврату в деканат заочного факультета
Методические указания предназначены в помощь студентам-заочникам первого курса при выполнении контрольной работы № Эта работа соответствует...
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания по их выполнению. Предназначается студентам заочной формы обучения по специальности ит
Элементы дискретной математики: Методические указания и контрольные задания. Чипс
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания и контрольные задания для студентов-заочников Салаватского индустриального колледжа по специальности 030503
Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Уголовный процесс»
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org