Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)»



Скачать 353.61 Kb.
страница4/6
Дата01.05.2013
Размер353.61 Kb.
ТипМетодические указания
1   2   3   4   5   6

Разложение функции в ряд Тейлора

Чтобы разложить функцию в степенной ряд

(24)

нужно найти значения чисел – коэффициентов ряда. Они находятся по формуле Тейлора

(25)

В частности, нулевой коэффициент – значение функции в нуле, – значение первой производной от функции при , и т.д.

ПРИМЕР

32. Чтобы получить ряд (19) для функции , заполним таблицу 3

Таблица 3.













0




0

0

1




1

1

2




-1




3




2




4




-2·3




Сgif" align=left hspace=12>амое важное здесь – правильно заполнить второй столбец, содержащий функцию и ее последовательные производные. Производных надо взять столько, чтобы выявилась закономерность в последовательности коэффициентов .

Формулы (24) и (25) имеют смысл только для значений переменной , лежащих в круге сходимости ряда, т.е. достаточно близких к нулю.

Чтобы разложить функцию в степенной ряд, сходящийся при , близких к какой-либо точке , используются ряды по степеням разности :

(26)

Коэффициенты ряда – числа в этом случае также определяются по формуле Тейлора

(27)

Получающийся ряд




называется рядом Тейлора.

Если , то получается рассмотренный выше ряд Маклорена

(28)

ПРИМЕР

33. Разложить функцию в ряд Тейлора в точке .

Составим таблицу 4 для вычисления коэффициентов ряда Тейлора:

Таблица 4.













0




0

0

1




1

1

2




-1




3




2!




4




-3!




Получаем разложение в ряд Тейлора:




Чтобы найти радиус сходимости этого ряда, найдем расстояние от центра сходимости ряда до точки разрыва функции при . Значит, этот ряд сходится при . Радиус сходимости можно найти и по формуле (22).

ДЕЙСТВИЯ С РЯДАМИ

С абсолютно сходящимися степенными рядами можно работать так же, как и с многочленами. Их можно складывать, умножать, делить, находить от них производные и первообразные. Приведем несколько характерных примеров.


ПРИМЕРЫ:

34. Ряд (19) сходится при . Приравнивая производные от левых и правых частей формулы (19), получим




Это разложение также справедливо при . Для проверки можно подставить вместо переменную . В результате получится знакомое разложение (15).

35. Чтобы получить разложение в степенной ряд функции не обязательно вычислять коэффициенты ряда (25). Вместо этого учтем, что . Разложение

(29)

получается из (15) подстановкой нового аргумента вместо переменной . Интегрируя обе части формулы (29), получим

,

где постоянную интегрирования еще нужно определить. Подставляя , получим . В результате получим разложение




справедливое при , поскольку ряд (15) сходится только при этом условии (см. Пример 31).

ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ

Разложение функции в степенной ряд дает удобные приближенные формулы для вычисления значений этой функции:

,

и т.д.

Если для вычисления используется сумма первых членов ряда, то ошибка приближения при не превосходит по абсолютной величине числа , где - максимальное значение-й производной на отрезке от до . Здесь обозначается показатель степени первого отброшенного члена ряда

ПРИМЕР:

36. Получить значение числа с точностью до одной тысячной.

Воспользуемся разложением (16) для функции . В этом случае . Наибольшее значение на отрезке , равное , эта функция принимает при . Поскольку , можем считать для простоты вычислений, что . Взяв , то есть, учитывая 6 членов ряда, для ошибки приближения получим

,

Так что можно отбросить все слагаемые ряда (16), содержащие седьмую и более высокую степени переменной . Тогда при , получаем

,

причем все три знака после запятой верные.

В том случае, когда ряд знакочередующийся, ошибка вычислений находится проще – она не превосходит абсолютной величины первого отброшенного члена ряда.

ПРИМЕР.

37. Вычислить приближенно , используя два члена разложения в ряд подынтегральной функции, и оценить погрешность вычислений.

Поскольку пределы интегрирования содержат точку , воспользуемся разложением в ряд с центром в точке 0 (ряд Маклорена):







Учитывая при вычислениях только два члена ряда, получим для значения интеграла величину 0.2985. Так как ряд знакочередующийся, погрешность не превосходит модуля первого отброшенного члена: .

38. Многочлен представить рядом по степеням и вычислить его значение при , используя полученное представление.

Разложим нашу функцию в ряд Тейлора в окрестности точки -1. Этот ряд содержит конечное число слагаемых, так как все производные , начиная с пятой равны нулю.

Таблица 5.
















0




1+3–1–4= –1

1

1




4–9+1= –12

12

2




12+18=30




3




24–18= –42




4




24










Рядами можно пользоваться и для нахождения пределов.

ПРИМЕРЫ

39. Найти .

По формуле (17) имеем . Предел этого выражения при , очевидно, равен .

40. Найти предел .

Воспользуемся разложением в ряд функций и . Тогда



1   2   3   4   5   6

Похожие:

Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания и контрольные задания для студентов очного отделения
Начертательная геометрия. Методические указания и контрольные задания: / Новосиб гос аграр ун-т; сост. Т. В. Семенова, Г. А. Евдокимова,...
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания и контрольные задания Авторы: Рабкин Е. Л., Фарфоровская Ю. Б. / Спбгут. Спб
Дискретная математика булевы функции и элементы теории графов методические указания и контрольные задания Авторы: Рабкин Е. Л., Фарфоровская...
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания и контрольные задания к выполнению самостоятельной работы для студентов направления 521500 «Менеджмент»
Если студент испытывает затруднения в освоении теоретического или практического материала, то он может получить консультацию на кафедре...
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания и контрольные задания к выполнению самостоятельной работы для студентов направления 521500 «Менеджмент» Одобрено
Если студент испытывает затруднения в освоении теоретического или практического материала, то он может получить консультацию на кафедре...
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания и контрольные задания по курсу математического анализа (1 часть) для студентов заочного факультета по направлениям 210700, 220700, 230400 Санкт -петербург гут 2012
Методические указания и контрольные задания по курсу математического анализа для студентов заочного факультета по направлениям 210700,...
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания и контрольные задания по дисциплине «Статистика»
Методические указания и контрольные задания по дисциплине «Статистика» для студентов заочников по специальности
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconПрограмма, методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения специальности 330200
...
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания к выполнению контрольных работ по курсу «Высшая математика» Подлежит возврату в деканат заочного факультета
Методические указания предназначены в помощь студентам-заочникам первого курса при выполнении контрольной работы № Эта работа соответствует...
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания по их выполнению. Предназначается студентам заочной формы обучения по специальности ит
Элементы дискретной математики: Методические указания и контрольные задания. Чипс
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания и контрольные задания для студентов-заочников Салаватского индустриального колледжа по специальности 030503
Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Уголовный процесс»
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org