Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)»



Скачать 353.61 Kb.
страница5/6
Дата01.05.2013
Размер353.61 Kb.
ТипМетодические указания
1   2   3   4   5   6

Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов.

Если интегрирование дифференциального уравнения в элементарных функциях затруднительно, можно искать решение задачи Коши в виде ряда Тейлора

,

где последовательно находятся из начальных условий и дифференцирования исходного уравнения.

ПРИМЕРЫ

41. Найти с помощью степенного ряда решение задачи Коши (вычислить первые пять членов ряда) для уравнения

.

Так как начальные условия заданы в точке , ищем решение в виде ряда Маклорена




Таблица 6.
















0




1 – из нач. условий

1

1




0–1= –1

1

2






0–2·1·(–1)=2




3




2–2–2·1·2= –4




4




6·(–1)·2–2·1·(–4) = 20





Пgif" align=left hspace=12>олучаем ряд , где – искомая функция.

Замечание. При вычислении производных использовались известные формулы производной произведения , производной сложной функции и другие.

42. Найти первые четыре разложения в степенной ряд решения задачи Коши

.

Разрешим уравнение относительно старшей производной: . Найдем коэффициенты ряда Маклорена

Таблица 7.
















0




1 – из нач. условий

1

1




2 – из нач. условий

2

2


из уравнения


0


0

3




1+0·2= –1




4




2·2 = 4




Окончательно получаем

РЯДЫ ФУРЬЕ

РЯД ФУРЬЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

Число называется периодом функции , если сдвиг аргумента на не меняет значения функции




при любых . Функция называется периодической, если у нее существует отличный от нуля период . В этом случае кратные числа также являются периодами функции.

Например, является периодом следующих функций




Умножим каждую из этих функций на произвольный числовой коэффициент и составим ряд

. (30)

Если ряд (30) сходится, обозначим через его сумму. Так как при сдвиге аргумента на ни одно слагаемое в (30) не меняется, сумма также не будет меняться: и – периодическая функция с периодом .

Замечательный математический факт состоит в том, что практически все периодические функции, встречающиеся в приложениях, могут быть представлены подобными рядами. Это означает, что каждый периодический сигнал можно получить, как сумму простых гармонических колебаний с подходящими амплитудами.

Пусть – периодическая функция с периодом . Рядом Фурье этой функции называется тригонометрический ряд

, (31)

коэффициенты которого определяются по функции при помощи формул Фурье:

, ,

Если для функции выполняются условия Дирихле (см. [1], гл. XVII), то ряд (31) сходится. Его сумма совпадает с во всех точках непрерывности функции . Если же в точке функция имеет разрыв первого рода, то

.

Таким образом, является средним арифметическим левого и правого предела функции в точке .

ПРИМЕРЫ:

43. Пусть на отрезке и на отрезке и имеет период (см. рис. 4)
Рис. 4

Условия Дирихле для этой функции выполняются, и поэтому ряд Фурье сходится, и его сумма совпадает со значением функции в точках непрерывности. А в точках разрыва получаем. В этих точках сумма ряда отличается от функции. Значения функции в точках разрыва отмечены кружками на рис.4.

Найдем коэффициенты ряда Фурье. В формулах Фурье .

,







При вычислениях учтено, что .

Итак, ряд Фурье функции имеет вид




44. Найдем ряд Фурье функции




График функции показан на рис. 5. Сумма в точках равна 0.
Рис. 5

Поскольку функция нечетная (график симметричен относительно начала координат), то ряд Фурье содержит только нечетные функции, то есть, только члены пропорциональные синусам, а все коэффициенты при косинусах равны нулю: .

При вычислении воспользуемся четностью подынтегральной функции и будем вычислять интеграл не по интервалу , а по интервалу .




Для нашей функции , т.е.

.

Итак, ряд Фурье равен




45. Найти ряд Фурье функции с периодом :




График этой функции представлен на рис 6.
Рис. 6

Поскольку функция четная (график функции симметричен относительно оси , то ряд Фурье содержит только косинусы и постоянное слагаемое. Коэффициенты при синусах обращаются в ноль:

. Найдем коэффициенты :

.

.

Легко видеть, что и т.д. Ряд Фурье равен

.

РЯД ФУРЬЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ.

РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СИНУСАМ И ПО КОСИНУСАМ

Вычисляя коэффициенты Фурье для периодической функции можно проводить интегрирование по любому промежутку , длина которого совпадает с периодом функции:

, , (32)

Численные значения коэффициентов Фурье не зависят от выбора .

Формулы (32) можно применять не только к периодической функции, но и к любой функции, заданной на отрезке . Если условия Дирихле на отрезке выполняются, то ряд Фурье сходится. Важно помнить, что сумма совпадает с исходной функцией только на основном промежутке.

ПРИМЕР

46. Разложим функцию в ряд Фурье на промежутке .

Здесь . Так как – четная функция, то , а для получим:

,

Получаем ряд Фурье: . Графики функций и показаны на рис. 7
Рис.7

Найдем значение суммы ряда при и . Так как период равен 2,то

, .
Функцию , заданную на промежутке , можно разложить в тригонометрический ряд, как только по косинусам, так и только по синусам. Чтобы получить ряд по косинусам, функцию продолжают на симметричный промежуток так, чтобы получилась четная функция: . В этом случае коэффициенты при косинусах и постоянное слагаемое определяются по формулам

, .

Для получения ряда только по синусам, следует продолжить функцию до нечетной на промежутке : . Коэффициенты при синусах можно найти по формулам




ПРИМЕР

47. Разложить функцию на промежутке в ряд по синусам.

Продолжим функцию на интервал нечетным образом. Коэффициенты Фурье равны

Ряд Фурье будет таким:

.

Графики функций и показаны на рис.8.
Рис. 8

Найдем значение суммы ряда при .

; ; .
1   2   3   4   5   6

Похожие:

Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания и контрольные задания для студентов очного отделения
Начертательная геометрия. Методические указания и контрольные задания: / Новосиб гос аграр ун-т; сост. Т. В. Семенова, Г. А. Евдокимова,...
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания и контрольные задания Авторы: Рабкин Е. Л., Фарфоровская Ю. Б. / Спбгут. Спб
Дискретная математика булевы функции и элементы теории графов методические указания и контрольные задания Авторы: Рабкин Е. Л., Фарфоровская...
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания и контрольные задания к выполнению самостоятельной работы для студентов направления 521500 «Менеджмент»
Если студент испытывает затруднения в освоении теоретического или практического материала, то он может получить консультацию на кафедре...
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания и контрольные задания к выполнению самостоятельной работы для студентов направления 521500 «Менеджмент» Одобрено
Если студент испытывает затруднения в освоении теоретического или практического материала, то он может получить консультацию на кафедре...
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания и контрольные задания по курсу математического анализа (1 часть) для студентов заочного факультета по направлениям 210700, 220700, 230400 Санкт -петербург гут 2012
Методические указания и контрольные задания по курсу математического анализа для студентов заочного факультета по направлениям 210700,...
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания и контрольные задания по дисциплине «Статистика»
Методические указания и контрольные задания по дисциплине «Статистика» для студентов заочников по специальности
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconПрограмма, методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения специальности 330200
...
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания к выполнению контрольных работ по курсу «Высшая математика» Подлежит возврату в деканат заочного факультета
Методические указания предназначены в помощь студентам-заочникам первого курса при выполнении контрольной работы № Эта работа соответствует...
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания по их выполнению. Предназначается студентам заочной формы обучения по специальности ит
Элементы дискретной математики: Методические указания и контрольные задания. Чипс
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания и контрольные задания для студентов-заочников Салаватского индустриального колледжа по специальности 030503
Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Уголовный процесс»
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org