Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)»



Скачать 353.61 Kb.
страница6/6
Дата01.05.2013
Размер353.61 Kb.
ТипМетодические указания
1   2   3   4   5   6

АМПЛИТУДНО-ФАЗОВАЯ ФОРМА ЗАПИСИ РЯДА ФУРЬЕ

Пусть - периодическая функция с периодом . Обозначим через угловую частоту колебаний. Ряд Фурье функции может содержать только гармонические колебания и , с частотами , кратными . Частота называется основной частотой.

Сумму двух гармоник и , имеющих общую частоту , можно записать в виде одного гармонического колебания, но сдвинутого по фазе:

.

Коэффициенты выражаются через амплитуду и фазу по формулам

.

Рис. 9

Величина равна длине вектора с координатами , а число – полярному углу этого вектора (рис.9).

Таким образом, ряд Фурье всегда можно записать в амплитудно-фазовой форме:

,

. (33)

ПРИМЕР

48. Записать в амплитудно-фазовой форме ряд




По формулам (33) находим:

и т.д. Ряд теперь можно записать так




Для наглядности числа (спектр амплитуд) изобразим с помощью амплитудной диаграммы:

Рис. 10

Числа изобразим на фазовой диаграмме:

Рис. 11

Подчеркнем, что амплитуды всегда неотрицательны.
Положительность знака амплитуд обеспечивается за счет выбора фаз .


Если ряд содержит только косинусы, то ; если только синусы, то .

49. Для ряда из примера 46 изобразить спектр амплитуд при помощи диаграммы.

;



Рис. 12

50. Для ряда из примера 45 изобразить спектр амплитуд при помощи диаграммы.





Рис. 13

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

  1. Общее решение ДУ имеет вид . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

  2. Сколько начальных условий надо задать для уравнения , чтобы задача Коши имела единственное решение?

  3. При каком система функций будет линейно зависимой?

  4. Вынужденные колебания описываются уравнением . При каком имеет место резонанс?

  5. Укажите номер ДУ, для которого функция является решением:

1.

2.

3. .

  1. Чему равна сумма ряда ?

  2. Для функции известно, что . Напишите первые четыре члена разложения в ряд Тейлора в точке 1 для функции .

  3. Функция разложена в ряд Маклорена . Чему равна ? Чему равна ?

  4. Частичная сумма ряда равна . Найти сумму ряда и третий член ряда . Сходится ли ряд?

  5. Получить разложение в ряд Маклорена функции .

  6. Показать, что функция является решением дифференциального уравнения .

  7. Функция при разложена в ряд Фурье. Чему равен коэффициент ряда ?

  8. Функция . Чему равна сумма ряда в точке ?

  9. Ряд Фурье для функции, период которой равен 4, имеет вид

. Чему равна амплитуда первой гармоники?

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

  1. . 2. Три начальных условия. 3. . 4. . 5. 2. 6. .

7. .. 8. . 9. Ряд сходится . 10. .

11. ; . 12. Так как - четная функция, то . 13. 0. 14. .

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

В задачах 1 – 10 найти общее решение для ДУ с разделяющимися переменными:

1. . 6. .

2. . 7. .

3. . 8. .

4. . 9. .

5. . 10. .
В задачах 11 – 20 решить задачу Коши для линейного уравнения:

11. . 16. .

12. . 17. .

  1. . 18. .

  2. . 19. .

  3. . 20. .


В задачах 21 – 30 найти частное решение линейного однородного ДУ второго порядка:

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

26. .

27. .

28. .

29.

30. .
В задачах 31 – 40 найти общее решение линейного ДУ второго порядка, используя метод подбора:

31. . 36. .

32. . 37. .

33. . 38. .

34. . 39. .

35. . 40. .

В задачах 41-50 найти общее решение системы дифференциальных уравнений:

41. . 46.

42. . 47.

43. . 48.

44. . 49.

45. . 50.
В задачах 51 – 60 для данных рядов найти радиус сходимости и указать область сходимости ряда. Выписать первые три члена ряда:

51. ; . 56.

52. ; . 57.

53. ; . 58.

54. . 59.

55. 60.
В задачах 61 – 70 вычислить приближенно определенный интеграл, используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена. Ограничившись двумя членами ряда, оценить погрешность вычислений:

61. , 66. .

62. , 67. .

63. , 68. .

64., 69. .

65. , 70. .
В задачах 71 – 80 найти первые пять ненулевых членов разложения в ряд решения ДУ с заданными начальными условиями:
71. . 76. .

72. . 77. .

73. . 78. .

74. . 79. .

75. . 80. .
В задачах 81 – 90 разложить функцию в ряд Фурье. Изобразить график суммы ряда и спектр амплитуд при помощи диаграмм:

81. . 86. .

82. . 87. .

83. . 88.

84. . 89. .

85. . 90. .


В задачах 91 – 100 разложить функцию в ряд Фурье по косинусам, продолжив ее в симметричный интервал. Нарисовать график суммы ряда . Найти значения суммы в указанных точках:
91. .

92.

93. .

94. .

95. .

96. .

97.

98. .

99. .

100.

.
1   2   3   4   5   6

Похожие:

Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания и контрольные задания для студентов очного отделения
Начертательная геометрия. Методические указания и контрольные задания: / Новосиб гос аграр ун-т; сост. Т. В. Семенова, Г. А. Евдокимова,...
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания и контрольные задания Авторы: Рабкин Е. Л., Фарфоровская Ю. Б. / Спбгут. Спб
Дискретная математика булевы функции и элементы теории графов методические указания и контрольные задания Авторы: Рабкин Е. Л., Фарфоровская...
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания и контрольные задания к выполнению самостоятельной работы для студентов направления 521500 «Менеджмент»
Если студент испытывает затруднения в освоении теоретического или практического материала, то он может получить консультацию на кафедре...
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания и контрольные задания к выполнению самостоятельной работы для студентов направления 521500 «Менеджмент» Одобрено
Если студент испытывает затруднения в освоении теоретического или практического материала, то он может получить консультацию на кафедре...
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания и контрольные задания по курсу математического анализа (1 часть) для студентов заочного факультета по направлениям 210700, 220700, 230400 Санкт -петербург гут 2012
Методические указания и контрольные задания по курсу математического анализа для студентов заочного факультета по направлениям 210700,...
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания и контрольные задания по дисциплине «Статистика»
Методические указания и контрольные задания по дисциплине «Статистика» для студентов заочников по специальности
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconПрограмма, методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения специальности 330200
...
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания к выполнению контрольных работ по курсу «Высшая математика» Подлежит возврату в деканат заочного факультета
Методические указания предназначены в помощь студентам-заочникам первого курса при выполнении контрольной работы № Эта работа соответствует...
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания по их выполнению. Предназначается студентам заочной формы обучения по специальности ит
Элементы дискретной математики: Методические указания и контрольные задания. Чипс
Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика (спецглавы)» iconМетодические указания и контрольные задания для студентов-заочников Салаватского индустриального колледжа по специальности 030503
Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Уголовный процесс»
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org