Решение логарифмических уравнений и неравенств



Скачать 91.09 Kb.
Дата04.05.2013
Размер91.09 Kb.
ТипРешение
1

Алгебра и начала анализа, 11 класс.
Тема: Решение логарифмических уравнений и неравенств.

Цели: 1) Обобщение и систематизация знаний учащихся по данной теме.

2) Развивать и закреплять умения учащихся в решении логарифмических уравнений и неравенств, подготовить учащихся к контрольной работе.

3) Воспитывать ответственное отношение к учебе.
Ход урока: I. Проверка домашнего задания (еще на перемене передать материал с решениями домашнего задания для проверки)

II. Слово учителя о цели урока.

III. Историческая справка (ученица).

Немного об изобретателе логарифмов и создателе логарифмических таблиц. Джон Непер – шотландец. В 16 лет он отправился на континент, где в течение пяти лет в различных университетах Европы изучал математику и другие науки. Затем он серьезно занимался астрономией и математикой. К идее логарифмических вычислений Непер пришел еще в 80-годах XVI в., однако опубликовал свои таблицы только в 1614г., после 25-летних вычислений! Они вышли под названием «Описание чудесных логарифмических таблиц».

Неперу принадлежит и сам термин «логарифм», который он переводит как «искусственное число». Таблицы и идеи Непера быстро нашли распространение. «Правило Непера» и «Аналогии Непера» можно встретить в так называемой сферической тригонометрии.

Изобретены были логарифмы независимо друг от друга двумя учеными – Непером и Бюрги. На первом месте с полным правом должен быть поставлен Непер, сразу представивший свои логарифмы в чрезвычайно развитой с теоретической стороны форме, указавший способы очень легкого их вычисления и непосредственно принимавший участие в их целесообразных изменениях. С помощью которых Бриггс сделал логарифмы более удобными для практических применений и придал им теперешний вид. Непер первый и опубликовал свои

2

логарифмы, хотя подготовительные работы обоих этих авторов, Бюрги и Непера, насколько известно, протекали одновременно.

Бриггс (Джону Неперу)

Милорд, я предпринял это долгое путешествие только для того, чтобы видеть вашу особу и узнать, с помощью какого инструмента разума и изобретательности вы пришли впервые к мысли об этом превосходном пособии для астрономов, а именно – о логарифмах. Но, милорд, после того, как вы нашли их, я удивляюсь, почему никто не нашел их раньше, настолько легкими они кажутся после того, как о них узнаешь.

IV. Устно (с табличками).

    1. Найдите х: log2 x = -1 [x=-½], log1/7 x = 2 [x=1/49]

logx81 = 4 [x=3], lg x = lg3 + 2 lg5 – lg15

    1. Найдите область определения:

у = log4(18x – 2) [x > 1/9],

у = log3(4-х) [x < 4].

3.
Вычислите:

7 log7 2 [2] ,

(1/3) log1/3 5 [5],

lg8 + lg125 [3],

lg13 – lg130 [-1].

  1. Определите вид монотонности функции:

у = log1/2х [убыв],

у = 2 log3х [возраст].

5. Какое число больше:

log1/35 или log1/38 [log1/35 > log1/38],

lg7 или 3lg2 [3lg2 > lg7].

6. Найди ошибку: log2х + log2(х+1) = 1

log2х (х+1) = 1

х (х+1) = 21

х2 + х – 2 = 0

3

Д= 1-4*1*(-2) = 9

-1±3

х1,2 = 2 , х1 = -2, х2=1

Ответ: -2; 1

О.д.з. х > 0 х > 0

х+1 > 0 х > -1 х > 0

х = -2 не удовлетворяет о.д.з. Ответ: 1

7. Каким методом решено уравнение?

log2x = 6-x y = log2x

f(x) = log2x – возрастает

у = 6-х - убывает



Уравнение log2x = 6-x имеет одно решение. У = 6-х







1: у = 6-х, 2: у = log2x, х=4

4

8. Какие еще методы решения логарифмических уравнений вы знаете?

[потенциирования, метод введения новой переменной, метод логарифмирования]
V. Работа по карточкам.

один ученик работает у доски: а) log5 (log4 (log3x) ) = 0

б) х log1/2x = 1/4x,

один ученик - у задней доски: log22x + log2x + 1 = 7/ log20,5х,

один ученик с такой же карточкой работает на месте, затем взаимопроверка,

два ученика на местах работают по карточкам:

  1. а) lg(2x+4) = lgx 2) log2(x-1) – 2log0.5(x-1) – 3 = 0

б) lg(x+1) + lg(x-1) = lg3 0.5

VI. 1 ряд – самостоятельная работа

(программированный контроль).

Решение самостоятельной работы:

I вариант II вариант

1) log0.5(√x -1) = -1 1) log0.2(6-√x) = -1

Одз. √х -1 › 0 x ≥ 0 Одз. х ≥ 0 √х < 6

x ≥ 0 √x > 1 6 - √х > 0 х ≥ 0

0,5-1 = √х -1 log1/5 (6 - √x) = -1

(1/2)-1 = √х -1 (1/5)-1 = 6 - √x

5

2 + 1 = √х 5 – 6 = - √x

√х = 3 х = 9 √x = 1 x = 1

√9 > 1 √1 < 6

Ответ: х = 9; IV. Ответ: х = 1; I.

lg2x – lgx = 0 x > 0 lg2x + lgx = 0 x > 0

lgx = y lgx = y

y2 – y = 0 y(y – 1) = 0 y2 + y = 0 y(y + 1) = 0

y = 0 или у – 1 = 0 y = 0 или у + 1 = 0

у = 1 у = -1

lgx = 0 lg = 1 lgx = 0 lg = -1

x = 1 x = 10 x = 1 x = 10-1 = 0,1

Ответ: 1;10 III. Ответ: 1; 0,1 II.
2) log5 (-x) < 0 -x > 0 2) log0.4 (-x) ‹ 1 -x > 0

x < 0 x < 0

log5 (-x) < log51 log0.4 (-x) < log0.41

a =5, 5 > 1 => функция возрастает а=0,4, 0 < 0,4 < 1 => функция убывает

-х < 1, х > -1 -х > 1, х < -1

////////////////////////////

////////-1////////////0 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\________

//////////-1 0

Ответ: х є (-1; 0) II. Ответ: х є (-∞; -1) IV.

Ответы: IV, III, II. Ответы: I, II, IV.
VII. Решение упражнений на закрепление.

1) №523 (а) – с комментарием

log a x = log √a 2 + log 1/a 3 ОДЗ: {х > 0; а > 0; а ≠ 1}

log a x = 1/½ log a 2 – log a 3

log a x = log a 4 – log a 3

6

log a x = log a 4/3

x = 4/3 Ответ: 4/3

2) log 2√2 x + 7 log 1/√2 x + 10 = 0 ОДЗ: х > 0

log 2√2 x - 7 log √2 x + 10 = 0 Обозначим log√2x = y

y2 – 7y + 10 = 0 Д = 49-40=9

7 ± 3

У1,2 = 2 = [5 и 2 log√2x = 5 log√2x = 2

√2 5 = x √2 2 = x

x = 4√2 x = 2

3) Найти сумму квадратов корней уравнения:

log0.25 (x2-3x) = -1 ОДЗ: х2 – 3х > 0

(0,25)-1 = х2 – 3х х(х – 3) = 0 0;3

(1/4)-1 = х2 – 3х + - + х < 0

х2 – 3х – 4 = 0 0 3 х > 3

Д = 25 х1;2 = 3±5 4

2 -1

Сумма квадратов 42 + 12 = 17

Ответ: 17

4) № 526 (г)

log2 2 – х – 12) < 3

ОДЗ: х2 – х – 12 > 0 х2 – х – 12 = 0, Д = 49 х1 = 4; х2 = -3

log22 – х – 12) < log2 23 + - + х < -3

-3 4 х > 4

а = 2; 2 > 1 , функция возрастает

х2 – х – 12 < 8

х2 – х – 12 - 8 < 0

х2 – х – 20 < 0 х2 – х – 20 = 0 Д = 81 х1 = 5; х2 = -4

+ - +

-4 5 х є (-4; 5)

////////////////////////////////////////////______

//////////////-4/////-3 4\\\\\\\\5\\\\\\\\\

х є (-4;-3) U (4;5) Ответ: (-4; -3) U (4; 5)

7

5) Решите неравенство:

log21/3 - log3x ≥ 6 ОДЗ: х > 0

log23 - log3x – 6 ≥ 0 Обозначим log3x = у

у2 – у – 6 ≥ 0 у2 – у – 6 = 0 Д = 25 у1 = 3 + - +

у2 = -2 -2 3

у ≤ -2; у ≥ 3

log3x ≤ -2 log3x ≥ 3

log3x ≤ log33-2 log3x ≥ log333

х ≤ 3-2 х ≥ 33

х ≤ 1/9 х ≥ 27

//////////////////////////////////////////////

///////////0///////1/9 27\\\\\\\\\\\\ х є (0; 1/9] U [27; +∞)

Ответ: (0; 1/9] U [27; +∞)

6) Решите систему: ( самостоятельно, 1 ученик у задней доски)

log3x + log3y = 1 ОДЗ: х > 0

y – 3x = 8 у > 0

log3xy = log33 xy = 3 x(3x +8) – 3 = 0

y = 3x + 8 y = 3x + 8 y = 3x + 8

2 + 8х – 3 = 0 Д = 100 х1 = -3; х2 = 1/3

х = -3 не удовлетворяет ОДЗ

х = 1/3

у = 9

Ответ: (1/3; 9)

7) № 525(г); № 527

VIII. Итог урока.

Домашнее задание: Тест №7

стр. 258-260

(из истории логарифмов).

8

Проверь домашнее задание! (решение домашней работы)

522 (г)

1 5__

lgx – 6 + lgx + 2 = 1

Обозначим lgx = у

1 5__

у – 6 + у+ 2 - 1 = 0

у + 2 +5(у – 6) – (у – 6)(у + 2) = 0

у + 2 +5у – 30 – (у2 + 2у – 6у – 12) = 0

у + 2 +5у – 30 – у2 - 2у + 6у + 12 = 0

- у2 – 10у + 16 = 0 у1 = 8; у2 = 2

lgx = 8 lgx = 2

х = 108 х = 102

х = 100 000 000 х = 100
524 (в,г)

в) log4 (2*4x-2 – 1) = 2x -4

42x-4 = 2*4x-2 – 1

42(x-2) – 2*4x-2 + 1 = 0

Обозначим 4х-2 = t, t > 0 t2 - 2t + 1 = 0

t1 = 1

4x-2 = 1 4x-2 = 40

x – 2 = 0 x = 2

Проверка: log4 (2*42-2 – 1) = 2*2 – 4

log4 1 = 0 0=0

Ответ: 2

г) log2 (4x + 4) = log22x + log2 (2x+1 – 3)

log2 (4x + 4) = log22x * (2x+1 – 3)

4x + 4 = 2x (2x+1 – 3)

22x + 4 = 2x * 2x+1 – 2x * 3

9

22x + 4 = 22x * 2 – 2x *3

22x – 22x * 2 + 3*2x + 4 = 0

22x (1 – 2) + 3*2x + 4 = 0

- 22x + 3*2x + 4 = 0

Обозначим 2х = t, t > 0

-t2 + 3t + 4 = 0 t2 – 3t – 4 = 0 t1 = 4; t2 = -1

t2 = -1 не удовлетворяет условию t > 0

2х = 4 2х = 22 х = 2

Проверка: log2 (42 + 4) = log222 + log2 (23 – 3)

log220 = log24 + log25

log220 = log220

Ответ: 2
530 (в,г)

в) 3х * 2y = 576 3х * 2y= 576 3х * 2y= 576

log√2 (y – x) = 4 log21/2 (y – x) = 22 2log2 (y – x) = log2 24




3х * 2y = 576 3х * 2y = 576 3х * 2y = 64*9

log2 (y – x)2 = log216 (y –x)2 = 42 (y –x) = 4




3x * 24+x = 64*9 3x * 24+x = 26 * 32 3x * 2x * 24 = 26 * 32

y = 4 + x y = 4 + x y = 4 + x




3x * 2x = (26 * 32)/24 3x * 2x = 22 * 32 (3 * 2)x = (2 * 3)2

y = 4 + x y = 4 + x y = 4 + x




x = 2 x = 2 y – x > 0

y = 4 + x y = 6 6 – 2 > 0

Ответ: (2; 6)
10

г) lgx – lgy = lg15 -1 ОДЗ: х > 0 х > 0

10lg (3x + 2y) = 39 у > 0 у > 0

3х + 2у > 0 х > -

lg lg 15 – lg 10 lg lg = =

3x + 2y = 39 3x + 2y = 39 3x + 2y = 39 3x + 2y = 39
2x = 3y x = x = x =

3x + 2y = 39 3 * /*2 13у = 78

x = х = 9 9 > 0 9 > 0

у = 6 у = 6 6 > 0 6 > 0

9 > - 9 > -4

Ответ: (9; 6)























Похожие:

Решение логарифмических уравнений и неравенств iconУрока по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств»
Цель урока: способствовать формированию целостной системы знаний и способов действий по теме «Решение логарифмических уравнений и...
Решение логарифмических уравнений и неравенств iconТиповые задачи по математике I действия с числами
Решение показательных и логарифмических уравнений, систем уравнений и неравенств
Решение логарифмических уравнений и неравенств iconУрок по решению показательных и логарифмических уравнений и неравенств. 10 класс. Учитель Степанов А. Б. Цели и задачи урока: а) повторить определение степени и определение логарифма
«Обзорный урок по решению показательных и логарифмических уравнений и неравенств»
Решение логарифмических уравнений и неравенств iconРешение уравнений с помощью неравенства Бернулли. 3-4
В настоящей работе я хочу в контексте обозначенной тематики рассмотреть применение и некоторых других известных неравенств, а так...
Решение логарифмических уравнений и неравенств iconМатематика. Показательная функция. Решение показательных уравнений, неравенств и систем Методическое пособие
Учебно-методическое пособие предназначено для преподавателей и студентов. В пособии приводятся основные определения и свойства показательной...
Решение логарифмических уравнений и неравенств iconРешение неравенств
Тема работы: «Классические неравенства и их применение к доказательству неравенств. Графическое решение неравенств»
Решение логарифмических уравнений и неравенств iconРешение неравенств. Равносильные неравенства. Метод интервалов. Системы неравенств
Доказательство неравенств. Существует несколько методов доказательства неравенств. Мы рассмотрим их на примере неравенства
Решение логарифмических уравнений и неравенств iconРешение систем линейных уравнений в среде Mathcad
Для решения систем уравнений, систем неравенств и смешанных систем в Mathcade используется механизм, называемый solve block
Решение логарифмических уравнений и неравенств iconРешение тригонометрических неравенств
Решение тригонометрических неравенств сводится к решению простейших тригонометрических неравенств вида
Решение логарифмических уравнений и неравенств icon«Решение тригонометрических уравнений и неравенств»
Разработала : учитель математики моусош с. Б-лука Вадинского района Пилипенко Н. Ф
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org