Здесь к действительное число от 1 до 



Скачать 169.38 Kb.
Дата05.05.2013
Размер169.38 Kb.
ТипЛекция
Лекция 3.

Сигналы произвольной формы. Разложение по гармоникам. Нелинейности реальных элементов – источники гармоник. Фактор мощности. Квазипрямоугольный сигнал - его измерение и идеальная форма. Переходные процессы. Новый аналоговый элемент - электрический ключ. Классический метод решения в простых линейных цепях (до второго порядка). Интегрирующие и дифференцирующие цепи. Переходные характеристики.
Если в силовой электротехнике превалирует одна частота, на которой работают мощные электромеханические генераторы, то в электронике, напротив, мы имеем дело, как правило, с сигналом произвольной формы. Здесь приведён ещё самый понятный сигнал последовательности прямоугольных импульсов, которые используют в цифровой технике для передачи битов информации.


Сигналы произвольной формы можно разложить в тригонометрический ряд Фурье, который в простейшем виде можно представить как сумму гармонических колебаний с частотами, кратными основной частоте сигнала (гармоники)

F(t)=Akejkt , здесь к - действительное число от 1 до .

Ниже приведено разложение по гармоникам данного сигнала (выведено только 20 первых нечётных гармоник).



Эти гармоники возникают при наличии в цепи нелинейных элементов, либо неучтённых нелинейностей выбранных компонентов.

В качестве иллюстрации посмотрим как появляются гармоники в обычной схеме выпрямления напряжения через такой нелинейный элемент как полупроводниковый диод, у которого меняется значение сопротивления в зависимости от направления протекающего тока.



В качестве источника выбран источник гармонического сигнала с амплитудой 100В.

У него одна основная гармоника 50 Гц
Однако диод существенно меняет форму напряжения и тока в нагрузке.


При разложении в ряд Фурье сигналов тока в контуре и напряжения на нагрузке появляются новые гармоники. Во-первых, как и следует, появляется постоянная составляющая на уровне 30В (максимальное напряжение источника 100В). Во-вторых, осталась весьма существенная основная гармоника (около 45 В) и видны новые 2, 3, 4 и 5 гармоники.



gif" name="graphics7" align=bottom width=623 height=353 border=0>

Самое неприятное в том, что токовые гармоники проходят в источник!!! Это приводит к передаче существенной части энергии на гармониках, что очень не любят в силовой электротехнике, поскольку это приводит к уменьшению отношения активной энергии Р, переданной в нагрузку (двигатель), к полной мощности S, проходящей по системе. То есть, как уже говорили, к уменьшению коэффициента или фактора мощности.

Но что плохо для «электриков», то хорошо для «электронщиков», а «цифровики» вообще без прямоугольного импульса не могут обойтись.

Основным поставщиком гармоник с математической точки зрения является единичная функция (прямоугольный импульс образуется применением двух единичных функций).





И это только первые 100 гармоник.

Применение комплексного метода к моделированию цепей с сигналами произвольной формы возможно, если решать системы уравнений для каждой гармоники в отдельности и результат потом складывать. Практически это делают только для основной гармоники (приближение по основной гармонике). Естественно, полученный результат будет иметь погрешность 100%. А при наличии в цепи нелинейности, генерирующей единичную функцию, такой метод анализа электрической цепи вообще неприменим, так как там бесконечное количество гармоник.


Устройство в цепи, которое генерирует единичную функцию, называют электрическим ключом. Его прообразом и первым реальным исполнением является электрический рубильник, который переводит нагрузку из одного энергетического состояния в другое. В настоящее время разработаны самые разнообразные электрические ключи от реле до полевых транзисторов с использованием самых различных нелинейных эффектов. Поэтому в дальнейшем при моделировании электрических цепей мы будем пользоваться идеальным электрическим ключом, сопротивление которого изменяется от 0 до  за бесконечно малый промежуток времени. Соответственно,

Нормально-открытый ключ, включатель (НО, switch on)

R(t)= {, при tT0

{0, при tT0



Нормально-замкнутый ключ, выключатель (НЗ, switch off)

R(t)= {0, при tT0

{, при tT0

Проведём моделирование классическим методом простейших схем с электрическим ключом.

Схема с R , С и электрическим ключом.


Нормальное положение ключа – разомкнут.

После момента первой коммутации ключ переходит в замкнутое положение и имеет пренебрежимо малое сопротивление, но временные зависимости тока и напряжения на элементах неизвестны, т.к. в этот момент все временные функции имеют математический разрыв.

Сшить решения в этой точке нам помогают правила коммутации, которые вытекают из законов сохранения заряда и магнитного потока. Они гласят, что напряжение на ёмкости и ток в индуктивности при коммутации сохраняются. Чтобы нарушить эти правила, нужно обеспечить бесконечно большие мощности при передаче электромагнитной энергии, что невозможно (по крайней мере в нашей Галактике) из-за ограничения скорости света.

Итак, IL = IL+ и UC- =UC+ .
Напишем уравнение для данной цепи после первой коммутации по 1 правилу Кирхгофа при неизвестной временной зависимости напряжения на ёмкости после коммутации.

Учитывая, что IC=CdUC/dt и UC= (2-0), а также заменяя источник э.д.с. Е с внутренним сопротивлением R1 на источник тока Е/R1 с таким же внутренним сопротивлением, получим

Е/R1= UC/R1 + UC/R2 + CdUC/dt = UC (R1+R2/R1R2) + CdUC/dt

или

E(R2/R1+R2)= UC + C(R1R2/R1+R2)  dUC/dt

При R1=R2=R

UC+0,5RСdUC/dt = Е/2

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка с правой частью. Его решение будем искать как сумму общего решения однородного уравнения UC0 без правой части (свободные токи и напряжения) и одного из частных решений неоднородного уравнения, UУ (установившиеся токи и напряжения).

UC= UC0+ UУ

Свободные параметры найдём из уравнения UC+0,5RСdUC/dt = 0 в виде UC0=Аеpt.

До момента первой коммутации (включение): I=0, UC=0, Е=20B.

Классический метод заключается в отдельном поиске неизвестных величин р, UУ и А.

1) Находим р. После подстановки искомой формы решения в уравнение получаем характеристическое уравнение 1+ рRС/2=0. Отсюда р = 2/RС. При t = RC/2 показатель экспоненты равен -1. То есть в грубом приближении искомый параметр снижается втрое. Это даёт возможность говорить об этой величине времени как о характерном времени переходного процесса. Для наших данных характерное время составляет 5 мкс.

Обратите внимание на то, что величина р – отрицательна и действительна. Это показывает на затухающий характер переходных процессов.
Многие делают ошибку, вспоминая j из гармонического анализа вместо р. В действительности область значений частот р, как неизвестной величины, бесконечна, и включает как действительные числа, так и мнимые, как например j.


  1. Найдём установившееся значение UУ при значении времени t   . В это время все переходные процессы завершатся (они затухающие). И так как у нас источник постоянного тока, то и цепь можно рассматривать в приближении постоянного сигнала. По правилу делителя напряжения UУ = Е/2.

  2. Найдём значение А при t = 0. Для этого воспользуемся правилом коммутации для ёмкости, UС= UС+ = 0. Тогда Аеp0+E/2=0 или А+E/2=0 или А = Е/2.

Полное решение UС =0,5Еерt+0,5Е=0,5Е(1 ерt), где р = 2/RС.

Ток через конденсатор можно найти из соотношения

IС= СdUC/dt =С2Еерt/ 2RС= (Е/R)ерt

Можно показать, что энергия заряженного конденсатора равна активной энергии, выделяемой на зарядном резисторе R1 (при R2 ).

Для данных конкретной схемы эти функции выглядят следующим образом.


Таким образом, можно сказать, что конденсатор в начале переходного процесса ведёт себя как короткозамыкающая перемычка. То есть все старшие гармоники замыкаются на конденсаторе. Оно и понятно: чем выше частота, тем меньше реактанс конденсатора. Поэтому ток в начале заряда конденсатора ограничивается только резистором в цепи!

После второй коммутации ключ возвращается в разомкнутое (замкнутое) состояние и имеет очень высокое (малое) сопротивление и энергия заряженного конденсатора разряжается через резистор R2.

Уравнение этой цепи по 2 закону Кирхгофа

UC + R2CdUC/dt =0

Отсюда 1 + R2Cр =0 и р=1/R2C. Характерное время процесса 10 мкс.

Установившееся значение UУ= 0.

В момент второй коммутации τ напряжение UC= UC+=0,5Е(1 ерτ)=А.

Отсюда UC=0,5Е(1 ерτ) ер(tτ) , где р=1/R2C

Ток через конденсатор можно найти из соотношения

IС= СdUC/dt =  Е(1 ерτ) ер(tτ)/ 2R2
Графики этих функций представлены на следующем рисунке.


При τ » RС/2=1/р напряжение на ёмкости перед второй коммутацией достигает значения Е/2 и мы получим вместо прямоугольного импульса квазипрямоугольный. Ток через конденсатор имеет переменный характер, что не рекомендуется, например, для электролитических конденсаторов.

При τ « RС/2 значение напряжения на ёмкости после первой коммутации можно разложить по малому параметру |рt| «1, и тогда

UC=0,5Е(1 ер(tτ))=0,5Е(11+ р(tτ))= 0,5Ер( tτ)

То есть мы получаем интеграл от постоянного напряжения источника. Поэтому подобные RC-цепи получили название интегрирующих цепочек.

Если переставить местам резистор R1 и емкость, то на резисторе появится напряжение только старших гармоник, то есть мы получим операцию дифференциирования.

Таким образом с помощью аналоговых элементов можно выполнять все основные математические операции. Это дало возможность создания аналоговых вычислительных машин, которые в настоящее время практически вытеснены цифровой техникой.



На практике очень удобно характеризовать реакции различных электрических цепей на воздействие единичным импульсом так называемыми переходными (импульсными) характеристиками, а именно, отношением амплитуды реакции схемы к амплитуде импульсного воздействия. В рассматриваемой схеме могут быть получены 3 переходных характеристики:

  1. h(t) = UC/E=0,5(1 ерt) или 0,5(1 ерτ) ерt , переходная характеристика по напряжению;

  2. r(t) = (1/R)ерt или  Е(1 ерτ) ер(tτ)/ 2R2 , переходное сопротивление;

  3. g(t)=1/ r(t), переходная проводимость.


Схема с L , R и электрическим ключом.


До момента коммутации I=0, UL=0, Е=10B.

Напишем уравнение для данной цепи после первой коммутации по 1 закону Кирхгофа

при неизвестной временной зависимости тока через индуктивность после коммутации. Выбор в качестве неизвестного параметра тока индуктивности вызван тем, что у нас для него написано правило коммутации.

Учитывая, что UL=LdIL/dt и UL= (2-0), а также заменяя источник э.д.с. Е с внутренним сопротивлением R1 на источник тока Е/R1 с таким же внутренним сопротивлением, получим

E/R1=UL/R1+ UL/R2+IL= UL(1/R1+ 1/R2)+IL= L(1/R1+ 1/R2)dI/dt+IL

При равенстве R1=R2 =R получим E/R= 2L/RdI/dt+IL
Применяем классический метод.

  1. Характеристическое уравнение 2рL/R+1 = 0 . Отсюда р= R/2L

  2. Установившееся значение ILу при t   равно IУ=E/R

  3. Правило коммутации для тока IL = IL+ =0. Отсюда А + E/R=0 и А= E/R

Общее решение IL=E/R(1ept) , где р= R/2L.

Переходная проводимость g(t)= 1/R(1ept)

Характерное время процесса 1/р= 2L /R , в нашем случае 4 мкс.

Напряжение на индуктивности можно найти из соотношения

UL= LdI/dt =LЕ/R(1-ерt)= LЕ/R(R/2L) ерt= Е/2 ерt

Переходная функция по напряжению h(t)= 1/2 ерt

Для данных конкретной схемы эта функция выглядит следующим образом.

Таким образом, можно сказать, что индуктивность в начале переходного процесса ведёт себя как разрыв в цепи. То есть проходят только младшие гармоники. Оно и понятно: чем выше частота, тем больше реактанс индуктивности. Поэтому на индуктивности в начале переходного процесса падает практически всё напряжение источника (при R2 )!

После второй коммутации ключ возвращается в разомкнутое (замкнутое) состояние и имеет очень высокое (малое) сопротивление и магнитная энергия индуктивности разряжается через резистор R2.

Уравнение этой цепи по 2 закону Кирхгофа

RIL + LdIL/dt =0

Отсюда R + Lр =0 и р=R/L.

Установившееся значение IL= 0.

В момент второй коммутации τ ток IL= IL+=Е/R(1 ерτ)=А.

Отсюда IL=Е/R(1 ерτ) ер(tτ) , где р=R/L

Переходная проводимость g(t)= 1/R(1 ерτ) ер(tτ)

Напряжение на индуктивности можно найти из соотношения

UL= LdIL/dt =  LЕ/R(1 ерτ) ер(tτ)R/L =  Е(1 ерτ) ер(tτ)

Переходная функция по напряжению h(t)= рτ1) ер(tτ)

Графики этих функций представлены на следующем рисунке.

Их вид аналогичен тем кривым, что мы получали при работе с ёмкостью, только напряжение и ток поменялись местами.


Обратите внимание, что на ключе возникает практически двойное напряжение источника, которое складывается из напряжения источника и отрицательного выброса напряжения на индуктивности. Эти перенапряжения носят название коммутационных перенапряжений и они представляют серьёзную опасность для нормальной работы электрического оборудования. Поэтому необходимо принимать меры для защиты как этих элементов, так и подходящих к ним сетей!
Схема с L , С, R и электрическим ключом.


Из всех возможных вариантов соединений этих элементов была выбрана данная цепь, так как между узлами 2 и 0 размещены аналоговые элементы, отвечающие за все 3 превращения энергии между двумя любыми точками в пространстве, занятом электромагнитным полем.

Ключ выбран нормально-открытым.

Напишем уравнение для данной цепи после первой коммутации по 1 закону Кирхгофа

при неизвестной временной зависимости тока через индуктивность и напряжения на ёмкости после коммутации. Правила коммутации можно записать для обоих неизвестных параметров.

IL = IL+ =0 UС= UС+ = 0

Учитывая, что IС= СdUC/dt и UC=ILR2+ LdIL/dt и UL= (2-0), а также заменяя источник э.д.с. Е с внутренним сопротивлением R1 на источник тока Е/R1 с таким же внутренним сопротивлением, получим

Е/R1= СdUC/dt + UC/R1+IL =CR2 dIL/dt +CLd2 IL/dt2+ ILR2/R1+ L/R1 dIL/dt + IL

Е/R1= d2 IL/dt2 + (R2/ L + 1/R1C) dIL/dt + IL(R2/R1 +1)/ LC

При R1 » R2

Е/R1= d2 IL/dt2 + (R2/ L + 1/R1C) dIL/dt + IL/LC

При R1  , то есть при наличии идеального источника тока J

J= d2 IL/dt2 + R2/ L  dIL/dt + IL/LC

При любых соотношениях R1 и R2 имеем дифференциальное уравнение второго порядка, вследствии того, что у нас в схеме 2 реактивных элемента. Если бы их было больше, мы имели бы более высокий порядок уравнения, решать которые классическим методом очень сложно из-за трудностей в решении алгебраического (характеристического) уравнения с порядком больше 3.

Правило здесь очень простое: сколько реактивных элементов, то таков же порядок дифференциального и, соответственно, характеристического уравнений.

Характеристическое уравнение для данной схемы с питанием от идеального источника тока

р2 + R2/ L  р + 1/LC=0
Отсюда р1,2=  R2/2L( R2/2L)2-1/LC

Во-первых отметим, что здесь 2 корня, то есть в результате будут 2 экспоненты – одна быстрая с р1= R2/2L+( R2/2L)2-1/CL, а другая медленная с

р2 = R2/2L(R2/2L)21/LC.

Во-вторых, дискриминант уравнения (R2/2L)2-1/CL может быть положительным или отрицательным в зависимости от соотношения R22/4L2 и 1/CL.

При R2/2L/С он будет положительным и у нас два действительных корня.

Но при R2/2L/С у нас оба корня будут содержать мнимую часть, то есть в сигнале появятся гармонические колебания с частотой 1/LC=. А это не что иное, как резонансная частота колебательного контура, образованного нашими реактивными элементами L и C. То есть, при активном сопротивлении контура R2/2 меньше чем его характеристическое сопротивление L/С, импульсное воздействие возбуждает резонансные колебания, как это было бы, если ударить по пустой бочке.

В установившемся режиме IL=J, a UC=JR2.

Решения уравнения будем искать в виде

IL=A1ep1t+A2ep2t+J

Применяя условие коммутации для тока , получим 0=A1+A2+J.

Второе условие коммутации UС= UС+ = 0 UС+ = R2 IL+ LdIL/dt

JR2 + R2 (A1+A2) + L (р1A12 A2)=0

JR2 + R2 A1+ R2A2 + р1L A12 L A2= JR2 + (R2 + р1L )A1+ (R2 + р2 L) A2=0

Выразим из первого условия A1= A2J и тогда

A2 = J р1/ (р2р1)

А1 = J р2/(р1р2)

Можно вернуться к начальному уравнению и произвести те же вычисления с учётом обоих сопротивлений и реальным источником. Но суть решений не изменится, увеличится только сложность коэффициентов в формулах.

Поэтому лучше посмотреть соответствующие графики.

При R1=4 кОм, R2=1кОм, C=10 нФ, L=100 мкГн , т.е. L/C « R2

В этом случае переходный процесс имеет апериодический характер, так как оба корня характеристического уравнения действительны.

Установившееся значение напряжения на ёмкости 4В и тока в индуктивности 4 мА.

Идёт спокойный экспоненциальный заряд емкости и индуктивности соответствующей энергией.


При R1=180Ом, R2=20 Ом, C=10 нФ, L=100 мкГн , т.е. L/C  R2/2

В этом случае переходный процесс имеет периодический характер с затуханием, так как оба корня характеристического уравнения имеют мнимую часть, которая отвечает ха гармонические колебания, в то время как действительная часть отвечает за затухание.

Установившееся значение напряжения на ёмкости 2В и тока в индуктивности 2 мА.

Период колебаний Т=6,5 мкс(график) 2πLC=2π10-6 (наш расчёт).

После второй коммутации ключ возвращается в разомкнутое (замкнутое) состояние и имеет очень высокое (малое) сопротивление, а энергия, накопленная в реактивных элементах, разряжается через резистор R2.

Уравнение этой цепи по 2 закону Кирхгофа

R2 IL + LdIL/dt +1/С  ILdt =0 и после дифференцирования

d2IL/dt2 + R2/LIL +1/LС IL = 0

Отсюда р2 + R2/Lр + 1/LС =0

Отсюда р1,2=  R2/2L( R2/2L)2-1/LC= R2/2LD

Это решение было рассмотрено при первой коммутации.

Установившееся значение IL= 0 и UC=0.

Решения уравнения будем искать в виде

IL1ep1t2ep2t

В момент второй коммутации  ток IL= IL+1еατ2 еβτ+J = J2, где А1 и А2, а также α и β были найдены при первой коммутации.

Применяя условие коммутации для тока, получим 0=B1+B2- J2

Второе условие коммутации

UС= UС+ = Е2 =R2 IL + L dIL/dt , где Е2 – напряжение на ёмкости в момент второй коммутации 

Е2 +R2 IL + L dIL/dt=0

Е2 +(R2 + Lр11+ (R2 + Lр22=0

Выразим из первого условия В1= В2+J2 и тогда

В2= Е2 + (R2+Lр1)J2 / L(р1р2)

В1= Е2 + (R2+Lp2) J2/ L(р2р1)

Воспользуемся вычислительной техникой и посмотрим решения при  больше характернного времени переходного процесса после первой коммутации, а также при 1) R1=4 кОм, R2=1кОм, C=10 нФ, L=100 мкГн , т.е. L/C « R2

В этом случае переходный процесс имеет апериодический характер, так как оба корня характеристического уравнения действительны.


Видно, что конденсатор устраняет отрицательный выброс напряжения на индуктивности и на ключе. Такая защита катушек и ключей широко применяется в импульсной электронике, где она носит название RC-снаббера.

2) R1=180Ом, R2=20 Ом, C=10 нФ, L=100 мкГн , т.е. L/C  R2/2

В этом случае переходный процесс имеет периодический характер с затуханием, так как оба корня характеристического уравнения имеют мнимую часть


Видно, что реактивная энергия, запасённая в реактивных элементах цепи, вызывает большие затухающие колебания напряжения и тока. Отсутствие резистора R1 в цепи обмена энергией уменьшает их затухание. Это приводит к отрицательным выбросам напряжения, а также к опасному режиму работы ключа.

В цифровой электронике эти колебания могут привести к ошибкам в счёте. Если схема воспринимает как логическую единицу все напряжения выше 1,5 В (для нашего случая), то она увидит 5 логических единиц вместо одной.



Данные колебания могут распространяться как по емкостным, так и по магнитным связям. Поэтому электрические ключи являются мощным источником электромагнитных наводок, которые отрицательным образом воздействуют на соседнюю аппаратуру, и вынуждают обращать серьёзное внимание на вопросы электромагнитной совместимости работы электронных приборов.
Искажение переходными процессами идеальной единичной функции в реальных устройствах ставит задачу типизации всех возможных форм получаемых на нагрузке импульсов и визуально наблюдаемых на экране осциллографа.

Для примера возьмём полученный ранее апериодический импульс напряжения от двух переходных процессов.



Получаемый в результате действия двух коммутаций электрического ключа импульс квазипрямоугольной формы принято характеризовать длительностью, а также его фронтом и срезом. Правильные измерения этих параметров показаны на графике. Ясно, что подобная методика исключает все те мелкие переходные процессы, которые могут возникнуть в электрическом устройстве. Выделяют несколько типов импульсов, обладающих простой формой математического представления: прямоугольный, пилообразный, треугольный, трапецеидальный, экспоненциальный (рассмотренный выше), колоколообразный, полуволна, видеосигнал. Необходимо заметить, что длительность пилообразных и треугольных ипульсов измеряется по их основанию, в отличие от приведённого на графике случая.

Для описания отклонений импульса от простой математической формы могут использоваться дополнительные параметры, такие как неравномерность вершины и размер выбросов после фронта и среза.

Похожие:

Здесь к действительное число от 1 до  icon8. 1 Определим действительное число
Определим действительное число как бесконечную десятичную дробь вида а0,a1a2a3…an где а0 – целое число (а0  Z), i (i  N) – цифры...
Здесь к действительное число от 1 до  iconТема № Показательные уравнения I. Теоретический материал
Пусть данное положительное число, не равное 1 число, данное действительное число. Тогда уравнение (**) называют простейшим показательным...
Здесь к действительное число от 1 до  iconЗнак зверя (666) {rfid}
Здесь мудрость. Кто имеет ум, тот сочти число зверя, ибо это число человеческое; число его шестьсот шестьдесят шесть. (Откров 13:...
Здесь к действительное число от 1 до  iconОпределение и свойства предела последовательности. Определение
Определение: задать числовую последовательность – это значит сопоставить каждому номеру действительное число
Здесь к действительное число от 1 до  iconСложение. Для любой упорядоченной пары действительных чисел а и b определено единственным образом действительное число, называемое их суммой так, что а + b = b+а а + (b+с) = (а+b) + с Существует число 0, такое
Умножение. Для любой упорядоченной пары действительных чисел а и b определено единственным образом число, называемое их произведением...
Здесь к действительное число от 1 до  iconСуицид общие теории и предотвращение
Суицид рассматривается как ведущая причина смертей во всем мире, поэтому он является значительной общественной проблемой. Кроме того,...
Здесь к действительное число от 1 до  iconКак сделать из точек числа?
Если речь идет о точках на прямой – это просто. Выбрав начало отсчета и масштаб с направлением, можно получить из прямой числовую...
Здесь к действительное число от 1 до  iconКасательная плоскость и нормаль к поверхности экстремум функции двух независимых переменных
Определение Пусть даны 2 непустых множества и. Если каждой паре действительных чисел, принадлежащих множеству, по определенному правилу...
Здесь к действительное число от 1 до  iconМногочлены и их корни
Здесь коэффициенты будем считать произвольными комплексными числами. Многочленом нулевой степени будем считать отличное от нуля комплексное...
Здесь к действительное число от 1 до  iconВ ницце и на Лазурном берегу с каждым годом растет число русскоговорящих, постоянно живущих здесь, приезжающих по деловым проектам или просто на отдых, имея здесь крышу или снимая ее на лето
Этот год также открывает перед соотечественниками дополнительные возможности по сохранению и углублению связей с Родиной, с родным...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org