Теория математической обработки геодезических измерений. Метод наименьших квадратов



Скачать 378.98 Kb.
страница1/4
Дата06.05.2013
Размер378.98 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3   4
Н.Б. Лесных
Теория математической обработки геодезических измерений. Метод наименьших квадратов

Оглавление
1. Коррелатный способ уравнивания

1.1. Матрицы

1.1.1. Общие сведения

1.1.2. Сложение матриц

1.1.3. Умножение матриц

1.1.4. Транспонирование матриц

1.1.5. Обратная матрица

1.1.6. Запись систем линейных уравнений в матричном виде

1.1.7. Дифференцирование матричных выражений

1.2. Сущность задачи уравнивания

1.3. Условные уравнения

1.4. Весовая функция

1.5. Условные уравнения и весовая функция в нивелирной сети

1.6. Вывод нормальных уравнений коррелат

1.7. Составление нормальных уравнений коррелат

1.8. Решение нормальных уравнений

1.8.1. Способ Гаусса последовательного исключения неизвестных

1.8.2. Текущий контроль решения нормальных уравнений

1.8.3. Заключительный контроль решения нормальных уравнений

1.8.4. Схема Гаусса

1.8.5. Решение нормальных уравнений способом квадратных корней

1.8.6. Решение нормальных уравнений способом обращения

1.9. Условные уравнения и весовая функция в геодезическом
четырехугольнике

1.10. Контроль вычисления поправок vi и [pvv]

1.11. Оценка точности по материалам уравнивания

1.11.1. Корреляционная матрица

1.11.2. Обобщенная теорема оценки точности

1.11.3. Корреляционная матрица результатов измерений

1.11.4. Корреляционная матрица невязок

1.11.5. Корреляционная матрица коррелат

1.11.6. Корреляционная матрица поправок

1.11.7. Корреляционная матрица уравненных результатов измерений

1.11.8. Корреляционная матрица функции уравненных результатов измерений

1.11.9. Определение обратного веса функции через переходные коэффициеты

1.11.10. Определение обратного веса функции в дополнительном столбце
схемы решения нормальных уравнений

1.11.11. Допустимые значения невязок

1.11.12. Оценка точности результатов измерений по материалам уравнивания

1.12. Блок-схема коррелатного способа уравнивания
2. Параметрический способ уравнивания

2.1. Параметрические уравнения

2.2. Вывод нормальных уравнений

2.3. Составление нормальных уравнений.Контроль составления

2.4. Весовая функция

2.5. Решение нормальных уравнений в схеме Гаусса

2.6. Решение нормальных уравнений способом обращения

2.7. Контроли уравнительных вычислений

2.8. Оценка точности по материалам уравнивания

2.8.1. Общие положения

2.8.2. Корреляционная матрица параметров.Обратный вес параметра

2.8.3. Обратный вес функции параметров

2.8.4.
Определение обратного веса функции в дополнительном столбце схемы
решения нормальных уравнений

2.8.5. Корреляционная матрица уравненных результатов измерений

2.8.6. Корреляционная матрица поправок

2.8.7. Корреляционная матрица функций параметров

2.9. Параметрические уравнения в линейно-угловой сети

2.10. Блок-схема параметрического способа уравнивания

2.11. Среднее отношение весов измеренных и уравненных величин
3. Дополнительные вопросы уравнивания по МНК

3.1. Обобщенный метод наименьших квадратов

3.2. Комбинированные способы уравнивания

3.2.1. Коррелатный способ с дополнительными неизвестными

3.2.2. Параметрический способ с избыточными параметрами

3.3. Вероятностное обоснование метода наименьших квадратов
Список литературы


1. Коррелатный способ уравнивания
1.1. Матрицы


      1. Общие сведения


Сведения из теории матриц приведены в том объеме, который необходим для последующего краткого изложения курса ТМОГИ.

Таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов, называется матрицей размера m х n



Числа aij - элементы матрицы; i - номер строки (i = 1, 2, ..., m); j - номер столбца (j = 1, 2, ..., n).

Если m ≠ n - матрица прямоугольная;

Матрица, в которой число строк равно числу столбцов (m = n), называется квадратной.

Матрица размера 1 × n - вектор-строка; размера m × 1 - вектор-столбец.

Матрица, все элементы которой равны нулю (aij = 0), называется нулевой.

Элементы aii квадратной матрицы образуют ее главную диагональ. Если aij = aji (i ≠ j), квадратная матрица симметрична.

Если в квадратной матрице aij = 0 (i ≠ j), матрица называется диагональной. Диагональная матрица с элементами aii = 1 называется единичной:



Следом квадратной матрицы называется сумма ее диагональных элементов:

Sp(Ann) = .



      1. Сложение матриц


Матрицы одинакового размера можно складывать.

Сmn = Аmn + Вmn; сij = аij + вij.

Свойства суммы:

А + В = В + А;

А + В + С = (А + В) + С = А + (В + С).



      1. Умножение матриц


Матрицы можно умножить, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Cmk = Аmn · Bnk; cij = ai1 · b1j + ai2 · b2j +...+ ain · bnj;

(i = 1, 2, ..., m), (j = 1, 2, ..., k).

Пример.

С23 = А22; В23 = ?

С23 = .



Свойства произведения:

А · В · С = (А · В) · С = А · (В · С);

А · В≠ В · А;

А (В + С) = АВ + АС - умножение слева;

(В + С) А = ВА + СА - умножение справа;

0А = А0 = 0; ЕА = АЕ = А; λА = Аλ = {aij · λ}, λ - число.



      1. Транспонирование матриц


Если в матрице Аmn поменять местами строки и столбцы, получим транспонированную матрицу AnmТ.

Пример.



Свойства транспонирования:

(АТ)Т = А; (А + В)Т = АТ + ВТ; (А В С)Т = СТВТАТ - транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, записанных в обратной последовательности. Если А = АТ, матрица симметрична.


      1. Обратная матрица


Квадратная матрица называется неособенной, если ее определитель не равен нулю. Всякая неособенная матрица имеет обратную. Это такая матрица А-1, которая будучи умножена на исходную А слева или справа, дает единичную

А-1А = АА-1 = Е.

Свойства обратной матрицы:

(А-1)-1 = А;

(А В С)-1 = С-1В-1А-1 - обратная матрица произведения равна произведению обратных матриц, взятых в обратной последовательности;

(А-1)Т = (АТ)-1.

Пример.

(А В С)-1 (СТВТАТ)Т = С-1В-1А-1А В С = С-1В-1ЕВС = С-1ЕС = Е.



      1. Запись систем линейных уравнений в матричном виде


- система линейных уравнений.

Обозначим,

- матрица коэффициентов,

- вектор неизвестных,

- вектор свободных членов.

Amn Xn1 + Bm1 = 0 - матричная запись системы уравнений.



      1. Дифференцирование матричных выражений


Если

- вектор-функция, где

- вектор аргументов, то

- матрица частных производных вектор-функции по вектору аргументов.

Пример.



Если Fm(Xn1) = AmnXn1, то

.

Если Fm(Xn1) = X1nTAnn Xn1 и Ann - симметричная матрица, то



Если Ann = E, то



- квадратичная форма.



    1. Сущность задачи уравнивания


Обозначим: у1, у2, ..., уn - результаты измерений;

р1, р2, ..., рn - веса измерений;

Y1, Y2, ..., Yn - истинные значения измеренных величин;

n - число всех измерений; t - число необходимых измерений;

r = n - t                     (1)

- число избыточных измерений.

Каждая избыточная величина приводит к появлению математического соотношения с другими измеренными величинами. Например, измерение третьего угла плоского треугольника позволяет составить следующее уравнение относительно истинных значений углов:

Y1 + Y2 + Y3 - 180° = 0.

В общем случае

Фj(Y1, Y2, ..., Yn) = 0 (j = 1, 2, ..., r).               (2)

Система (2) включает только независимые уравнения, число которых равно r.

С измеренными величинами, вследствие неизбежных ошибок измерений, эти математические соотношения строго удовлетворяться не будут

Фj(y1, y2, ..., yn) = ωj.                       (3)

Величины ωj называют невязками.

В процессе математической обработки необходимо исправить результаты измерений так, чтобы удовлетворить все математические связи, т. е. устранить невязки. Процесс математической обработки, направленный на устранение невязок, называется уравниванием. Вторая задача математической обработки - оценка точности измеренных и уравненных величин.

Необходимо найти такие поправки vi к результатам измерений, чтобы

Фj(y1 + ν1, y2 + ν2, ..., yn + νn) = 0 (j = 1, 2, ..., r).            (4)

Так как неизвестных поправок n, а уравнений (4) γ < n, задача неопределенна, имеет множество решений. Для получения единственного решения ставят дополнительное условие.

Таким образом, причиной возникновения задачи уравнивания является присутствие ошибок в результатах измерений. Условием, позволяющим поставить задачу уравнивания, является наличие избыточных измерений. Целью уравнивания является устранение невязок и повышение точности всех измеренных величин.

Уравнивание под условием [pν²] = min называют уравниванием по методу наименьших квадратов (МНК). Это задача на условный экстремум имеет два основных способа решения - коррелатный и параметрический. Первый - способ Лагранжа с неопределенными множителями для нахождения условного экстремума. Второй - способ абсолютного минимума, когда все измеренные величины представляют в виде функций некоторых параметров. Существуют также комбинированные способы - коррелатный с дополнительными неизвестными и параметрический с избыточными параметрами.



    1. Условные уравнения


Пусть измерено n величин у1, у2, ..., уn с весами р1, р2, .., рn.

r = n - t - число избыточных измерений.

Истинные значения измеренных величин Yi связаны между собой уравнениями (2):

Фj(Y1, Y2, ..., Yn) = 0 (j = 1, 2, ..., r).

Уравнения, выражающие математическую связь между истинными значениями измеренных величин, называются условными уравнениями связи. Способ уравнивания по МНК, при котором используют условные уравнения связи, называется коррелатным. В систему включают только независимые уравнения в количестве r = n - t, (r < n). Если число уравнений будет больше r, появятся зависимые уравнения и задача уравнивания станет неопределенной. Если число уравнений окажется меньше r, после уравнивания останутся невязки.

Подстановка в уравнения (2) результатов измерений приводит к системе (3):

Фj(y1, y2, ..., yn) = ωj (j = 1, 2, ..., r), в которой невязки являются истинными ошибками соответствующих функций Фj.

Для устранения невязок отыскивают поправки vi к результатам измерений из решения системы (4)

Фj(y1 + ν1, y2 + ν2, ..., yn + νn) = 0 (j = 1, 2, ..., r), под условием МНК

[pν²] = min. (5)

Условные уравнения (4) могут иметь нелинейный вид. Способов решения систем нелинейных уравнений произвольного вида не существует. Чтобы решить задачу, функции (4) приводят к линейному виду разложением в ряд Тейлора. Полагая, что νi << yi, рассматривают поправки νi, как приращения аргументов yi. Функции Фj должны быть дифференцируемы.

Фj(y1 + ν1, y2 + ν2, ..., yn + νn) =

Фj(y1, y2, ..., νn) +

Нелинейными членами разложения (остатком R) пренебрегают.

Обозначают: Фj(y1, y2, ..., yn) = ωj - невязки - свободные члены условных уравнений поправок;

- коэффициенты условных уравнений поправок - частные производные от функций Фj, вычисляемые по результатам измерений.

                  (6)

- система условных уравнений поправок или в матричном виде:

АrnVn1 + Wr1 = 0.               (7)

Здесь

- матрица коэффициентов;

- вектор поправок к результатам измерений;

- вектор невязок.



    1. Весовая функция


Для оценки точности уравненных величин составляют весовую функцию. Это математическое выражение оцениваемой величины (координаты, отметки и т. п.) в виде функции уравненных результатов измерений

F = F(y1 + ν1, y2 + ν2, ..., yn + νn).               (8)

Весовую функцию приводят к линейному виду разложением в ряд Тейлора

F = F(y1, y2, ..., yn) +

Обозначают

F(у1, у2, ..., уn) = f0 - постоянная (не вычисляется);

- коэффициенты функции.

F = f0 + f1ν1 + f2ν2 +...+ fnνn = f0 + F1nТVn1             (9)

- весовая функция в линейном виде,

где

Fn1= - вектор коэффициентов функции.



    1. Условные уравнения и весовая функция в нивелирной сети


Исходные данные для нивелирной сети, представленной на 1:

НА = 100,000 м; НВ = 110,000 м - отметки исходных пунктов;

h (м): 5,005; 5,015; 5,001 - измеренные превышения;

S (км): 2; 2; 1 - длины ходов;

pi = c/Si: 0,5; 0,5; 1,0 - веса результатов измерений; с - постоянная.



Рис. 1. Нивелирная сеть

Уравнивание нивелирной сети начинают с подсчета числа независимых условных уравнений по формуле r = n - t.

В сети, представленной на 1, число измеренных превышений n = 3. Число необходимых измерений t = 1 - количеству вновь определяемых пунктов. Таким образом, r = 2.

В нивелирной сети имеют место полигонные условия: разность суммы превышений в полигоне после уравнивания и теоретической суммы превышений должна быть равна нулю. Выбирают независимые полигоны - замкнутые или разомкнутые, опирающиеся на твердые пункты, в количестве r. На схеме сети показывают номера выбранных полигонов и стрелкой направление суммирования превышений в полигоне. Если направление хода и напрaвление суммирования превышений в полигоне совпадает, знак у превышения "плюс", если не совпадает, превышение следует взять со знаком "минус".

Условные уравнения связи можно записать в форме (4). Для сети на 1 система уравнений имеет вид:

             (10)

Система (10) линейного вида. Для перехода к условным уравнениям поправок достаточно вычислить невязки, которые следует выразить в сантиметрах или миллиметрах, чтобы порядок коэффициентов и невязок был одинаков.



Условные уравнения поправок имеют вид:

                (11)

В качестве весовой функции целесообразно взять отметку определяемой точки и записать ее математическое выражение через уравненные превышения от ближайшего исходного пункта.

              (12)



    1. Вывод нормальных уравнений коррелат


Систему (7) условных уравнений поправок

решают под условием (5) МНК

[pv²] =

- матрица весов результатов измерений.

Используют метод Лагранжа с неопределенными множителями, называемыми в геодезии коррелатами.

- вектор коррелат.

Составляют функцию Лагранжа: условие минимума плюс дополнительное условие (7), умноженное на вектор неопределенных множителей Лагранжа для удобства преобразования со знаком "минус" и коэффициентом "2".

Ф =



    , как симметричная матрица.

,

где - матрица обратных весов измерений;



- обратный вес результата измерения.

             (13)

- коррелатное уравнение поправок, выражающее поправки в виде функций коррелат. Подставив (13) в (7), получают систему нормальных уравнений коррелат

или

       (14)

- матрица коэффициентов нормальных уравнений. Коэффициенты, стоящие на главной диагонали, называются квадратичными. Они всегда положительны. Остальные коэффициенты неквадратичные.

           (15)

- нормальные уравнения коррелат.

Из решения нормальных уравнений находят коррелаты к1, к2, ..., кr, а затем поправки к результатам измерений из выражения (13) или по формуле

           (16)

После этого вычисляют уравненные значения результатов измерений

               (17)

и делают контроль уравнивания подстановкой уравненных измерений в условные уравнения связи, невязок не должно быть:

           (18)

Если измерения равноточные, вес измерения равен единице, pi = πi = 1, матрицы весов и обратных весов единичные Pnn = Пnn = E. Формулы (13) - (16) принимают вид:

или

- коррелатные уравнения поправок.

или

- нормальные уравнения коррелат.


    1. Составление нормальных уравнений коррелат


От условных уравнений поправок (6) переходят к системе нормальных уравнений коррелат (15).

Пусть r = 2 и от системы условных уравнений поправок



требуется перейти к системе нормальных уравнений коррелат



Подлежит оценке точности весовая функция



С этой целью коэффициенты условных уравнений и функции записывают по столбцам в табл. 1. Под таблицей помещают вычисленные значения коэффициентов нормальных уравнений коррелат, а также величины [πaf], [πbf], [πff], необходимые для дальнейшей оценки точности функции. Столбцы pν и ν заполняют позднее.

Таблица 1

Таблица коэффициентов условных уравнений и функций

           

где [a], [b], [f], [S] - cуммы чисел по столбцам.

[πaa] = π1a1a1 + π2a2a2 +...+ πnanan;

[πab] = π1a1b1 + π2a2b2 +...+ πnanbn и т. д.

Для контроля последующих вычислений по строкам таблицы находят суммы коэффициентов

Si = ai + bi + fi (i = 1, 2, ..., n). (19)

Суммирование левых и правых частей равенства (19) дает контроль вычисления Si:

[S] = [a] + [b] + [f].

Умножая левую и правую часть равенства (19) на πiai, на πibi, на πifi и складывая по столбцам, получаем следующие контрольные равенства:

           (20)

Направление суммирования коэффициентов слева направо и сверху вниз и направо.

Пример.

Дана система условных уравнений поправок



и весовая функция

F = HI = HA + h1 + v1 = f0 + v1 ( 1).

Составить нормальные уравнения коррелат.

Коэффициенты условных уравнений и функции помещаем в табл. 2.

Таблица 2

Коэффициенты условных уравнений и функции



- система нормальных уравнений коррелат.

6к1 + 5к2 + 3,4 = 0 - суммарное уравнение.


1.8. Решение нормальных уравнений
1.8.1. Способ Гаусса последовательного исключения неизвестных
Пусть πi = 1, r = 2.

(21)

- система нормальных уравнений коррелат.

Из первого уравнения системы (21) находят значение коррелаты к1



и подставляют во второе уравнение



Для обозначения выражений в скобках используют символы Гаусса



Правило развертывания символа Гаусса: "Cимвол развертывается в разность. Уменьшаемое - тот же символ, но со значком на единицу меньше. Вычитаемое - дробь. Знаменатель дроби - квадратичный коэффициент, буква которого соответствует номеру развертываемого символа. Числитель - произведение двух символов, каждый из которых получен заменой буквы уменьшаемого на букву знаменателя".

(22)

- преобразованное уравнение.

Соединяя первые уравнения систем (21), (22), и т. п., получают систему преобразованных уравнений. Для r = 2 эта система имеет вид:

(23)

Значения неизвестных находят в обратном порядке.

(24)

- система элиминационных уравнений.

1.8.2. Текущий контроль решения нормальных уравнений
Вычисляют контрольные суммы

(25)

Умножая первое уравнение системы (25) на - [ab] / [aa] и складывая результат со вторым уравнением, получают



Для r = 2 контроль преобразованных уравнений можно представить в виде:

(26)

(27)

- контроль элиминационных уравнений.

1.8.3. Заключительный контроль решения нормальных уравнений
Заключительный контроль решения нормальных уравнений осуществляют подстановкой коррелат в суммарное уравнение.



_____________________________

([aa] + [аb] +...+ [ar])к1 + ([ab] + [bb] +...+ [br])к2 +... + ([ar] + [br] +...+ [rr])кr + + [w] = 0

или

([aS] - [af])к1 + ([bS] - [bf])к2 +...+ ([rS] - [rf])кr + [w] = 0 (28)

- заключительный контроль решения нормальных уравнений.

1.8.4. Схема Гаусса
Решение нормальных уравнений выполняют в схеме Гаусса (табл. 3).

Таблица 3

Схема решения нормальных уравнений коррелат (r = 2; πi = 1)



 

Для вычисления преобразованных коэффициентов нужно постоянный множитель (- [ab] / [aa]), стоящий в первой элиминационной строке над квадратичным коэффициентом [bb], умножать по строке на вышестоящие числа и складывать каждый раз с элементами второго нормального уравнения



Последняя коррелата равна числу, стоящему в столбце w последней элиминационной строки. Коррелата к1 вычисляется с использованием чисел первой элиминационной строки от столбца w налево.

[vv] или [pvv] - для неравноточных измерений - получают как сумму произведений чисел элиминационных строк столбца w на вышестоящие числа того же столбца, знак "минус" отбрасывают.



Обратный вес функции 1/PF получают, как сумму [ff] и произведений чисел элиминационных строк столбца F на вышестоящие числа того же столбца.



Пример.

Решение в схеме Гаусса (табл. 4) системы нормальных уравнений коррелат



 

Таблица 4

Решение нормальных уравнений коррелат



 

Контроль решения:

6 · (- 0,400) + 5 · (- 0,200) + 3,4 = 0.

Следует иметь в виду, что количество запасных знаков, оставляемых при решении нормальных уравнений, зависит от точности невязок w и соответствует представленному в данном примере.

1.8.5. Решение нормальных уравнений способом квадратных корней
Достоинства этого способа по сравнению со способом Гаусса в меньшем влиянии на результаты вычислений ошибок округлений и существенном (в 1,5 раза) сокращении потребности в оперативной памяти при использовании ЭВМ.

Преобразование осуществляется по формулам:





Схема решения нормальных уравнений способом квадратных корней представлена в табл. 5 (πi = 1; r = 2).

Таблица 5

Решение нормальных уравнений способом квадратных корней



1.8.6. Решение нормальных уравнений способом обращения
Систему нормальных уравнений



умножим слева на обратную матрицу



(29)

- решение нормальных уравнений способом обращения.


1.9. Условные уравнения и весовая функция в геодезическом четырехугольнике
В геодезическом четырехугольнике (рис. 2) измерено восемь углов между сторонами и диагоналями, n = 8. Два пункта А и С - исходные (сторона АС - твердая). Пункты В и Д - определяемые. Число необходимых измерений в линейно-угловой сети равно удвоенному числу вновь определяемых пунктов, t = 2 · 2 = 4. Число избыточных измерений

r = n - t = 8 - 4 = 4.



Рис. 2. Геодезический четырехугольник

В геодезическом четырехугольнике имеют место четыре независимых условных уравнения, 3 - условных уравнения фигур и 1 - полюсное.

Условные уравнения связи.

Уравнение фигур - сумма углов плоского треугольника после уравнивания минус 180° равна нулю.

Обозначим βi = i. Для трех треугольников, например, ΔАВС, ΔАДС, ΔАВД условные уравнения фигур будут иметь вид:

1) 1 + ν1 + 2 + ν2 + 3 + ν3 + 4 + ν4 - 180° = 0;

2) 8 + ν8 + 5 + ν5 + 6 + ν6 + 7 + ν7 - 180° = 0;

3) 1 + ν1 + 2 + ν2 + 7 + ν7 + 8 + ν8 - 180° = 0.

Полюсное условное уравнение - отношение сторон, сходящихся в одной точке (полюсе) после уравнивания равно единице. Если полюс - точка А, то



По теореме синусов отношение сторон заменяют отношением синусов противолежащих углов.

Ф4 = .

Условные уравнения поправок.

Уравнения фигур имеют линейный вид. Для перехода к условным уравнениям поправок следует вычислить невязки, которые равны суммам измеренных углов в треугольнике минус 180°.

1) ν1 + ν2 + ν3 + ν4 + w1 = 0; w1 = 1 + 2 + 3 + 4 - 180°;

2) ν8 + ν5 + ν6 + ν7 + w2 = 0; w2 = 8 + 5 + 6 + 7 - 180°;

3) ν1 + ν2 + ν7 + ν8 + w3 = 0; w3 = 1 + 2 + 7 +8 - 180°.

Полюсное условное уравнение приводят к линейному виду разложением в ряд Тейлора

Ф(у1 + ν1, y2 + ν2, ┘, yn + νn) = Ф(y1, y2, ┘, yn)+ ;

Ф4 = .

Частная производная функции Ф4 по аргументу β4 (углу числителя):



Частная производная функции Ф4 по аргументу β5 (углу знаменателя):



Частная производная функции Ф4 по аргументу β2 (углу числителя и знаменателя) берется по формуле:



Пусть u = sin 2; ν = sin(2 + 3). Тогда



С учетом размерности поправок и невязки полюсное условное уравнение поправок имеет вид:



Умножив на ρ″, получают



где w4″=w4*ρ ″ .

Составление весовой функции.

Пусть

- уравненное значение стороны АВ.

Функцию приводят к линейному виду разложением в ряд Тейлора.





F = - весовая функция в линейном виде.

Разделим левую и правую части полученного равенства на f0 и умножим на ρ″ . Обозначим F/f0 = F1

- функция F1, выраженная в секундах.

- обратный вес функции F1.

- относительная средняя квадратическая ошибка стороны .

1.10. Контроль вычисления поправок vi и [pvv]
Контролируют [pνν]. Для обоснования используют формулы (7) и (13):

- условное уравнение поправок, откуда ;

- коррелатное уравнение поправок.



[pνν] = - (w1к1 + w2к2 + ┘+ wrкr);

[pνν] = - [кw] (31)

- контроль вычисления vi и [pνν].

Еще одну контрольную формулу получим для случая решения нормальных уравнений в схеме Гаусса. Если систему нормальных уравнений коррелат объединить с уравнением (31), свойство симметрии сохранится. Полученную общую систему можно решать способом последовательного исключения неизвестных.

(32)

Системе (32) соответствует следующая система преобразованных уравнений

(33)

Последнее равенство системы (33) используется для контроля [pνν].

- [pνν] = [wr+1r] = .

(34)

- контроль уравнительных вычислений в схеме Гаусса. [pνν] находят как сумму произведений чисел элиминационных строк столбца w на вышестоящие числа того же столбца. Знак "минус" отбрасывают.

1.11. Оценка точности по материалам уравнивания
1.11.1. Корреляционная матрица
Средняя квадратическая ошибка любой уравненной величины может быть вычислена по формуле

(35)

Здесь μ - средняя квадратическая ошибка единицы веса - характеризует точность измерений; 1/PF - обратный вес функции.

Полную информацию о точности и связях оцениваемых величин содержат корреляционные матрицы.

Пусть - n-мерный случайный вектор.

- корреляционная матрица вектора Х.

На главной диагонали КХ - характеристики точности, квадраты средних квадратических ошибок случайных величин (оценки дисперсий). Недиагональные элементы - характеристики связи случайных величин Xi, Xj - корреляционные моменты



Вводят - вектор математических ожиданий.

Тогда корреляционную матрицу КХ можно представить в виде:

(36)

где Х и МХ - вектора.

  1   2   3   4

Похожие:

Теория математической обработки геодезических измерений. Метод наименьших квадратов iconМетодические указания и контрольные работы №1, 2 по курсу «Теория математической обработки геодезических измерений»
Методические указания и контрольные работы №1, 2 по курсу «Теория математической обработки геодезических измерений. Раздел II. Теория...
Теория математической обработки геодезических измерений. Метод наименьших квадратов iconВопрос №4: Предпосылки метода наименьших квадратов, гомоскедастичность, гетероскедастичность, понятие о методе максимального правдоподобия
Метод наименьших квадратов — один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих...
Теория математической обработки геодезических измерений. Метод наименьших квадратов iconМетод наименьших квадратов. Регрессионный и корреляционный анализ в медицинских исследованиях
Метод наименьших квадратов используется для расчетов параметров функции заданного вида, наилучшим образом отражающую зависимость...
Теория математической обработки геодезических измерений. Метод наименьших квадратов icon25. 00. 32 «Геодезия» по физико-математическим и техническим наукам
Земли; гравиметрия; фотограмметрия; теория математической обработки геодезических измерений; организация и экономика топографо-геодезического...
Теория математической обработки геодезических измерений. Метод наименьших квадратов iconОсобенности строения фигуры Земли полностью учитываются при математической обработке высокоточных геодезических измерений и создании государственных геодезических опорных сетей

Теория математической обработки геодезических измерений. Метод наименьших квадратов iconМатематические методы обработки наблюдений
Данное пособие предназначено для студентов старших курсов астрономического отделения математико-механического факультета спбГУ. В...
Теория математической обработки геодезических измерений. Метод наименьших квадратов iconЛабораторная работа по теме: метод наименьших квадратов дисциплина «Численные методы»

Теория математической обработки геодезических измерений. Метод наименьших квадратов iconВопросы к экзамену по дисциплине «Численные методы»
Метод наименьших квадратов. Нахождение приближающей функции в виде линейной функции
Теория математической обработки геодезических измерений. Метод наименьших квадратов iconНелинейный метод наименьших квадратов
Свойства оптимальности оценки нк, доказанные в линейном случае, целиком основывались на линейности модели (5’) гл. 1 по  и на линейности...
Теория математической обработки геодезических измерений. Метод наименьших квадратов iconМетод Гаусса в математике Историческая справка
Гаусса), теории электричества и магнетизма, геодезии (разработка метода наименьших квадратов) и многих разделов астрономии
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org