Программа дисциплины «Топология ii»



Скачать 134.39 Kb.
Дата08.10.2012
Размер134.39 Kb.
ТипПрограмма дисциплины
Правительство Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский университет

«Высшая школа экономики»
Факультет математики

Рабочая программа дисциплины
«Топология II»



Направление:

010100.62 «Математика»

Подготовка:

бакалавр

Форма обучения:

Очная


Автор программы:

проф. В.А.Васильев









Рекомендована секцией УМС




Одобрена на заседании

по математике




кафедры алгебры

Председатель




Зав. кафедрой, проф.


___________________________С.К.Ландо





________________________В.А.Васильев

«_____» ______________________2009 г.




«_____» ______________________2009 г.











Утверждена УС







факультета математики







Ученый секретарь доцент








_________________________Ю.М.Бурман







«_____» ______________________2009 г.









Москва

2009

Рабочая программа дисциплины «Топология II» [Текст]/Сост. Васильев В.А.; ГУ-ВШЭ. –Москва.– 2009. – 9 с.
Рабочая программа составлена на основе государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки бакалавров Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 010100.62 «Математика».
Рабочая программа предназначена для методического обеспечения дисциплины основной образовательной программы по направлению 010100.62 «Математика».

Составитель: д.ф.-м.н. Васильев В.А. (vva@mi.ras.ru)


©

Васильев В.А., 2009.

©

Государственный университет–Высшая школа экономики, 2009.


Пояснительная записка
Автор программы: доктор физико-математических наук В. А. Васильев
Требования к студентам: для усвоения курса необходимо знакомство с коммутативной алгеброй, геометрией и топологией в объеме, проходимом на первом курсе. Некоторые разделы требуют знакомства с дифференциальным исчислением в многомерном пространстве и/или дают введение в этот материал
Аннотация.

Дисциплина «Топология II» предназначена для подготовки бакалавров по направлению 010100.62.
Курс топологии является важнейшим интегрирующим курсом в составе математических дисциплин, использующим идеи и дающим мотивировки для курсов алгебры, геометрии и анализа и объясняющим их взаимосвязь и единство.

Первый модуль (второго курса) посвящён знакомству с важными и часто используемыми топологическими структурами и инвариантами: накрытиями, расслоениями, старшими гомотопическими группами и группами симплициальных гомологий. Впервые в математических курсах вводится и используется важнейшее алгебраическое понятие цепного комплекса и его гомологий. Нарабатывается геометрическая интуиция и проводится подготовка к введению и изучению сингулярных гомологий произвольного топологического пространства. Разбираются основные понятия гомологической алгебры.
Второй модуль посвящён определению и способам вычисления сингулярных гомологий. Подробно рассматриваются клеточные пространства и клеточные гомологии, доказывается гомотопическая инвариантность групп гомологий, основные гомологические точные последовательности. На компактных многообразиях вводятся морсовские функции (лемма Морса дается без доказательства) и описываются соответствующие клеточные разбиения. Определяются группы когомологий и доказывается теорема двойственности Пуанкаре.
Третий модуль посвящён аналитическим и дифференциально-геометрическим аспектам теории гомологий, а также ее приложениям. Определяются кривизны погруженной поверхности в трехмерном пространстве и доказывается теорема Гаусса-Бонне. Эйлерова характеристика многообразия связывается с числом особых точек векоторного поля. Степень отображения интерпретируется в гомологических терминах. Доказываются занимательные результаты о существовании замечательных точек отображений: теорема Брауэра, теорема Борсука, теоремы о сэндвичах и т.п. Вводится и геометрически интерпретируется когомологическое умножение.


Цели и задачи изучения дисциплины, ее место в учебном процессе

Цель изучения дисциплины:


  • воспитание у студентов топологического мышления, умения различать алгебраические структуры в геометрических и аналитических объектах


о ознакомление с основными понятиями современной топологии и гомологической

алгебры и их приложениями

Задачи изучения дисциплины:


  • знакомство с базисными топологическими структурами – гомотопическими группами, группами гомологий, накрытиями, расслоениями, комплексами, многообразиями, клеточными пространствами, векторными полями.



  • знакомство с классическими топологическими пространствами, встречающимися во многих прикладных задачах и дающими основной запас примеров для развития топологической индуиции: двумерных поверхностей, групп Ли, проективных и грассмановых пространств, а также операций над ними.




  • освоение простейших способов топологического различения и исследования пространств, возникающих в математических, физических и прикладных задачах

Тематический план учебной дисциплины



Название темы

Всего часов по дисциплине

В том числе аудиторных

Самостоятельная работа

Всего

Лекции

Семинары

1

Гомотопические группы

18

6

3

3

12

2

Накрытия и фундаментальная группа

21

7

3

4

14

3

Гомологии цепного комплекса, их свойства

24

9

3

6

15

4

Симплициальные комплексы и симплициальные гомологии

21

7

3

4

14

5

Сингулярные гомологии, их гомотопическая инвариантность и основные свойства

24

9

3

6

15

6

Клеточные комплексы и клеточные гомологии

24

9

3

6

15

7

Комплекс Морса

21

7

3

4

14

8

Когомологии и двойственность Пуанкаре

21

7

3

4

14

9

Первая и вторая квадратичные формы поверхности, кривизна и формула Гаусса—Бонне

27

10

6

4

17

10

Векторные поля и эйлерова характеристика

21

7

3

4

14

11

Умножение в когомологиях

24

9

4

5

15

12

Прикладные задачи

24

9

3

6

15

 

Итого:

270

96

40

56

174


Формы контроля

Текущий контроль - решение задач на семинарских занятиях, 2 коллоквиума и 2 контрольные работы по темам:

  1. Фундаментальная группа накрытия и гомологии полиэдров.

  2. Гомологии комплекса Морса и индекс пересечения.

  3. Элементарная дифференциальная геометрия.


1 письменный зачёт (1-й модуль) и 1 письменный экзамен (2-й модуль).
Формула для вычисления итоговой оценки:

Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется по 10-балльной системе.
Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:

Отекущий = n1* Ок/р + n2* Окол + n3* Осам. работа

Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: правильность выполнения домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях, правильность решения задач на семинаре. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка - Осам. работа определяется перед промежуточным (итоговым) контролем.

Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑ni = 1 Способ округления накопленной оценки текущего контроля в пользу студента.
Результирующая оценка за промежуточный (итоговый) контроль складывается из результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и оценки за экзамен/зачет, удельный вес k2 = 0,5.

Опромежуточный/итоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет/экзамен

Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме зачета/экзамена в пользу студента.
Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.

Содержание программы

Тема 1. Гомотопические группы.

Повторение (с 1-го курса) фундаментальных групп. Абсолютные и относительные старшие гомотопические группы. Точная последовательность пары. Зависимость от отмеченной точки.
Тема 2. Накрытия и фундаментальная группа.

Классификация накрытий над фиксированной базой в терминах ее фундаментальной группы. Универсальное накрытие. Изоморфизм старших гомотопических групп у накрытия и его базы. Точная гомотопическая последовательность расслоения.
Тема 3. Гомологии цепных комплексов, их свойства.

Определение комплекса абелевых групп, его группы гомологий. Гомоморфизмы комплексов и индуцированные отображения групп гомологий. Замена коэффициентов. Короткая точная последовательность комплексов и длинная последовательность групп гомологий.
Тема 4. Симплициальные комплексы и симплициальные гомологии.

Гомологии симплициального комплекса. Вычисление для основных примеров. Фундаментальный класс гладкого многообразия (ориентированного, или по модулю 2).
Тема 5. Сингулярные гомологии, их гомотопическая инвариантность и основные свойства.

Определение сингулярных гомологий топологического пространства. Их поведение при отображении топологических пространств. Гомотопные отображения определяют одинаковые отображения гомологий.
Тема 6. Клеточные комплексы и клеточные гомологии.

Клеточные разбиения. Основные факты о клеточных пространствах: лемма Борсука, теорема о клеточной аппроксимации. Клеточные гомологии. Для клеточных пар относительные гомологии изоморфны абсолютным гомологиям факторпространства. Вычисления для важных примеров. Точная последовательность Майера-Вьеториса.
Тема 7. Комплекс Морса.

Лемма Морса. Существование функции Морса на компактном многообразии. Клеточное разбиение, связанное с функцией Морса. Коэффициенты инцидентности в комплексе Морса и градиентная сеть.
Тема 8. Когомологии и двойственность Пуанкаре.

Двойственные (абстрактные) комплексы. Связь между гомологиями двойственных комплексов. Двойственные комплексы Морса. Изоморфизм Пуанкаре. Индекс пересечения на ориентированном многообразии. Изоморфизм Александера и индекс зацепления. Что делать если многообразие неориентируемо?

Тема 9. Первая и вторая квадратичные формы поверхности, кривизна и формула Гаусса--Бонне.

Кривизна и кручение пространственной кривой. Индекс самозацепления неуплощающейся кривой. Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Эллиптические, гиперболические и параболические точки поверхности. Иерархия параболических точек. Гауссова и средняя кривизна. Формула Гаусса-Бонне.
Тема 10. Векторные поля и эйлерова характеристика..

Классификация особых точек векторных полей на многообразии. Индекс изолированной особой точки. Число Эйлера векторного поля как индекс пересечения. Число Эйлера равно эйлеровой характеристике.
Тема 11. Умножение в когомологиях.

Умножение в когомологиях. Интерпретация когомологического умножения на многообразии в терминах пересечений циклов. Кольцо кологмологий проективного пространства и других важных примеров.
Тема 12. Прикладные задачи.

Теорема Брауэра о неподвижной точке. Теорема Борсука о склеивании антиподов. Теоремы о разрезании сэндвичей. Несуществование отображений без сложных особых точек. Гомологические препятствия к вложимости и погружаемости многообразий.

Основная литература




Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии.–М.:Наука, 1989.



Васильев В.А. Введение в топологию.–М.: ФАЗИС, 1997.



Прасолов В.В. Задачи по топологии. – М.: МЦНМО, 2008.



Новиков С. П., Тайманов, И.А. Современные геометрические структуры и поля..–М., МЦНМО, 2005.



Прасолов В.В. Наглядная топология. – Изд. 2–е.– М.: МЦНМО, 2006.



Мищенко А.С.,Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии.–М.:Факториал, 2000..


Дополнительная литература


1.

Прасолов В.В.. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии.–М.: МЦНМО, 2004.

2.

Прасолов В.В. Элементы теории гомологий.– М.: МЦНМО, 2006.

3.

Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы.–М.: Наука, 1977.

4.

Хирш М. Дифференциальная топология.–М.:ИО НФМИ, 1999









Автор программы: _____________________________ В.А. Васильев

Похожие:

Программа дисциплины «Топология ii» iconПрограмма дисциплины «Топология ii»
Рабочая программа дисциплины «Топология ii» [Текст]/Сост. Васильев В. А.; Гу-вшэ. –Москва.– 2009. – 9 с
Программа дисциплины «Топология ii» iconРабочая программа дисциплины «Топология»
Рабочая программа дисциплины «Топология» [Текст]/Сост. Васильев В. А.; Гу-вшэ.–Москва.–2009.–12 с
Программа дисциплины «Топология ii» iconЛекция №3 Сетевая топология. Адресация. Коммутация. Сетевая топология 1 Топология физических связей 1
Термин топология может употребляться для обозначения двух понятий – физической топологии и логической топологии
Программа дисциплины «Топология ii» iconПрограмма дисциплины «дифференциальная геометрия и топология»
Одобрена на заседании кафедры геометрии, топологии и методики преподавания математики
Программа дисциплины «Топология ii» iconРабочая программа дисциплины "Геометрия и топология"
Направление подготовки 010500 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем»
Программа дисциплины «Топология ii» iconЛекции  32 часа Экзамен  нет практические(семинарские) занятия 
Топологические пространства, индуцированная топология, топология декартова произведения, топология несвязной суммы, склейки из квадрата....
Программа дисциплины «Топология ii» iconПрограмма дисциплины «топология» для студентов специальности 1-31 03 01 «Математика»
Одобрена на заседании кафедры геометрии, топологии и методики преподавания математики
Программа дисциплины «Топология ii» iconПрограмма курса дифференциальная топология и риманова геометрия
Топология, топологическое пространство. Гомеоморфизм, сравнение топологий. Открытые и замкнутые множества. Внутренность, замыкание...
Программа дисциплины «Топология ii» iconПрограмма вступительного экзамена «Математика» в магистратуру по направлению «Математика»
Топология на множестве. Открытые и замкнутые подмножества. База и предбаза топологии. Ииндуцированная топология. Непрерывные отображения...
Программа дисциплины «Топология ii» iconРабочая программа учебной дисциплины «Топология. Многообразия. Графы»
Данный курс является частью профессиональной подготовки специалистов на специальности 010400 – Физика, специализирующихся по специализации...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org