Методические указания к решению задач Санкт-Петербург Издательство спбгэту «лэти» 2007 удк 512. 64(07)



Скачать 461.39 Kb.
Дата09.05.2013
Размер461.39 Kb.
ТипМетодические указания


Федеральное агентство по образованию

___________________________________
Санкт-Петербургский государственный

Электротехнический университет «ЛЭТИ»

_______________________________________

Криволинейные и поверхностные интегралы.

Основы векторного анализа.


Методические указания

к решению задач


Санкт-Петербург

Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2007

УДК 512.64(07)

Криволинейные и поверхностные интегралы. Основы векторного анализа: Методические указания к решению задач / Сост.: Л.С. Фирсова, З.Н. Фирсова. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2006. 32с.


В данном пособии излагаются основные сведения по криволинейным и поверхностным интегралам второго рода, основам векторного анализа. Содержит примеры решения основных типов задач. Разобраны различные методы решения этих задач.

Утверждено

редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний


© СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2006

Излагаемый материал целиком опирается на общий курс высшей математики:

1. Основы векторной алгебры.

2. Теория определителей.

3. Функции нескольких переменных.

4. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.

5. Кратные интегралы.

6. Криволинейные и поверхностные интегралы 1-го рода.

Решение каждого примера в предлагаемых указаниях заканчивается ответом, который или подчеркнут, или записан отдельно.

  1. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА

    1. Векторная функция скалярного аргумента


Определение:

Если каждому численному значению t (из некоторого множества) поставлен в соответствие определенный вектор то говорят, что этот вектор является векторной функцией скалярного аргумента. Т.к. задание вектора однозначно определяется заданием его координат, то по сути речь идет о задании трех скалярных функций:

Естественно, что также является скалярной функцией от . Графически изменение вектора можно изобразить следующим образом. Будем откладывать векторы , соответствующие различным значениям t, от одной и той же точки 0 (начала). В общем случае вектор опишет некоторую кривую – т.н. годограф вектора (с полюсом 0). Кривая в пространстве обычно задается параметрически: . Ее часто записывают в виде: = , где радиус-вектор точки.

Например, уравнение окружности радиуса R в плоскости XOY можно записать в виде = ( ).

Определение:

Пределом вектора (t) назовем постоянный вектор если , что равносильно стремлению каждой координаты вектора к соответствующей координате вектора .
Последнее видно хотя бы из равенства


Определение:

Назовем векторную функцию непрерывной в точке , если определена и . Назовем непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой ее точке.

Имеет место теорема: сумма, разность, скалярное, векторное произведение непрерывных функций, а также произведение непрерывных векторной и скалярной функций являются непрерывными функциями.
Определение:

Производной векторной функции (по скалярному аргументу t ) назовем (если такой предел существует).

Нетрудно убедиться, что

Предположим . Тогда вектор направлен по касательной к годографу вектора в сторону возрастания t.

Например, пусть   траектория движения некоторой точки. Скорость движения , т.е. вектор, направленный по касательной к траектории движения (здесь t – время). Т.к. дифференцирование векторной функции равносильно дифференцированию трех скалярных функций (ее координат), то правила дифференцирования по сути те же, что и в случае скалярных функций.

    1. Скалярное поле и его основные характеристики


Определение:

Если в каждой точке P(x, y, z) некоторой (плоской или пространственной) области скалярная функция , то говорят, что в области задано скалярное поле. (Здесь = (x, y, z) – радиус-вектор точки; . Если функция U(P) не зависит от времени, то поле называют стационарным (в противном случае – нестационарным). Примером скалярных полей могут служить поля температуры, давления, освещения и т.п.

Рассмотрим, как меняется поле при переходе от одной точки к другой в заданном направлении . Зафиксируем некоторую точку , лежащую на расстоянии от точки Р. Тогда можно характеризовать как среднюю скорость изменения функции U(P) при переходе от Р к Р1 в направлении .

Определение:

Предел называется (если он существует) производной функции U(P) в точке Р в направлении .
Определение:

Вектор называется градиентом функции U и обозначается . ( - символический вектор: ) называется символом Гамильтона или вектором «набла»). Имеет место формула где   единичный вектор направления, в котором ищется производная. Очевидно, что наибольшего значения производная (скорость изменения функции) достигает в направлении, совпадающем с направлением

и равна .

Определение:

Поверхности, задаваемые уравнениями: U(x, y, z) = C (C = const) называются поверхностями уровня (равного потенциала, эквипотенциальными). В плоском случае U(x, y) = C   линии уровня.

Поверхности U(x, y, z)= C содержат те точки, в которых физическое явление протекает одинаково. Вектор (если он не нулевой) направлен по

нормам к поверхности уровня. Отсюда следует, что производная функции по направлению, касательному к этой поверхности равна нулю.

Отметим, что градиент может равняться нулю тождественно лишь в случае, когда т.е.

Разумеется, нулевое значение градиент в отдельных (особых) точках принимать может и в случае . Понятие градиента можно использовать для составления уравнений нормали и касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением f(x, y, z) = C, рассматривая это уравнение как уравнение поверхности уровня поля , (учитывая, что – перпендикуляр к поверхности).
Пример 1 Найти производную функции в точке М (1; -1; 0) в направлении к точке М1(4; -1; -4).

Решение.
; );

Ответ:

Пример 2 Найти производную функции в точке М (1;-1;-1) в положительном направлении оси абсцисс.

Решение. =(1; 0; 0) – единичный вектор заданного направления

Ответ 1.

Пример 3 Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(1; -1; 2).

Решение

Уравнения нормали:

Уравнение касательной плоскости:

2(x - 1) – 2(y + 1) – (z - 2) = 0, что равносильно 2x - 2y z - 2 = 0.

Пример 4 Найти производную функции в точке М(1;  1; 2) в направлении, образующем с осями координат углы ; ; (с осями x, y и z соответственно).

Решение. Единичный вектор заданного направления есть ; ; )

Ответ:
Пример 5 Найти наибольшую скорость изменения функции в точке М(1; 1; 1).

Решение.

Ответ:

Пример 6 Определить градиент потенциала электростатического поля, образованного точечным зарядом величины , помещенным в начало координат.

Решение.

Вектор является напряженностью электростатического поля.

Пример 7 Определить градиент так называемого центрального поля, т.е. поля (пример 6) – частный случай.

Решение.:

    1. Векторное поле.


Определение 1.

Если в каждой точке пространственной или плоской области задан вектор

(вектор-функция точки), то говорят, что в этой области задано векторное поле (или поле вектора ).

Примерами могут служить вектор скорости (поле скоростей), вектор силы тяготения (гравитационное поле), вектор напряженности (электростатическое поле) и т.п.

Определение 2. Векторной (силовой) линией поля называется кривая, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора поля.

Из этого следует: если - векторная линия поля , то векторы

и параллельны. Т.о. если

то дифференциальными уравнениями векторных линий поля будут:

Векторные линии являются некоторым графическим изображением поля.

Так, векторными линиями поля напряженности ( 2, пример 6) являются пря-

5

мые, проходящие через начало координат, в которые помещен заряд (см. пример 3)

Примеры.

1) Найти векторные линии поля - напряженность магнитного поля, образованного током, текущим вдоль оси ).

Решение:

Запишем равносильную систему

Общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид:

где - произвольные постоянные.

Т.о. векторными линиями напряженности магнитного поля являются окружности с центрами оси , лежащие в плоскостях, перпендикулярных этой оси.

2) Найти векторную линию плоского поля , проходящую

через т. (2;1).

Решение. Задача сводится к решению задачи Коши у(2)=1 для однородного дифференциального уравнения .

Ответ:

3) Найти векторные линии центрального поля

Решение: система дифференциальных уравнений имеет вид

и равносильна такой (общий множитель можно отбросить). Общее решение системы можно записать например в таком виде . Векторными линиями центрального поля всегда являются прямые, проходящие через начало координат, что вполне согласуется с тем, что сам вектор поля параллелен радиусу-вектору точки.
  1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

    1. Криволинейный интеграл второго рода.


Определение

Предположим, что в поле вектора задана некоторая кривая АВ, на которой фиксировано направление, (например от т. А к т.В) . Зададим произвольное разбиение кривой АВ на т.н. элементарные участки точками:

На каждом участке выберем произвольную точку и составим сумму

6

Здесь - единичный вектор касательной (совпадающий по направлению с тем, которое было зафиксировано на АВ) - длина участка кривой

. Будем измельчать разбиение т.о., чтобы .

Если существует конечный предел S, не зависящий ни от способа разбиения кривой, ни от выбора точек , то он называется криволинейным интегралом 2-го рода функции по кривой АВ и обозначается:

Физический смысл: предположим, материальная точка перемещается из А в В по пути АВ, вдоль которого действует сила .

Тогда равен работе силы по пути АВ. Если кривая АВ задана параметрически , то рассмотренный интеграл может быть записать в виде определенного интеграла:
( 1)
Замечание: если кривая замкнута, то интеграл называют циркуляцией вектора по кривой и часто обозначают:

Примеры: вычислить криволинейные интегралы:

а) , где отрезки прямых

Решение

Уравнения прямой можно в качестве параметра взять , тогда меняется от 0 до – 1.


Аналогичным образом найдем

Ответ: 5
б) где - часть окружности

формула от т. (1,0,1) до т. (0,1,1).

В скалярной форме интеграл можно записать следующим образом:

Учитывая, что , перепишем интеграл виде:

Окружность удобно задать параметрически:

меняется от 0 до


7

Подставляя вместо и выражения через t по формуле (1), имеем:

Ответ: 0

2) Найти циркуляцию вектора

по контуру треугольника , где в направлении . Это – просто иная формулировка задачи, равносильной 1)а. Требуется вычислить


Вычислим, например, .

Уравнение

Ответ:3

3) Вычислить

а) по дуге эллипса от ( ) до т. ( )

б) по отрезку прямой, соединяющей эти точки.

Указание: эллипс удобно задать параметрическими уравнениями:
Ответ: а) ; б) 1.
    1. Формула Грина.


Задано плоское векторное поле

L - замкнутая кусочно- гладкая кривая, ограничивающая некоторую область . Предположим, что - непрерывны в и на ее границе L.

Назовем положительным то направление обхода L, при котором область остается слева (в целом – против часовой стрелки).
Рис.

На рисунке показано положительное направление обхода. Тогда имеет место формула, связывающая криволинейный и двойной интегралы


( 2 )

8

Примеры.

  1. Область ограничена кривыми:


L

Вычислить (в положительном направлении) а) непосредственно; б) с помощью формулы Грина.
Решение а)

б)

Рис.


  1. Вычислить а) непосредственно и б) с помощью формулы Грина

, где - окружность

(обходится в положительном направлении)

Указание: для вычисления криволинейного интеграла удобно ввести параметрические уравнения окружности ( ), для вычисления двойного удобно перейти к полярным координатам.

Ответ:
3) Вычислить по части параболы

Решение

1-й способ

2-й способ. Соединим точки и отрезком прямой. Вычислим интеграл по замкнутому контуру.

Рисунок Он равен (согласно формуле Грина) двойному:

Теперь вычислим интеграл по отрезку :


Искомый интеграл равен разности полученных чисел:

9
    1. Следствия формулы Грина


Следствие 1. С помощью формулы Грина можно выразить площадь плоской области криволинейным интегралом. Действительно, пусть S – площадь некоторой плоской области .

Тогда где
Наиболее распространенными являются формулы:

Пример.

Найти площадь эллипса

Решение:

Следствие 2. Равенство равносильно тому, что по любому замкнутому контуру , что в свою очередь равносильно независимости криволинейного от пути интегрирования. С другой стороны, условие

равносильно тому, что выражение является полным дифференциалом некоторой функции . Т.о. с помощью криволинейного интеграла можно проинтегрировать дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. Напомним, что общим решением такого ( ) уравнения является ( -произвольная постоянная), где

Имеем:

Здесь ( ) – произвольная точка или точка, через которую проходит искомая интегральная кривая, если решается задача Коши. (Естественно , в т. ( )

Функции и должны быть непрерывны.

Примеры.

  1. Найти общее решение уравнения:


Решение:

Убедимся, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах:

Функции непрерывны всюду, поэтому в качестве точки ( ) можно взять любую, например точку (0,0). Точку, в которой

10

заканчивается путь интегрирования, обозначим пока ( ), чтобы не перепутать с переменными интегрирования).

Криволинейный интеграл

Не зависит от пути интегрирования. Проще всего составить из двух отрезков прямых, на каждом из которых одна из переменных ( или ) интегрирования сохраняет постоянное значение (тогда соответствующий интеграл окажется равным нулю).

Итак, проведем интегрирование по частям , где и – отрезки прямых

Т.о. (с точностью до постоянного слагаемого) мы определим функцию , т.что и общим решением уравнения является (частное с начальным данным есть

.

  1. Решить задачу Коши


Решение

Искомое частное решение :


    1. Поток вектора через поверхность


Предположим, что в поле вектора задана некоторая двусторонняя поверхность и в каждой точке поверхности задан единичный вектор нормали , являющийся непрерывной функцией точки. (Поверхности, не удовлетворяющие этому условию, мы просто не рассматриваем).

Определение.

Поверхностный интеграл (по площади поверхности)

назовем потоком вектора через поверхность (в направлении нормали или поверхностным интегралом 2-го рода). Для иллюстрации физического смысла потока рассмотрим такой пример.

Предположим, что через некоторую плоскую площадку площади

протекает жидкость со скоростью . Тогда объем жидкости, протекающей через площадку в единицу времени, равен ,

где - единичный вектор нормали к площадке, составляющей острый угол с вектором .
11

Если вектор заменить на противоположный (равный ), то получится тот же объем, взятый со знаком “ – “ . Если предположить, что

, то через площадку вообще не протекает жидкость, а в введенном в определении интеграле скалярное произведение .

Т.о. если вектор представляет скорость жидкости, то поток вектора

через поверхность дает количество жидкости, протекающей сквозь поверхность за единицу времени.

Поверхностный интеграл 2-го рода есть в сущности интеграл 1-го рода, но специального вида.

Если

то ( 3)

Вектор составляет острый угол с осью z ( его проекция на ось z равна 1), и поток вектора через поверхность, проектирующуюся на плоскость XOY в область D, может быть вычислен двойным интегралом по формуле:

(5)

При этом интеграл берется со знаком «+», если заданная нормаль составляет острый угол с осью z, со знаком «-», если тупой. Если же нормаль перпендикулярна к оси z, то как известно из аналитической геометрии, ее уравнение не содержит переменной z и не может быть задано уравнением . Предположим, например, что поверхность задана уравнением . Имеем Параметрами теперь, являются и . Вектор , и формула (4) примет вид:

(6),

где D –проекция поверхности на плоскость xoz. Интеграл берется со знаком «+» или «-» в зависимости от того, острый или тупой угол составляет заданная нормаль с осью y (быть перпендикулярной к оси y она уже, естественно не может). Заметим, что (т.к. проекция на ось z равна 0) поток любого вектора вида через такую поверхность ( нормаль перпендикулярна оси z) равен потоку вектора через ту же поверхность.

Запишем формулу (5) в скалярной форме:

Теперь, вернемся к примеру 1, рассмотренному выше, и решим его с помощью формулы (6) (второй способ).

Имеем: ,

,

,

где D- круг на плоскости xoy: . Перейдем к полярным координатам:

.

Применим формулу (6) для вычисления потока вектора через некоторую поверхность (с фиксированной стороной), заданную уравнением . Имеем:

(7)

Здесь (двойной интеграл по проекции D поверхности на плоскость xoy, - нормаль к поверхности, в направлении которой ищется поток, - орт на оси z.

Если поверхность задается уравнением (или ), а вектор имеет вид (или ), то формула (7) преобразуется соответствующим образом. Учитывая

, что поток вектора равен сумме потоков векторов и , запишем поверхностный интеграл второго рода в виде:

(8)
Предположим, что поверхность (через которую ищется поток) задана параметрически:

(

или . Покроем поверхность т.н. координатными линиями: u = const и v = const . Векторы и - касательные к этим линиям.

(Мы предполагаем, что не обращается в ). Тогда вектор

формула

где - вектор, входящий в подынтегральную функцию.

Напомним, что в этом случае (т.е. когда поверхность задана параметрически), поверхностный интеграл выражается через двойной по области ( u, v ) по формуле


8888888888888888888888888815

    1. Формула Остроградского-Гаусса



Поверхностный интеграл через замкнутую поверхность S часто обозначают так:

Имеет место теорема: пусть V – пространственное тело, ограниченное замкнутой гладкой поверхностью S . На поверхности выбрана нормаль

, являющаяся внешней по отношению к V. Вектор = ( X, Y, Z ) такой, что его координаты X, Y, Z - непрерывные вместе с первыми

(частными) производными в области V и на его границе S . Тогда

( 8 )
Выражение называется дивергенцией поля

и обозначается (Символический вектор введен в

2).

Примеры.

1) Найдем поток вектора через внешнюю сторону поверхности (см. 6 ) с помощью формулы Остроградского-Гаусса ( ).

Для этого сначала “ замкнем” поверхность плоскостью z=0. Поток через замкнутую поверхность равен

Перейдя к сферическим координатам, имеем:


Теперь найдем поток этого же вектора через плоскую область z=0, . Нормаль перпендикулярна осям х и у , поэтому остается вычислить интеграл


(поверхностный) (двойной)

Искомый поток равен

2) Найти поток вектора

через внешнюю сторону поверхности цилиндра : .

Решение


Имеем: , поэтому .

Угол - острый там, где тупой, если .

.

При этом проекции обеих частей поверхности

на плоскость Y0Z совпадают (обозначим их ).

Аналогично меняется угол при изменении , (проекцию на плоскость X0Z обозначим )

В результате имеем:


- прямоугольник.

Ответ:

3). Найти поток вектора

через внешнюю сторону поверхности .

Решение: заметим, что , следовательно поток вектора

через любую замкнутую поверхность, равен нулю. Значит, если мы “замкнем” любой поверхностью данную поверхность, то весь поток будет равен , где - поток в направлении ( - заданное направление нормали). Значит, если , мы можем искать поток через любую (по крайней мере, гладкую) поверхность, “натянутую” на кривую . Проще всего, “натянуть” плоскость z= 0. Поток вектора через заданную в условии поверхность в направлении равен потоку того же вектора в направлении через плоскую площадку. Т.к. , искомый поток равен двойному интегралу:

.


15

Следствия формулы Остроградского-Гаусса.

1. Если (в этом случае поле называется соленоидальным), то поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю.

2. Если в поле вектора имеется изолированный источник или сток в одной точке M, а в остальных точках , то поток вектора через замкнутую поверхность, содержащую внутри себя точку М, не зависит от формы поверхности.
  1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ.

    1. Дивергенция (новое определение)


Дивергенция (расходимость) векторного поля является очень важной характеристикой поля. Чтобы выяснить физический смысл понятия, построим другое ( по сравнению с данным в 8 ) его определение. Пусть задано поле вектора , причем - непрерывная скалярная функция точки. Чтобы определить значение в конкретной точке М, поместим эту точку в некоторый объем V , ограниченной гладкой поверхностью S . По формуле Гаусса-Остроградского имеем:

К тройному интегралу мы применили теорему о среднем. Точки


Будем стягивать объем V в точку М:


Из полученного определения видно, что сама величина не зависит от выбора системы координат. Проводя аналогию с течением жидкости, заметим: если , то поток вектора через замкнутую поверхность направлен наружу, что означает наличие внутри объема источников векторного поля. Если же , то поток вектора направлен внутрь, что означает наличие источников вне тела. Естественно, в общем случае знак внутри тела может меняться, сам же поток вектора через замкнутую поверхность характеризует суммарную мощность распределенных в объеме источников и стоков.

    1. Формула Стокса.


Определение.

Пусть

векторная функция. Вектор:

Назовем ротором (вихрем) вектора (если, конечно, записанные в формуле производные существуют).

Отметим, что с помощью символического вектора ротор может быть записан в виде, более простом для запоминания:

Предположим, в пространстве имеется гладкая поверхность S с кусочно-гладким краем – замкнутым контуром L.

Функция непрерывно дифференцируемая в некоторой пространственной области, содержащей S и L . Направление обхода контура L считаем согласованным, с ориентацией S . Поясним смысл этой согласованности.

Вообразим наблюдателя, стоящего на поверхности головой по направлению нормали. Приблизим его к контуру L . Движение по контуру должно происходить таким образом, чтобы поверхность оставалась слева.
Имеет место формула (Стокс)

( 9)

17

Отметим, что формула Грина (см. 5) является частным случаем формулы Стокса: достаточно положить в формуле Стокса , в качестве S взять плоскую область, ограниченную замкнутой кривой.

Примеры.

Найти поток , где через внешнюю сторону поверхности , ограниченной плоскостями (непосредственно и с помощью формулы Стокса).

Решение.

1).Ищем поток

2). Находим циркуляцию , т.е. тот же поток, но с помощью криволинейного интеграла:

Интегрирование производится от точки (1,0,0) до очки (-1, 0, 0 ).

Интегрирование производится от точки (-1,0,0) до точки (1,0,0). Для вычисления последнего интеграла введем параметрические задания окружности: x = cost, y = sint, t меняется от до 0:


2. Найти поток , где через внешнюю сторону поверхности

Решение:

Можно , конечно искать поток через заданную поверхность. Но ведь

можно “натянуть” на контур любую другую поверхность. Проще всего “натянуть” плоскость z = 0 ( S ) (нормаль совпадает с вектором , чтобы была согласованность обхода контура с выбранной стороной).


Следствия формулы Стокса.

1) Т.к. поток не зависит от вида поверхности S , по которой берется поверхностный интеграл, то поток через замкнутую поверхность равен нулю.

2) Если в некоторой части векторного поля , то циркуляция вектора по любому замкнутому контуру равна нулю, т.е. криволинейный интеграл по пути, соединяющим две точки, не зависит от пути.

Верно также и то, что если циркуляция вектора по любому замкнутому контуру равна нулю, то . Это равносильно и тому, что дифференциальное выражение X(x,y.z)dx + Y(x,y,z)dy + Z(x,y,z)dz является полным дифференциалом некоторой функции U(x,y,z). Для нахождения ее ( с точностью до постоянного слагаемого) можно вычислить криволинейный интеграл:

(9)

    1. Ротор векторного поля.


(Новое определение)

Формула Стокса позволяет получить определение ротора, не зависящее от выбранной системы координат. Зафиксируем некоторую точку М в пространстве, построим произвольный единичный вектор с началом в точке М . Построим плоскую площадку площади перпендикулярно . Пусть контур этой площадки. Согласно формуле Стокса имеем:

Если к последнему интегралу применима теорема о среднем, то

где . Разделим правую и левую части равенства на площадь и, стягивая в точку М , перейдем к пределу

Т.о. проекция ( есть проекция на единичный вектор ) ротора, а, следовательно, и сам ротор не зависит от выбора системы координат.

Для иллюстрации смысла понятия ротора, рассмотрим вращательное движение материальной точки с угловой скоростью вокруг некоторой оси. Из механики известно, что линейная скорость точки есть , где -радиус вектор точки.

Пусть . Тогда непосредственным подсчетом получим .


    1. Потенциальное поле


Определение 1. Поле вектора называется потенциальным, если есть нулевой вектор. Как уже было отмечено, последнее утверждение равносильно тому, что выражение

Xdx+Ydy+Zdz является полным дифференциалом некоторой (скалярной ) функции u(x,y,z), что в свою очередь означает :

, т.е

Определение 2. Функция U, такая что , называется потенциалом поля .

Имея в виду физический смысл циркуляции, можно дать такое определение потенциального поля: поле называется потенциальным, если работа поля вдоль любой замкнутой кривой равна нулю. Для нахождения потенциала можно использовать формулу (9). Потенциал определяется с точностью до постоянного слагаемого (если же его значение в какой-либо точке известно, то он определяется однозначно).

20

Пример: показать, что поле вектора потенциально и найти его потенциал .

Решение: (проверяется непосредственным подсчетом)

Интеграл не зависит от пути интегрирования, составим этот путь из отрезков прямых, соединяющих точки (0,0,0) (Х,0,0) (Х,У,0) (Х,У,Z) (аналогично тому, как подобная задача решалась в плоском случае см. 6). Пусть отрезки соединяют точки : .

Имеем

Ответ: потенциалом поля является функция u(x,y,z) = xyz + const

Пример 2.

Показать, что потенциально и найти его потенциал. Убедившись, что , найдем функцию u(x,y,z) из условия

Здесь можно обойтись без криволинейного интеграла, т.к. при любом t.

Т.о.

    1. Соленоидальное поле


Определение 1.

Поле называется соленоидальным в некоторой области, если в каждой точке этого поля существует и .

Как нам уже известно, поток соленоидального поля через любую замкнутую поверхность равен 0 (см. ). Проведем в соленоидальном поле

некоторую замкнутую кривую . Через каждую точку этой кривой проведем векторные линии поля (см. ). Полученная поверхность носит название векторной трубки. Построим два произвольных сечения трубки и . Получим замкнутую поверхность. Поток через образованную т.о. поверхность равен нулю. Поток через боковую поверхность трубки тоже равен нулю, т.к. вектор лежит в касательной плоскости к этой поверхности и следовательно .

Имеем

Если же нормаль направить на обоих сечениях трубки в одну сторону, то мы убедимся, что потоки вектора через любые сечения векторной трубки одинаковы. Величина этого потока называется напряжением векторной трубки.

Определение 2.

Вектор такой, что , называется векторным потенциалом соленоидального поля.

Пример. Найти условия, при которых центральное поле, т.е. поле вектора

( -дифференцируемая функция) соленоидально.

Решение.

Имеем ,

Аналогичным образом выразим остальные производные.

В результате имеем:

Условие соленоидальности поля есть дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Разделяя переменные , имеем общее решение: , где С- произвольная постоянная. Т.о. поле вида является соленоидальным всюду, за исключением начала координат ( ). Поток такого поля через любую поверхность, не содержащую начала координат, равен нулю. Поток поля через поверхность, внутри которой находится начало координат, не зависит от вида поверхности.

    1. Оператор “набла”. Дифференциальные операции второго порядка.


Символический дифференциальный вектор “набла” (или оператор Гамильтона) имеет (в декартовых координатах) вид:

Мы уже использовали его в предыдущих параграфах для записи основных характеристик полей

Конечно, самостоятельного смысла оператор не имеет (как, впрочем любой оператор) рассматривается в комбинации с вектором или скаляром. Однако, используя его, легче запомнить многие свойства полей: как символ вектора он сохраняет свойства вектора в операциях сложения и умножения, как символ производной – в операциях дифференцирования.

Нахождение градиента, дивергенции, ротора называются операции первого порядка. Последовательное применение двух из перечисленных операций называют операциями второго порядка.

Вспомним уже известные формулы:

1) формула. С помощью символа это равенство запишется так (сравним с векторным произведением двух параллельных векторов.

2) (ср. со смешанным произведением компланарных векторов).

Теперь запишем некоторые известные свойства полей, о которых не говорилось ранее. (В скобках эти свойства записаны с помощью символа ).

Оператор называется оператором Лапласа.

(Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа: , называются гармоническими)

- ср. с двойным векторным произведением).


Примеры.

Замечание: многие однотипные примеры сознательно сформулированы по-разному (найти работу поля, найти циркуляцию вектора или вычислить криволинейный интеграл; аналогично обстоит дело с поверхностными интегралами).

Пример 1. Определить точки в которых градиент поля

а) перпендикулярен оси абсцисс б) равен нулю

Ответ: а) на параболе б) в точках (0;0) и (1;1)
Пример 2. Найти градиент поля где – дифференцируемая функция

Ответ:

Пример 3. Найти градиент поля , где - некоторый постоянный вектор

Ответ:
Пример 4. Найти , где - дважды дифференцируемая функция.

Ответ:

Пример 5. Найти такую функцию , чтобы поле вектора было соленоидальным.

Ответ: , где -произвольные постоянные.

Пример 6. Найти производную функции в точке (1;1) в направлении к точке (2;2).

Ответ: .

Пример 7. Найти производную функции в точке (1;1;1) в направлении, образующим с осями координат углы соответственно.

Ответ:

Пример 8. Найти производную функции в направлении ее градиента.

Ответ:

Пример 9. Даны две дифференцируемые функции а) Написать выражение производной функции по направлению градиента б) При каких условиях эта производная обращается в ноль?

Ответ: а) б) .
Пример 10. Доказать, что ( где , - дифференцируемые функции).

Пример 11. Найти векторные линии плоского поля

Ответ: , где - произвольная постоянная.

Пример 12. Найти векторную линию плоского поля , проходящую через точку (1;-1).

Ответ: .
Пример 13. Найти векторные линии поля .

Ответ: линии пересечения поверхностей: , где - произвольные постоянные.
Пример 14. Найти циркуляцию плоского вектора по контуру окружности , обходимой в положительном направлении.

Ответ:

Указание: имеет смысл задать окружность параметрически: .
Пример 15. Вычислить , где L- окружность , проходимая в положительном направлении. Предлагается решить эту задачу двумя способами: а) непосредственно б)преобразовав данный интеграл в двойной с помощью формулы Грина.

Ответ: .

Пример 16. Та же задача, что и в предыдущем примере для , где L – контур, состоящий из двух кривых: .

Ответ: 0,5.

Пример 17. Найти работу силы по отрезку прямой, соединяющей точки А(1;0;-1) и В(1;1;-2) (отА к В)

Ответ: 9.

Пример 18. Показать, что перечисленные ниже интегралы, взятые по замкнутому контуру L в положительном направлении равны k S, где k- некоторый коэффициент. ( свой для каждого интеграла), S-площадь области, ограниченной контуром L. (найти значение k в каждом случае)
а)

б)

в)

( - произвольное число; - непрерывные функции на L).

Ответ: а) k=-1 б) k=2 в) k=1.
Пример 19. Восстановить функции по полным дмфференциалам (предварительно убедившись, что заданные выражения действительно являются полными дифференциалами некоторых функций).

а) ; б) .

Ответ: а) б)

(в обоих случаях С- произвольная постоянная)
Пример 20. Подобрать число а так, чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции. Найти эту функцию.

Ответ: .

Пример 21. Вычислить с помощью криволинейного интеграла площади фигур, ограниченных замкнутыми линиями (аналогично тому, как была найдена площадь эллипса):

а) астроидой

б) кардиоидой .

Ответ: а) б) .

Пример 22. Вычислить . где – внешняя сторона куба:

Замечание: если воспользоваться формулой Остроградского-Гаусса, то ответ «виден» сразу, т.к. ,а объем куба равен 1. Для тренировки имеет смысл найти данный интеграл каким-либо иным способом.

Ответ: 3.
Пример 23. Вычислить , где -внешняя сторона сферы .

Ответ: .

Пример 24. Найти поток вектора через внешнюю сторону часnи поверхности конуса .

Ответ: .

Пример 25. Найти поток через часть плоскости , ( нормаль составляет острый угол с осями). Решить задачу двумя способами: с помощью формулы Стокса и непосредственно.

Ответ: -1.

Пример 26. Показать, что поле вектора потенциально, и найти его потенциал .

Ответ: (С произвольная постоянная).

Список литературы

  1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: В 2 ч. М.: Айрис Пресс, 2004.

  2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 ч. М.: Высш. Шк., 1996.

Оглавление





Похожие:

Методические указания к решению задач Санкт-Петербург Издательство спбгэту «лэти» 2007 удк 512. 64(07) iconУчебное пособие Санкт-Петербург Издательство спбгэту «лэти» 2004 ббк чг11
Охватывают центральные районы Европейской России, где сохранялась Советская власть
Методические указания к решению задач Санкт-Петербург Издательство спбгэту «лэти» 2007 удк 512. 64(07) iconМетодические указания Санкт-Петербург 2006 удк 669. 041
Методические указания предназначены для студентов 5 курса химико-технологических специальностей и соответствуют рабочей программе...
Методические указания к решению задач Санкт-Петербург Издательство спбгэту «лэти» 2007 удк 512. 64(07) iconМетодические указания и задачи для студентов Санкт-Петербург 2007

Методические указания к решению задач Санкт-Петербург Издательство спбгэту «лэти» 2007 удк 512. 64(07) iconМетодические указания для студентов дневной формы обучения инженерных специальностей Санкт-Петербург 2008 удк 947 Гуркин А. Б., Потехина И. П. Культурология: Методические указания. Спб.: Спбгти (ТУ), 2008. 30 с
Методические указания предназначены для студентов I курса I-VI и VIII факультетов дневной формы обучения, изучающих культурологию,...
Методические указания к решению задач Санкт-Петербург Издательство спбгэту «лэти» 2007 удк 512. 64(07) iconИсследование элементов и синтез систем автоматического управления методические указания
Электромеханические системы", "Технические средства систем управления", "Локальные автоматические системы" / Сост.: С. Н. Гайдучок,...
Методические указания к решению задач Санкт-Петербург Издательство спбгэту «лэти» 2007 удк 512. 64(07) iconМетодические указания к решению задач начертательной геометрии
Методические указания предназначены для студентов всех специальностей направления 654600 "Информатика и вычислительная техника",...
Методические указания к решению задач Санкт-Петербург Издательство спбгэту «лэти» 2007 удк 512. 64(07) iconИсследование элементов систем управления
Исследование элементов систем управления: Методические указания к лабораторным работам по дисциплине "Элементы и устройства автоматических...
Методические указания к решению задач Санкт-Петербург Издательство спбгэту «лэти» 2007 удк 512. 64(07) iconМетодические указания по решению задач по астрономии и оформлению отчета для участия в заочном туре
Методические указания предназначены для учащихся 8-11 классов участников заочного тура
Методические указания к решению задач Санкт-Петербург Издательство спбгэту «лэти» 2007 удк 512. 64(07) iconМетодические указания Санкт-Петербург 2012
...
Методические указания к решению задач Санкт-Петербург Издательство спбгэту «лэти» 2007 удк 512. 64(07) iconУчебно-методическое пособие для слушателей идпо издательство Тюменского государственного университета 2007 удк 512. 64 (075. 8)
Охватывают важнейшие понятия, разделы «математической экономики», «финансовой математики»
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org