Аксиомы кольца, аксиомы поля. Примеры колец и полей (поле из двух элементов)



Скачать 140.43 Kb.
страница1/3
Дата10.05.2013
Размер140.43 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3
Аксиомы кольца, аксиомы поля. Примеры колец и полей (поле из двух элементов).

Пусть R - непустое множество. В R введены 2 операции: сложение и умножение. Эти операции бинарны: +: , ,

Аксиомы кольца: Множество R с операциями «+» и «*» называется кольцом, если выполняются аксиомы. Аксиомы сложения:

  1. (a + b) + c = a + (b + c), (Ассоциативность сложения).

  2. a + b = b + a, (Коммутативность сложения).

  3. .

  4. , - противоположный к a элемент (существование противоположного элемента).

Аксиома умножения:

5. , (Ассоциативность умножения).

6. (Дистрибутивность сложения и умножения).

Дополнительные аксиомы:

7. . Аксиома единицы

Если в кольце R выполняется 8., то R – коммутативное кольцо.

Примеры:

1) .

«+»: ;

«*»: ,

Z – коммутативное кольцо с единицей, т.к. выполняется 1 – 8.

2) Q,R – коммутативные кольца с единицей.

3) . Определены операции сложения и умножения матриц, 1 – 6 выполняются в силу свойств этих операций - кольцо. 7 – выполняется, т.к. E является единицей кольца. 8 вообще говоря не выполняется для . некоммутативное кольцо с единицей.

4) множество чисел, gif" name="object20" align=absmiddle width=231 height=18>. 1 – 6 выполняются, кольцо, 8 – выполняется - коммутативное кольцо. 7 - ? Пусть mk, () – единица в mZ, тогда , но 1 не кратна m, если , то mZ не имеет единицу.

Аксиомы поля:

Z - коммутативное кольцо с единицей, Q,R – тоже. Отличие: в Z не для всякого ненулевого элемента есть обратный из этого кольца. Но для Q,R условие обратимости ненулевых элементов выполняется.

Определение: Поле – коммутативное кольцо с единицей, отличной от 0, в котором всякий ненулевой элемент обратим, т.е. выполняется 9 – аксиома поля:

. Всего существует 9 аксиом поля. Примеры полей: Q,R.

Пример2: Пусть k – поле, тогда по определению: (число элементов).

, + и * задаются таблицами:

поле, состоящее из 2 – х элементов. Существует ли поле из 6 - элементов.

Поле комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа: сложение, умножение, деление комплексных чисел.

(действительных корней нет), мнимая единица, т.е. .

Определение: Полем комплексных чисел называется минимальное поле, содержащие все действительные числа и мнимую единицу .

Структура поля комплексных чисел. Обозначение C.

Рассмотрим множество: Т.к. C – поле и (по определению) и - тоже, значит числа вида . Если докажем, что - поле, то - поле, содержащее и все действительные числа, т.к. , тогда в силу минимальности C получим, что .

Цель: доказать , что - поле, откуда, .

Теорема: поле.

Док-во: Введём в операции сложения и умножения чисел:



(Мотивировка правила умножения). .

.

Проверим выполнение аксиом 1-9 поля:

1.

Ассоциативность сложения выполняется..

2. .

3. .

4. , то в качестве противоположного . Все аксиомы сложения выполнены.

5.

6.



7. - единица в .

8. (в силу определения операции умножения), т.е. - коммутативное кольцо с единицей.

9. Пусть одновременно. т.к.



Итак, если .

Любой ненулевой элемент обратим в аксиома поля выполнена, поле. ЧТД.

Комплексное число: - алгебраическая запись числа называется действительной частью: называется мнимой частью: .

Извлечение квадратного корня из комплексного числа в алгебраической форме.



Сопряжённое комплексное число и его свойства.

Пусть . Тогда число вида называется сопряжённой к данному числу , т.е.

симметричны относительно оси Re.

Свойства сопряжённого комплексного числа:

1.

2. (с точностью до ).

3.

4. .

5. .

6. .

7. .

Изображение комплексных чисел на плоскости, модуль и аргумент комплексного числа.

, то z изображается точкой на плоскости с координатой (a , b).

Пусть z – комплексное число. Определение: Модулем числа z называется длина радиус вектора точки, изображающей данное число z. Обозначение: .

Модуль комплексного числа – корень квадратный из суммы квадратов его действительной и мнимой части.

Определение: Аргументом числа z называется угол (ориентированный) между радиус-вектором точки, изображающей комплексное число z и положительное направление действительной оси. Обозначение: . Аргумент определяется неоднозначно, а именно с точностью до слагаемых вида

Тригонометрическая форма комплексного числа: умножение и деление чисел в тригонометрической форме.

Пусть тогда - проекция на ось . проекция на ось Im =

(алгебраическая запись), то .



.



Обратно: (длина вектора).

Однозначно угол определяется, если по знакам Rez и Imz указать четверть, в которой находится



Умножение и деление КЧ в тригонометрической форме:

  1. Задача: Найти: , если .

Решение:

.



Условие равенства КЧ:

А) .

Б)

Сравнивая записи для получаем, что

.

Правило умножения КЧ:

При умножении КЧ модули перемножаются, а аргументы складываются.

II.



С другой стороны: , тогда
  1   2   3

Похожие:

Аксиомы кольца, аксиомы поля. Примеры колец и полей (поле из двух элементов) iconАксиоматическая теория множеств
Наследственно конечные множества – интерпретация, в которой истинны все аксиомы, кроме аксиомы бесконечности
Аксиомы кольца, аксиомы поля. Примеры колец и полей (поле из двух элементов) iconБинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение на классы, фактор-множество
Поле. Простейшие свойства поля. Поле рациональных чисел. Примеры полей. Упорядоченное поле. Система действительных чисел
Аксиомы кольца, аксиомы поля. Примеры колец и полей (поле из двух элементов) icon«Аксиомы стереометрии и некоторые следствия из них» Вопросы. Три аксиомы стереометрии: сформулировать аксиомы
...
Аксиомы кольца, аксиомы поля. Примеры колец и полей (поле из двух элементов) iconТеория колец-2
Определения кольца, левого (правого) модуля над кольцом, левого (правого, двустороннего) идеала кольца. Теорема о гомоморфизме для...
Аксиомы кольца, аксиомы поля. Примеры колец и полей (поле из двух элементов) iconВопросы к коллоквиуму №1 для специальности дс за III семестр
Поле и вещество – две основные формы существования материи. Электричес-кое поле. Напряженность электрического поля. Суперпозиция...
Аксиомы кольца, аксиомы поля. Примеры колец и полей (поле из двух элементов) iconС. В. Попов об устранимости аксиомы индукции
Попов С. В. Об устранимости аксиомы индукции. Препринт Института прикладной математики им. М. В. Келдыша ран. Москва, 2005г
Аксиомы кольца, аксиомы поля. Примеры колец и полей (поле из двух элементов) iconСписок вопросов
События, операции над событиями. Вероятность, аксиомы вероятности, вероятностное пространство. Примеры
Аксиомы кольца, аксиомы поля. Примеры колец и полей (поле из двух элементов) iconТема Примеры структур
Определение структуры, в частности группы, кольца, поля. Определение подструктуры, в частности подгруппы, подкольца, подполя, и соответственно...
Аксиомы кольца, аксиомы поля. Примеры колец и полей (поле из двух элементов) iconПрограмма вступительного экзамена в аспирантуру по специальности 05. 13. 19 «Методы и системы защиты информации, информационная безопасность»
Линейная алгебра. Понятия группы, кольца, поля, их основные свойства. Основы теории конечных полей. Кольца вычетов. Кольцо многочленов...
Аксиомы кольца, аксиомы поля. Примеры колец и полей (поле из двух элементов) iconИсследование электростатического поля 301 Цель работы Изучение картины электростатического поля
Электростатическое поле в вакууме. Основные характеристики электростатического поля. Графическое изображение стационарных электрических...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org