Аксиомы кольца, аксиомы поля. Примеры колец и полей (поле из двух элементов)



Скачать 140.43 Kb.
страница2/3
Дата10.05.2013
Размер140.43 Kb.
ТипДокументы
1   2   3
.



Правила деления: Модуль частного КЧ равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент частного есть разность аргументов делимого и делителя.

Формула Муавра.

Теорема: Пусть , тогда (если , то ) - формула Муавра.

Док-во:

1) , то .

Левая часть формулы Муавра: .

2) Пусть любое. Применим ММИ по n.

а) n = 1, то , т.е. формула верна.

Б) Пусть при n = k формула Муавра верна.

В) n = k + 1.



т.е. формула верна при n = k + 1, значит при всех .

3) n – отрицательный, т.е. , где

ЧТД.

Извлечение корня n-й степени из комплексного числа.

Определение: Число называется корнем й степени из КЧ z, если . Другими словами, найти все корни степени n из z – это значит, что необходимо решить уравнение .

Теорема: Существует ровно n корней степени n из КЧ , где , где (gif" name="object145" align=absmiddle width=148 height=22> обычный арифметический корень из положительного числа r).

Док-во: Будем искать решение уравнения в виде , ( надо определить).

Тогда - формула Муавра. По условию: . Используем условия равенства КЧ в тригонометрической форме:

( положительное число, как модуль). .

Итак, любой корень уравнения имеет вид: . Докажем, что среди только n различных чисел.

  1. Покажем, что различны. Предположим, что , если , т.е.



Но , т.к. .

Среди чисел - нет ни одного, которое делится на n.

получено противоречие. Значит - различные числа.

II. Покажем, что для произведения целого k совпадает с одним из чисел . Разделим k на n с остатком, т.е. , где

[остаток]< n – 1.



т.е. числа исчерпывают все корни степени n из z. ЧТД.

Замечание: Все корни степени n из z имеют один и тот же модуль находятся на окружности данного радиуса. Аргументы 2 – х соседних корней, т.е. отличаются на (n – ная часть угла полного поворота). Это означает, что корни находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в данную окружность.

Корни из единицы и их свойства.

Определение: Решением уравнения называется корнями n – ной степени из 1.



обозначение.

Корни n – ной степени из 1 изображаются вершинами правильного n – угольника, вписанного в единичную окружность с вершиной (1; 0).

Лемма:

А) Произведение корней n – ной степени из единицы – это корень n – ной степени из 1.

Б) Обратный элемент к корню n – ной степени из 1 – корень n – ной степени из 1.

В) Целая степень корня n – ной степени из 1 – корень n – ной степени из единицы.

Док-во:

А) корни степени n из 1, т.е. .

.

По определению корень степени n из 1.

Б) z – корень n – ной степени.



корень n – ной степени из 1.

В)



Т.е. корень n – ной степени из 1.

Замечание: Если - корни n – ной степени из 1, то , т.к.

Т.е. все корни n – ной степени из 1 можно представить как степени .

Первообразные корни, критерий первообразности корня.

Определение: Корень n – ной степени из 1 называется первообразным, если любой другой корень n – й степени из 1 можно представить в виде целой степени этого корня из 1.

В частности , является первообразным корнем степени n из 1, .

Примеры:



Т.е. - не является первообразным. - первообразный.

. Все корни 3 – й степени есть степени степени , значит - первообразный.



первообразные, не являются первообразными.

.

не первообразные, первообразные.

Таблица первообразных корней:



Теорема (Критерий первообразности корня из 1.):

Корень n – ной степени из 1: является первообразным тогда и только тогда, когда НОД (k, n) = 1, т.е. взаимно прост с n.

Док-во:

  1. Пусть - первообразный, пусть d = НОД (k, n). - целый показатель.

, т.е. остальные степени будут совпадать с уже выписанными.

различных степеней . Но по условию, - первообразный , значит имеет ровно n различных степеней.

, но НОД , т.е. k и n взаимно просты.

  1. Пусть НОД (k, n) = 1.

Докажем, что имеет не менее n различных целых степеней. Рассмотрим множество: . Покажем, что все элементы этого множества различны: , где .



. Но тогда и только тогда, когда N кратно n, т.е. k (m - l) делится на n, но k и n взаимно просты делится на n.



m – l кратно , т.е. m – l = 0, значит m = l.

Итак, все элементы множества различны. По лемме все эти элементы являются корнями n – й степени из 1, т.е. любой корень n – й степени из 1 является целой степенью .

- является первообразным. ЧТД

Экспонента комплексного числа. Формула Эйлера. Экспоненциальная форма комплексного числа.

- КЧ.

Сходимость в C.

Определение: Говорят, что последовательность КЧ сходится к КЧ z (или ), если .

- окрестность точки z. Это круг без границ, с центром в точке z, радиуса .

Утверждение 1: Число является пределом последовательности тогда и только тогда, когда .

Док-во:

1 – й шаг (Оценки)



Аналогично:

2. Сравним квадраты:



2 – й шаг: Пусть
1   2   3

Похожие:

Аксиомы кольца, аксиомы поля. Примеры колец и полей (поле из двух элементов) iconАксиоматическая теория множеств
Наследственно конечные множества – интерпретация, в которой истинны все аксиомы, кроме аксиомы бесконечности
Аксиомы кольца, аксиомы поля. Примеры колец и полей (поле из двух элементов) iconБинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение на классы, фактор-множество
Поле. Простейшие свойства поля. Поле рациональных чисел. Примеры полей. Упорядоченное поле. Система действительных чисел
Аксиомы кольца, аксиомы поля. Примеры колец и полей (поле из двух элементов) icon«Аксиомы стереометрии и некоторые следствия из них» Вопросы. Три аксиомы стереометрии: сформулировать аксиомы
...
Аксиомы кольца, аксиомы поля. Примеры колец и полей (поле из двух элементов) iconТеория колец-2
Определения кольца, левого (правого) модуля над кольцом, левого (правого, двустороннего) идеала кольца. Теорема о гомоморфизме для...
Аксиомы кольца, аксиомы поля. Примеры колец и полей (поле из двух элементов) iconВопросы к коллоквиуму №1 для специальности дс за III семестр
Поле и вещество – две основные формы существования материи. Электричес-кое поле. Напряженность электрического поля. Суперпозиция...
Аксиомы кольца, аксиомы поля. Примеры колец и полей (поле из двух элементов) iconС. В. Попов об устранимости аксиомы индукции
Попов С. В. Об устранимости аксиомы индукции. Препринт Института прикладной математики им. М. В. Келдыша ран. Москва, 2005г
Аксиомы кольца, аксиомы поля. Примеры колец и полей (поле из двух элементов) iconСписок вопросов
События, операции над событиями. Вероятность, аксиомы вероятности, вероятностное пространство. Примеры
Аксиомы кольца, аксиомы поля. Примеры колец и полей (поле из двух элементов) iconТема Примеры структур
Определение структуры, в частности группы, кольца, поля. Определение подструктуры, в частности подгруппы, подкольца, подполя, и соответственно...
Аксиомы кольца, аксиомы поля. Примеры колец и полей (поле из двух элементов) iconПрограмма вступительного экзамена в аспирантуру по специальности 05. 13. 19 «Методы и системы защиты информации, информационная безопасность»
Линейная алгебра. Понятия группы, кольца, поля, их основные свойства. Основы теории конечных полей. Кольца вычетов. Кольцо многочленов...
Аксиомы кольца, аксиомы поля. Примеры колец и полей (поле из двух элементов) iconИсследование электростатического поля 301 Цель работы Изучение картины электростатического поля
Электростатическое поле в вакууме. Основные характеристики электростатического поля. Графическое изображение стационарных электрических...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org