Лабораторная работа №10 определение объема и плотности твердого тела и погрешностей их измерений



Скачать 196.67 Kb.
Дата10.05.2013
Размер196.67 Kb.
ТипЛабораторная работа
Лабораторная работа № 10
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА И ПЛОТНОСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА И ПОГРЕШНОСТЕЙ ИХ ИЗМЕРЕНИЙ.
Цель работы: изучить способы расчета погрешностей измерения физических величин; определить опытным путем объем и плотность твердого тела и ошибки их измерений.

Приборы и принадлежности: металлический полый цилиндр, штангенциркуль, аналитические весы, вычислительное устройство.
1. ТЕОРИЯ МЕТОДА

А. Введение в теорию ошибок
Эксперементально измеренное значение любой физической величины отличается от ее истинного значения. Это связанно с возникновением ошибок, или погрешностей, в процессе измерения. Из теории следует, что ближе всего к истинному значению у ист некоторой величины у оказывается среднеарифметическое <y> измеренных в опыте ее значений:
у ист ≈ <y> (1)

Это правило выполняется тем лучше, чем больше проведено измерений величины у. Среднеарифметическое вычисляется по формуле:

n

<y> = 1/nyi (2)

i=1

где уiзначение величины у в измерении под номером i и n – число измерений,которые предполагаются однотипными.

Результат измерений представляют в виде

у = <y>±∆ y (3)

где ∆y – абсолютная погрешность измерения величины у. Все величины в формуле (3) должны иметь одинаковую размерность и содержать одинаковое число десятичных знаков ( в погрешности ∆у допускается на один десятичный знак больше, чем в величине <y>). Оценку погрешности можно выполнить различными способами, причем такая оценка необходима в любом эксперименте. Погрешности делятся на две группы: систематические и случайные.

Систематическими называются погрешности, которые вызываются факторами, действующими одинаково при многократном повторении одних и тех же измерений. Такими факторами могут быть несовершенство методики или дефект прибора. Систематические погрешности сохраняют свою величину и знак во всех измерениях. Например, если из – за деформации масштабная линейка укоротилась, то отметка «100» на этой линейке в действительности соответствует расстоянию 99,5 см. Систематические погрешности следует выявлять с помощью эталонных приборов и устранять либо учитывать при обработке результатов измерений.


Случайные погрешности принято характеризовать среднеквадратичной ошибкой σy,

которую рассчитывают по формуле: n

σy=√∑ ( - yi)

i=1 (4)

n (n-1)

Обозначения здесь те же, что в формуле (2). Сумма в числителе содержит n квадратичных слагаемых. Величина σy должна содержать столько десятичных знаков, сколько и величина <y>, или на один больше. Округление всегда производится в большую сторону.

Важную роль в теории измерений играют понятия надежности и доверительного интервала. Надежностью а называется вероятность Р того, что модуль разности истинного и среднеарифметического значений измерений величины у не превышает некоторой величины ∆у, которую можно задать заранее:

Р{ yист - <y>≤ ∆y}=α (5)

Тогда интервал значений величины у от (<y>-∆ y) до (<y>+∆ y) носит название доверительного интервала; его ширина равна, следовательно, 2∆у. Согласно определению, истинное значение величины у заключено внутри доверительного интервала с вероятностью Р=α <1. Чем шире доверительный интервал, тем больше надежность, т.е. больше вероятность того, что истинное значение величины у окажется в следующих пределах:

(<y> -∆y) ≤ yист ≤ (<y> +∆ y) (6)

Между доверительным интервалом и надежностью существуют определенная связь:



Доверительный интервал 2∆у

2σy

4σy

6σy

Надежность

0,68

0,95

0,997


Эта связь означает, что внутри доверительного интервала шириной 2σy из 100 выполненых измерений величины у должны попасть значения 68-ми, остальные 32 измерения дадут значения у, выходящие за пределы этого доверительного интервала. Если доверительный интервал увеличить до 4σy или 6σy, то из 100 выполненных измерений той же величины у внутрь доверительного интервала должны попасть 95 и 99,7 полученных в опыте значений у. Поэтому в случае доверительного интервала 6σy практически все результаты измерений можно считать достоверными. Если в каком либо опыте окажется, что ׀<y> - yi ׀>y, то результат этого опыта можно отбросить, как грубый промах. Надежность и величину доверительного интервала выбирает сам экспериментатор, исходя из стоящей перед ним задачи.

Вычисление погрешности усложняется при косвенных измерениях, когда определяемая в эксперименте величина F является функцией нескольких аргументов x,y,z,…, измеряющихся непосредственно, т.е. F = F(x,y,z,…). Тогда среднеарифметическое значение величины F рассчитывают так:

<F> = F(<x>,<y>,<z>,…), (7)

а средние значения аргументов ,,,… находят по формуле (2). Среднеквадратичная ошибка измерения величины F определяется формулой

(8)
причем среднеквадратичные ошибки σx,σy,σz,… вычисляют по формуле (4), а частные производные δF, δF, δF, ... функции F по x,y,z,… должны быть определены при средних

δx δy δz

значениях этих аргументов, т.е. ,,,… .

Вместо среднеквадратичной ошибки можно рассчитать среднюю арифметическую ошибку <∆y> величины y по формуле

n

<∆y> = 1/n׀ <y> - yi ׀ (9) i=1

Расчет этой ошибки предпочтителен в тех случаях, когда нет уверенности, что все погрешности носят случайный характер. Среднюю арифметическую ошибку <∆F>, возникающую при косвенном измерении функции F = F(x,y,z,…), аргументы которой определяются непосредственно в эксперименте, рассчитываю тогда по формуле, аналогичной (8), с заменой среднеквадратичных ошибок σx,σy,σz,... измерения аргументов x,y,z,… на их среднеарифметические ошибки <∆x>,<∆y>,<∆z>,… согласно (9).

Если известно, что случайные погрешности значительно меньше погрешности, вносимой самим измерительным прибором , то можно ограничиться одним-двумя измерениями изучаемой величины. Погрешность в этом случае принимается равной классу точности прибора, который обычно указан на шкале. Класс точности равен максимально возможной погрешности вносимой прибором, выраженной в процентах от наибольшей отметки шкалы. Например, если миллиамперметр со шкалой до 100 мА имеет класс точности 1,5, то максимальная погрешность измерения силы тока этим миллиамперметром составляет

Imax = 100мА*1,5% = 1,5 мА

100%

Если класс точности не указан, то погрешность измерений считают равной половине цены одного деления шкалы прибора. Для миллиметровой линейки она равна, следовательно, 0,5 мм.

Наряду с абсолютной погрешностью иногда рассчитывают относительную погрешность, которую часто выражают в процентах. Эта погрешность равна отношению абсолютной погрешности измерения некоторой величины y к ее среднему значению и определяется по формулам

δy = y или δу% = ∆у100%.

у у (10)

Абсолютная погрешность ∆у должна быть определена одним из описанных выше способов. Относительная погрешность удобна тем, что непосредственно характеризует точность измерений. В частности, σу/<y> называется относительной квадратичной погрешностью измерения величины у.

Для расчета относительной арифметической погрешности δF функции F = F(x,y,z,…) существует формула

(11)

Однако на практике погрешность δF часто находят более простым способом по правилу дифференцирования натурального логарифма функции F с заменой всех знаков «-» на знак «+» и дифференциалов - на соответствующие абсолютные погрешности. Так, если F = ax2y/z3, причем а = const, то

ln F = ln a +2lnх +lny-3lnz;

d ln F = dF/F = 2dx/x + dy/y - 3dz/z;

F/<F> = 2∆х/<x> +∆у/<у> + З∆z/<z>. (12)

Формула (12) всегда дает завышенное значение погрешности по сравнению с фактической, выражающейся формулой (11), так как предполагает, что погрешности измерения аргументов х, у, z, ... имеют одинаковые знаки, тогда как в действительности их знаки могут быть различны. Поэтому вычисляемая по формуле (12) погрешность является максимально возможной.

Б. Измерение объема цилиндра и плотности его материала

В лабораторной работе используется круглый полый металлический цилиндр, показанный на рис 1. Объем V такого цилиндра равен

V=1/4π(D2 - d2) h, (13)
где D и d- его наружный и внутренний диаметры и h - высота.


Рис.1. Исследуемый металлический цилиндр
Практически удобнее измерять наружный диаметр цилиндра и толщину его боковой стенки l. Тогда из (13) следует, что
V=1/4πh[D2-(D-2l)2 ] = π l h (D – l) (14)

Согласно (14) измерение объема цилиндра является косвенным. Предварительно нужно измерить D, l и h и найти их средние арифметические значения <D>,<l>, <h>. Средний объем цилиндра <V> тогда равен

<V> = π <l><h> (<D>-<l>). (15)

Цилиндр заведомо изготовлен с эксцентриситетом. Поэтому измерения диаметра и толщины стенки в различных направлениях будут давать разные значения. Выбор направления, в котором производится измерение, случаен; поэтому погрешности измерения диаметра и толщины стенки цилиндра носят случайный характер. Точность же изготовления высоты цилиндра настолько велика, что ее погрешностью можно пренебречь.

Измерительным инструментом служит штангенциркуль. Он снабжен нониусной шкалой, с помощью которой можно производить отсчет с точностью 0,1 мм (или 0,05 мм). Нониусная шкала нанесена на каретку и перемещается вместе с ней по основной шкале, рис. 2. Всего она содержит 11 рисок. Измеряемое тело зажимается между губками штангенциркуля. При этом нулевая (крайняя левая) риска нониуса показывает целое число миллиметров, которое прочитывается левее ее на основной шкале. Количество десятичных долей миллиметра, которые следует прибавить к целым, равно номеру риски нониуса, которая окажется строго против любой риски основной шкалы.


Рис. 2. Измерение размеров тела с помощью штангенциркуля:

l – губки для измерения внутреннее размеров, 2 - винт, 3 - основная шкала, 4 – каретка,5 - нониусная шкала, 6 - губки для измерения наружных размеров, 7 - измеряемое тело
Плотностью ρ вещества называется величина, равная массе единицы объема этого вещества. По определению
ρ = m/V, (16)
где m - масса и V - объем вещества. Плотность вещества зависит от его химического состава, температуры и давления. Значения плотности различных веществ можно найти в справочных таблицах.

В данной работе масса цилиндра измеряется с помощью аналитических весов с погрешностью, которая много меньше погрешности определения объема. Поэтому погрешностью измерения массы можно пренебречь. В этом случае средняя плотность материала цилиндра выражается формулой
<ρ> = m/<V>, (17)
причем m - результат однократного измерения массы цилиндра.

Среднюю квадратичную ошибку измерения объема цилиндра следует рассчитывать по формуле (8). Выражения для частных производных объема V по D и l получаются из формулы (14). Для значений D, l и h, равных средним, они имеют вид

(18)
Средние квадратичные ошибки измерения диаметра и толщины стенки цилиндра рассчитываются по формуле (4); средняя квадратичная ошибка измерения высоты считается равной нулю. После подстановки выражений (18) в формулу (8) и алгебраических преобразований получаем
(19)
Так как погрешность измерения массы цилиндра мала и не учитывается, то погрешность определения плотности зависит только от погрешности измерения объема. Поэтому средняя квадратичная ошибка измерения плотности выразится формулой
(20)
Относительная квадратичная погрешность измерения плотности материала цилиндра может быть рассчитана по формуле

(21)
т. е. совпадает с относительной квадратичной погрешностью измерения его объема. Максимально возможные относительные погрешности измерения объема и плотности также совпадают друг с другом. Их следует рассчитывать по формуле

(22)

2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Взвесьте один раз металлический цилиндр на аналитических весах с точностью до 10 мг (0,01 г).

2. Измерьте один раз штангенциркулем высоту цилиндра h. Результаты взвешивания и измерения высоты запишите в табл.1.
Таблица 1



т m

А h

г г

кг кг

мм мм

см см

46,95

0,004695

33,7

3,37


1, Измерьте с помощью штангенциркуля по 10 раз внешний диаметр цилиндра D и толщину его стенки l в разных местах. Данные этих измерений запишите в табл. 2.

3. ОБРАБОТКА ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
I Рассчитайте по формуле (2) средние арифметические значения внешнего диаметра и толщины стенки цилиндра, отклонения индивидуальных измерений этих величин от средних и их квадраты. Результаты запишите в табл. 2 и табл. 3. Если расчеты выполнены правильно, суммы чисел в колонках 3 и 6 табл. 2 должны быть равны нулю.

Таблица 2



Опыт



Di, мм

- Di, мм

( - Di)2,

мм2

li, мм

- li, мм

( - li)2,

мм2

1

2

3

4

5

6

7

1

23,6

-0,11

0,0121

3

-0,22

0,0484

2

23,1

0,39

0,1521

2,9

-0,12

0,0144

3

23,5

-0,01

0,0001

2,7

0,08

0,0064

4

23,6

-0,11

0,0121

2,5

0,28

0,0784

5

23,5

-0,01

0,0001

2,4

0,38

0,1444

6

23,4

0,09

0,0081

2,8

-0,02

0,0004

7

23,6

-0,11

0,0121

3

-0,22

0,0484

8

23,7

-0,21

0,0441

3

-0,22

0,0484

9

23,4

0,09

0,0081

2,9

-0,12

0,0144

10

23,5

-0,01

0,0001

2,6

0,18

0,0524



234,9

0

0,249

27,8

0

0,436



Таблица 3









<ρ>

мм

см

мм

см

мм3

см3

г/см3

кг/м3

23,49

2,349

2,78

0,278

6092

6,092

0,0077

7,7 · 106


2. Рассчитайте по формуле (15) среднее значение объёма цилиндра, а по формуле (17) – среднее значение плотности его материала. Результаты расчётов занесите в табл. 3, причём плотность должна быть записана в системах СГС и СИ.

3. Вычислите средние квадратичные ошибки:

а) внешнего диаметра σD и толщены стенки σl цилиндра – по формуле (4);

б) объёма цилиндра σV и плотность его материала σρ – соответственно по формулам (19) и (20). Результаты вычислений запишите в табл. 4. Обращайте внимание на размерность!
Таблица 4



σρ,

мм

σl,

мм

σV,

σρ,
г/см3

σV/‹V

δ Vmax =

δρ max


мм3


см3

5,3 · 10-2

7 · 10-2

133,3

0,1333

1,7 · 10-4

2,2 · 10-2

1,8 · 10-2


4. Рассчитайте по формуле (21) относительную квадратичную погрешность измерения объёма (и плотности); запишите её в табл. 4.

5. По формуле (22) рассчитайте максимально возможную относительную погрешность измерения этих величин и так же запишите её в табл. 4. Сравните значения этих погрешностей. Какая из них больше и на сколько?
4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое масса и вес тела, плотность вещества? Какой формулой определяют плотность?

2. Перечислите основные механические единицы в системах СИ и СГС; укажите их размерность.

3. Плотность воды равна 1г/см3. Найти её значение в системе СИ.

4. Плотность железа равна 7,8 · 103 кг/м3. Найдите её значение в системе СГС.

5. Какие существуют погрешности измерений? Чем они отличаются?

6. Напишите формулы расчёта средней квадратичной ошибки в случае прямых и косвенных измерений.
4.1 ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Масса – физическая величина, являющаяся мерой его инерционных (инертная масса) и гравитационных (гравитационная масса) свойств.

Вес – это сила с которой тело действует на опору

Плотность – это количество вещества в единице объёма.

Ρ = m/V

2. Основными механическими единицами являются: площадь; объём; скорость; ускорение; угловая скорость; угловое ускорение; частота периодического процесса; плотность; сила; импульс; давление; энергия, работа; мощность; момент инерции; момент силы; момент импульса.

3. 1 г/см3 = 1· 104 кг/м3

4. 7,8 · 103 кг/м3 = 0,78 г/м3

5. Результат измерений представляют в виде

у = <y>±∆ y

где ∆y – абсолютная погрешность измерения величины у. Все величины в формуле должны иметь одинаковую размерность и содержать одинаковое число десятичных знаков ( в погрешности ∆у допускается на один десятичный знак больше, чем в величине <y>). Оценку погрешности можно выполнить различными способами, причем такая оценка необходима в любом эксперименте. Погрешности делятся на две группы: систематические и случайные.

Систематическими называются погрешности, которые вызываются факторами, действующими одинаково при многократном повторении одних и тех же измерений. Такими факторами могут быть несовершенство методики или дефект прибора. Систематические погрешности сохраняют свою величину и знак во всех измерениях. Например, если из – за деформации масштабная линейка укоротилась, то отметка «100» на этой линейке в действительности соответствует расстоянию 99,5 см. Систематические погрешности следует выявлять с помощью эталонных приборов и устранять либо учитывать при обработке результатов измерений.

Случайные погрешности принято характеризовать среднеквадратичной ошибкой σy,

которую рассчитывают по формуле: n

σy=√∑ ( - yi)

i=1

n (n-1)

Вычисление погрешности усложняется при косвенных измерениях, когда определяемая в эксперименте величина F является функцией нескольких аргументов x,y,z,…, измеряющихся непосредственно, т.е. F = F(x,y,z,…). Тогда среднеарифметическое значение величины F рассчитывают так:

<F> = F(<x>,<y>,<z>,…),

а средние значения аргументов ,,,… находят по формуле. Среднеквадратичная ошибка измерения величины F определяется формулой
причем среднеквадратичные ошибки σx,σy,σz,… вычисляют по формуле, а частные производные δF, δF, δF, ... функции F по x,y,z,… должны быть определены при средних

δx δy δz

значениях этих аргументов, т.е. ,,,… .

Вместо среднеквадратичной ошибки можно рассчитать среднюю арифметическую ошибку <∆y> величины y по формуле

n

<∆y> = 1/n׀ <y> - yi ׀

i=1

Расчет этой ошибки предпочтителен в тех случаях, когда нет уверенности, что все погрешности носят случайный характер. Среднюю арифметическую ошибку <∆F>, возникающую при косвенном измерении функции F = F(x,y,z,…), аргументы которой определяются непосредственно в эксперименте, рассчитываю тогда по формуле, аналогичной, с заменой среднеквадратичных ошибок σx,σy,σz,... измерения аргументов x,y,z,… на их среднеарифметические ошибки <∆x>,<∆y>,<∆z>,… согласно.

Если известно, что случайные погрешности значительно меньше погрешности, вносимой самим измерительным прибором , то можно ограничиться одним-двумя измерениями изучаемой величины. Погрешность в этом случае принимается равной классу точности прибора, который обычно указан на шкале. Класс точности равен максимально возможной погрешности вносимой прибором, выраженной в процентах от наибольшей отметки шкалы. Например, если миллиамперметр со шкалой до 100 мА имеет класс точности 1,5, то максимальная погрешность измерения силы тока этим миллиамперметром составляет

Imax = 100мА*1,5% = 1,5 мА

100%

Если класс точности не указан, то погрешность измерений считают равной половине цены одного деления шкалы прибора. Для миллиметровой линейки она равна, следовательно, 0,5 мм.

Наряду с абсолютной погрешностью иногда рассчитывают относительную погрешность, которую часто выражают в процентах. Эта погрешность равна отношению абсолютной погрешности измерения некоторой величины y к ее среднему значению и определяется по формулам

δy = y или δу% = ∆у100%.

у у

Абсолютная погрешность ∆у должна быть определена одним из описанных выше способов. Относительная погрешность удобна тем, что непосредственно характеризует точность измерений. В частности, σу/<y> называется относительной квадратичной погрешностью измерения величины у.

Для расчета относительной арифметической погрешности δF функции F = F(x,y,z,…) существует формула

Однако на практике погрешность δF часто находят более простым способом по правилу дифференцирования натурального логарифма функции F с заменой всех знаков «-» на знак «+» и дифференциалов - на соответствующие абсолютные погрешности. Так, если F = ax2y/z3, причем а = const, то

ln F = ln a +2lnх +lny-3lnz;

d ln F = dF/F = 2dx/x + dy/y - 3dz/z;

F/<F> = 2∆х/<x> +∆у/<у> + З∆z/<z>.

Формула всегда дает завышенное значение погрешности по сравнению с фактической, выражающейся формулой, так как предполагает, что погрешности измерения аргументов х, у, z, ... имеют одинаковые знаки, тогда как в действительности их знаки могут быть различны. Поэтому вычисляемая по формуле погрешность является максимально возможной.

6.





Похожие:

Лабораторная работа №10 определение объема и плотности твердого тела и погрешностей их измерений iconЛабораторная работа 01 определение плотности твердых тел москва 2005 г. Лабораторная работа 101
Существуют методы анализа и учета влияния различных погрешностей на результаты измерений. Все погрешности (ошибки) измерений принято...
Лабораторная работа №10 определение объема и плотности твердого тела и погрешностей их измерений iconЛабораторная работа №5 «Определение плотности вещества твердого тела» Цель: научить определять плотность вещества
Организационный момент (сообщение темы урока, плана занятия, запись домашнего задания)(2 мин)
Лабораторная работа №10 определение объема и плотности твердого тела и погрешностей их измерений iconЛабораторная работа №5 /дата/ Определение плотности твёрдого тела. Оборудование
Оборудование: рычажные весы, набор гирь и разновесов, мензурка, линейка, деревянный брусок, сосуд с раствором неизвестного вещества,...
Лабораторная работа №10 определение объема и плотности твердого тела и погрешностей их измерений iconОпределение плотности твердого тела с помощью мерного стакана
Плотностью тела  называется физическая величина, равная отношению массы тела m к его объему V
Лабораторная работа №10 определение объема и плотности твердого тела и погрешностей их измерений iconЛабораторная работа № М1 Оценка результатов нескольких серий измерений Методические указания Тула 2012г
Такие результаты говорят о наличии в них случайных погрешностей, то есть погрешностей, изменяющихся хаотически, непредсказуемо
Лабораторная работа №10 определение объема и плотности твердого тела и погрешностей их измерений iconЗадача №1. Определение реакций опор твердого тела (произвольная плоская система сил). Условия задачи: Найти реакции опор конструкции. Q, kH/m = 4 F, kH = 8 M, kH m = 10 a = 60
Задача №1. Определение реакций опор твердого тела
Лабораторная работа №10 определение объема и плотности твердого тела и погрешностей их измерений iconБъчваров, В. Д. Златанов кинематические инварианты и распределение скоростей при наиболее общем движении твёрдого тела
Движение твёрдого тела в наиболее общем случае рассмотрено во множестве работ [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 12,13, 14, 15]. Основной...
Лабораторная работа №10 определение объема и плотности твердого тела и погрешностей их измерений iconОценка погрешностей измерений при выполнении лабораторных работ по физике
Погрешности возникают при любых измерениях, и только правильная оценка погрешностей проведенных измерений и расчетов позволяет выяснить...
Лабораторная работа №10 определение объема и плотности твердого тела и погрешностей их измерений iconУроку: «Где в жизни применяется определение объёма тела?»
Учитель просит ответить на вопрос домашнего задания к этому уроку: «Где в жизни применяется определение объёма тела?»
Лабораторная работа №10 определение объема и плотности твердого тела и погрешностей их измерений iconЛабораторная работа №20 определение коэффициента внутреннего трения (вязкости) жидкости методом стокса
Цель работы: изучить движение твёрдого тела (шарика) в вязкой жидкости; определить коэффициенты динамической и кинематической вязкости...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org