Определение. Смешанным произведением некомпланарных векторов называется число равное. Обозначение. Если компланарны, то по определению положим. Геометрический смысл:, где объем параллелепипеда, построенного на векторах



Скачать 64.58 Kb.
Дата10.05.2013
Размер64.58 Kb.
ТипДокументы
§7. Смешанное произведение векторов1.

Пусть фиксирована правая прямоугольная декартова система координат.

Определение. Смешанным произведением некомпланарных векторов называется число

равное . Обозначение .

Если - компланарны, то по определению положим .

Геометрический смысл:

, где - объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Формулы для вычисления смешанного произведения векторов


для правого ортонормированного базиса

, где ;

для произвольного базиса

, где .

Формула объема тетраэдра : .

Задачи.

  1. Прямая проходит через точку А параллельно вектору , прямая проходит через точку В параллельно вектору , причем и скрещиваются. Доказать, что расстояние между и вычисляется по формуле .


Решение. Рисуем картинку: две скрещивающиеся прямые и , на каждой прямой по точке А и В. Отложим представители векторов и от точки А и построим параллелепипед на векторах , , (представители этих векторов будут ребрами этого параллелепипеда, выходящими из одной вершины). Тогда площадь основания построенного параллелепипеда равна по определению векторного произведения, высота параллелепипеда - , а объем равен . Тогда по "школьной формуле" для вычисления объема параллелепипеда получим . 


  1. Доказать, что отношение объема параллелепипеда к объему тетраэдра, вершинами которого являются одна из вершин параллелепипеда и центры трех граней, не содержащих этой вершины, не зависит от выбора параллелепипеда и его вершины.

Решение. Пусть дан параллелепипед , точка М – центр грани , точка - грани , точка Р – грани . Тогда нам нужно найти . По определению смешанного произведения . По формуле для вычисления объема тетраэдра получим . Для вычисления смешанного произведения найдем координаты векторов в базисе . Найдем . Тогда . Получим . 


  1. В треугольной призме векторы и определяют основание, а вектор - боковое ребро. Найти объем призмы, площадь основания, высоту призмы, угол между плоскостями и , расстояние между ребрами и .

Решение. Найдем объем призмы . Ее объем равен половине объема параллелепипеда, построенного на векторах , , , то есть . Смешанное произведение векторов вычислим через координаты векторов, заданных в ортонормированном базисе (см. §1).

.

Найдем площадь основания АВС. Площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах , , то есть . Векторное произведение считаем по формуле (*).

.

Тогда высота призмы .

Угол между плоскостями и равен углу между векторами, перпендикулярными им. Найдем какой-нибудь вектор , например, (см. выше).

Найдем какой-нибудь вектор , например, . Тогда , то есть плоскости и перпендикулярны.

Найдем расстояние между прямыми и . Эти прямые скрещивающиеся и расстояние между ними находится по формуле задачи 6. В качестве направляющих векторов прямых возьмем векторы и . Тогда

, . 

  1. Доказать тождества: а); б) (определитель Грама).

Указания. Введите правую прямоугольную систему координат и проведите вычисления в координатах. 


  1. Боковые ребра ОА, ОВ, ОС треугольной пирамиды ОАВС равны соответственно , . Доказать, что объем пирамиды вычисляется по формуле: .
    Указания. Мы знаем, что . Далее примените определитель Грама, вычисляя скалярные произведения в нем по определению. 

  2. Боковые ребра ОА, ОВ, ОС треугольной пирамиды ОАВС равны соответственно , . Найти расстояние между скрещивающимися медианами двух соседних граней.
    Указания. Введем базис. Применим формулу для вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми, выразив "вектора-медианы" в этом базисе. В числителе мы получим модуль смешанного произведения векторов . Его мы можем вычислить по формуле задачи 5. В знаменателе проблем больше: там модуль суммы векторных произведений. Чтобы его вычислить вспомним, что модуль вектора – это корень квадратный из его скалярного квадрата. Расписав скалярный квадрат суммы векторных произведений по свойствам скалярного произведения, мы можем применить формулу Лагранжа. Таким образом, мы свели вычисление модуля суммы векторных произведений к вычислению скалярных произведений. А их мы умеем считать в произвольном базисе! 

  3. Дана треугольная призма , где , . Найти величину двугранного угла между плоскостями и .
    Указания. Угол между плоскостями – это угол между векторами, перпендикулярными этим плоскостям. Введем базис . Тогда вектора, перпендикулярные плоскостям, можно выразить через векторные произведения векторов базиса. Вспомним, что косинус угла между векторами вычисляется с помощью скалярного произведения векторов. Для его вычисления нам опять потребуется формула Лагранжа и формула для вычисления длины векторного произведения через скалярное произведение (см. §6). 

Задачи к проверочной работе.

  1. Найти длину высоты тетраэдра , если А(2,4,-1), В(2,5,0), С(6,4,0), (5,10,-1).

  2. Вычислить длину высоты АН тетраэдра, построенного на трех векторах , где - ортонормированный базис.

  3. Дан параллелепипед , . Найти расстояние между прямыми и .

  4. Найти объем тетраэдра , если . Расстояние между прямыми и равно .

  5. Все плоские углы при вершине тетраэдра ОАВС прямые, . Найти площадь основания АВС и длину высоты ОН.

  6. Длина ребра куба равна 1. Найти расстояние между диагональю куба и скрещивающейся с ней диагональю грани.

  7. В треугольной пирамиде с основанием АВС все плоские углы при вершине прямые, а длины боковых ребер равны 1. Найти расстояние между скрещивающимися медианами граней и АВС.

  8. Найти расстояние между скрещивающимися медианами граней правильного тетраэдра с ребром 1.

  9. Дан тетраэдр . Точки делят ребра соответственно в отношениях 2:1, 3:1, 4:1. Найти отношение объемов тетраэдров и .

  10. Дан тетраэдр . Точки делят ребра соответственно в отношениях . Найти отношение объемов тетраэдров и .

  11. Дан параллелепипед . Доказать, что его объем вдвое меньше объема параллелепипеда, построенного на векторах как на ребрах.

  12. Найти отношение объема параллелепипеда к объему тетраэдра, ребрами которого служат диагонали трех граней параллелепипеда, выходящие из одной его вершины.

  13. Основанием пирамиды служит параллелограмм , высота , где О – точка пересечения диагоналей параллелепипеда . В каком отношении делится объем пирамиды плоскостью проходящей через сторону основания и среднюю линию противоположной грани?

  14. Объем тетраэдра равен 15. Найти координаты его вершины , лежащей на оси , если А(4,0,1), В(0,2,0), С(0,2,-2).

  15. Доказать, что объемы двух параллелепипедов с равными трехгранными углами при одной вершине относятся как произведения их ребер, сходящихся в вершинах этих углов.

  16. Доказать, что объемы двух тетраэдров с равными трехгранными углами при одной вершине относятся как произведения их ребер, сходящихся в вершинах этих углов.

  17. Точки - точки пересечения медиан граней тетраэдра . Найти отношение объемов тетраэдров и .

  18. Решите предыдущую задачу в предположении, что точки - точки пересечения высот (биссектрис) граней тетраэдра.

  19. Верно ли, что для любых векторов верно равенство . Если нет, то для каких векторов выполняется это равенство?

  20. Доказать, что в произвольном трехгранном угле биссектрисы двух плоских углов и угла, смежного третьему плоскому углу, лежат в одной плоскости.

  21. Найти объем тетраэдра , если , .

  22. Три вектора попарно образуют углы . Доказать, что необходимое и достаточное условие их компланарности выражается равенством .

1 Во всех задачах параграфа система координат прямоугольная декартова.




Похожие:

Определение. Смешанным произведением некомпланарных векторов называется число равное. Обозначение. Если компланарны, то по определению положим. Геометрический смысл:, где объем параллелепипеда, построенного на векторах iconКоординат. Назовем ее правой
Определение. Векторным произведением двух неколлинеарных векторов и называется вектор, такой что 1; 2 площади параллелограмма, построенного...
Определение. Смешанным произведением некомпланарных векторов называется число равное. Обозначение. Если компланарны, то по определению положим. Геометрический смысл:, где объем параллелепипеда, построенного на векторах iconЛекция №2 Основы векторной алгебры и аналитической геометрии на плоскости
Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними
Определение. Смешанным произведением некомпланарных векторов называется число равное. Обозначение. Если компланарны, то по определению положим. Геометрический смысл:, где объем параллелепипеда, построенного на векторах iconВекторное и смешанное произведение векторов
Определение Векторным произведением двух векторов α и в называется вектор с, обозначаемый символом а х в или [а x в] и удовлетворяющий...
Определение. Смешанным произведением некомпланарных векторов называется число равное. Обозначение. Если компланарны, то по определению положим. Геометрический смысл:, где объем параллелепипеда, построенного на векторах iconОбъем параллелепипеда равен Найдите объем треугольной пирамиды авdа
Иными словами, если у параллелепипеда и пирамиды одинаковые основания и одинаковые высоты, то объем пирамиды будет в три раза меньше,...
Определение. Смешанным произведением некомпланарных векторов называется число равное. Обозначение. Если компланарны, то по определению положим. Геометрический смысл:, где объем параллелепипеда, построенного на векторах icon3. линейные, евклидовы и унитарные пространства линейные пространства
Определение. Арифметическим пространством Rn называется множество векторов, в котором операции сложения векторов и умножения вектора...
Определение. Смешанным произведением некомпланарных векторов называется число равное. Обозначение. Если компланарны, то по определению положим. Геометрический смысл:, где объем параллелепипеда, построенного на векторах icon2001 Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Определение
Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента,...
Определение. Смешанным произведением некомпланарных векторов называется число равное. Обозначение. Если компланарны, то по определению положим. Геометрический смысл:, где объем параллелепипеда, построенного на векторах iconОпределение. Система векторов называется линейно зависимой, если существуют вещественные числа не равные одновременно нулю такие, что (*) Если же равенство (*)
Линейная зависимость и независимость системы векторов. Коллинеарные и компланарные векторы
Определение. Смешанным произведением некомпланарных векторов называется число равное. Обозначение. Если компланарны, то по определению положим. Геометрический смысл:, где объем параллелепипеда, построенного на векторах iconОпределение: средним арифметическим нескольких чисел называется число, равное отношению суммы этих чисел к их количеству
Пример: найти среднюю оценку учащегося по математике, если за истекший период он получил: 3,4,4,5,3,2,4,3
Определение. Смешанным произведением некомпланарных векторов называется число равное. Обозначение. Если компланарны, то по определению положим. Геометрический смысл:, где объем параллелепипеда, построенного на векторах iconЛекция №23 ( и последняя, 28. 05. 10 ) § Ортогональные системы векторов
Определение. Система векторов a1, a2, …, an называется ортогональною, если ка­ждый её вектор ортогонален любому другому вектору этой...
Определение. Смешанным произведением некомпланарных векторов называется число равное. Обозначение. Если компланарны, то по определению положим. Геометрический смысл:, где объем параллелепипеда, построенного на векторах iconПростые числа. Разложение на множители
...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org