Лекция 10 III. Динамика глава введение в динамику. Дифференциальные уравнения движения точки



страница1/10
Дата13.05.2013
Размер1.07 Mb.
ТипЛекция
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
ПГС, Лекция 10

III. ДИНАМИКА

Глава 1.ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

1. Законы динамики

Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движе-ние материальных тел под действием сил. Материальная точка — это точка, обладающая массой.

Закон инерции (первый закон динамики): материальная точка при отсутствии внешних воздействий (или при уравновешенности этих воздействий) сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения относительно инерциальной системы отсчета до тех пор, пока приложенные к ней силы не изменят это состояние.

Основной закон динамики (второй закон динамики): ускорение материальной точки относительно инерциальной системы отсчета пропорционально приложенной к точке силе и направлено по этой силе

. (1)

В записи использован принцип независимости действия сил.

Пример. Лифт весом Р начинает подниматься с ускорением а. Определить натяжение троса.

На лифт действуют сила тяжести и реакция троса . Составляя уравнение (1) в проекции на вертикаль, получим (P/g)a = T - Р, откуда

T = P (1+ a/g).


Если лифт опускается с таким же ускорением, то натяжение троса будет равно T1 = P (1 - a/g).

Закон взаимодействия (третий закон динамики): две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.

2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.

Две основные задачи динамики

Уравнения в декартовых координатах

= УFkx , m= УFky , m=УFkz . (2)

Уравнения в проекциях на оси естественного трехгранника. Для получения этих уравнений спроектируем обе части равенства (1) на оси естественного трехгранника Мфnb (Мф — касательная к траектории точки; Мn — главная нормаль, направленная в сторону вогнутости траектории; Mb — бинормаль). Тогда, учитывая, что

aф = dvф/dt, аn = v2/с, ab= 0, получим

m(dvф/dt) =УFkф, m(v2/с) = УFkn, 0 = УFkb. (3)

Пример 1. Радиус закругления в точке А моста равен R. Найти, какое давление на мост в точке А окажет автомобиль массы m, движущийся со скоростью V.

В точке А автомобиль имеет нормальное ускорение аn = v2/R. При этом на него действуют сила тяжести = m и реакция . Тогда по уравнению (2), составленному в проекции на нормаль, или непосредственно по второму из уравнений (3) будет

mv2/R = mg - N, откуда N = m(g - v2/R).

Сила давления на мост равна по модулю N, но направлена вниз.

Основные задачи динамики

1) Задачи, в которых задан закон движения материальной точки и требуется найти действующие на нее силы.

2) Задачи, в которых зная действующие на материальную точку силы, надо определить закон движения точки.

Первая задача динамики. Если заданы кинематические уравнения движения точки, то, определив проекции ускорения на соответствующие оси, находим силы по уравнениям (2) или (3).

Пример 2. Груз весом С (рис.) под действием вертикальной силы T поднимается вверх по закону y =2t2 + sin рt (где у — в метрах, t — в секундах). Определить: T = f(t) — закон изменения со временем вертикальной силы.

Действуют силы — сила тяжести = m, т — масса груза, - ускорение свободного падения и сила . Составим уравнение движения в проекции на неподвижную вертикальную ось у:

m= Т-Р. (а)

Подставив в уравнение (а) значение силы тяжести = m, получим:

T = P(l +/g). В нашем случае = 4-р2sin рt, приняв g = 9,81 м/с2, окончательно получим T = m(13,81-р2 sin рt) З.

Вторая (основная) задача динамики. Решается интегрированием дифференциальных уравнений движения (2), (3).

Рассмотрим решение этой задачи в прямоугольной декартовой системе координат. В общем случае силы, действующие на точку, а следовательно, и их проекции могут зависеть от времени, от координат движущейся точки, от ее скорости и т. д. Поэтому в общем случае решение второй задачи динамики приводится к интегрированию трех дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных х, у, z: Введём обозначение = {x, y, z} и запишем их

m= (t, ) (4)

Их общее решение имеет вид

(5)

Продифференцируем (5) и получим скорости:

(6)

Нужно дополнительно задать условия, позволяющие определить постоянные интегрирования. В качестве таких условий обычно в какой-то определенный момент времени t0 задают координаты движущейся точки и проекции ее скорости . Как правило, t0 соответствует началу движения и тогда совокупность данных о координатах и проекциях скорости при t = t0 называют начальными условиями движения. Подставив начальные условия в формулы (5) и (6), получаем шесть уравнений для определения постоянных интегрирования:

.

Подставляя найденные значения постоянных в общее решение (5), получим решение задачи, соответствующее данным начальным условиям:



Пример. Масса m = 0,5 кг начинает двигаться из состояния покоя вдоль гладкой горизонтальной плоскости под действием силы , значение которой изменяется по закону F = 3 + 4cos2t (где t — в секундах, F - в Ньютонах). Найти закон движения груза.

Выберем начало отсчета О в начальном положении груза и направим ось Ох в сторону движения. Тогда для выбранной системы отсчета начальные условия движения точки будут: при t = 0, x0 = 2, v0= 0. Изображаем в произвольном положении груз и действующие на него силы: активная сила , сила тяжести (P = mg) и реакция плоскости .

Составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось х:

m = Fx + Px + Nx.

Учитывая, что Fx= F = 3 + 4cos2t, Рx=0, Nx=0, получим

m =3 + 4cos2t (a)

Решение этого дифференциального уравнения второго порядка выполним в два этапа. Сначала сделаем замену на dvx/dt (в данном случае такая замена целесообразна, так как правая часть уравнения (а) является функцией от времени t). Теперь уравнение (а) примет вид:

m 3 + 4cos2t (б)

Умножив обе части этого равенства на dt, сразу разделим переменные (в левой части переменной будет vx, а в правой - t) и, интегрируя, получим

mvx = 3t + 2 sin2t + C1 (в)

Подставив сюда начальные условия (при t = 0, v0= 0), получим C1=0.

Теперь, на втором этапе решения уравнения (а), заменим в полученном результате (в) переменное vx на dx/dt и, подставляя значение m = 0,5 кг, представим его в виде

6t + 4 sin2t (г)

Умножая обе части этого равенства на dt, опять разделим переменные и, проинтегрировав, найдем

x = 3t2-2 cos2t + C2.

Подстановка начальных условий (при t0 = 0, x0 = 2) дает C2 = 4.

Окончательно получаем закон движения груза в виде

x = 3t2 – 2 cos2t + 4,

где x — в метрах, t — в секундах.

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Похожие:

Лекция 10 III. Динамика глава введение в динамику. Дифференциальные уравнения движения точки iconУчебного курса «Дифференциальные и разностные уравнения» для направления 521600 Экономика
Первая. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
Лекция 10 III. Динамика глава введение в динамику. Дифференциальные уравнения движения точки iconУчебного курса «Дифференциальные и разностные уравнения» для направления 521600 Экономика
Первая. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
Лекция 10 III. Динамика глава введение в динамику. Дифференциальные уравнения движения точки iconВопросы к коллоквиуму по курсу «Обыкновенные дифференциальные уравнения»
Понятие дифференциального уравнения. Математические модели, описываемые дифференциальными уравнениями: движение точки в пространстве,...
Лекция 10 III. Динамика глава введение в динамику. Дифференциальные уравнения движения точки iconПрограмма государственного экзамена
Кинематика материальной точки. Линейные и угловые скорости и ускорения. Динамика материальной точки. Законы Ньютона. Уравнения движения....
Лекция 10 III. Динамика глава введение в динамику. Дифференциальные уравнения движения точки iconЗадача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. Представление решения краевой задачи
«Дифференциальные уравнения». В основу программы положены следующие дисциплины: обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения...
Лекция 10 III. Динамика глава введение в динамику. Дифференциальные уравнения движения точки iconЗадача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. Представление решения краевой задачи
Дифференциальные уравнения”. В основу программы положены следующие дисциплины: обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения...
Лекция 10 III. Динамика глава введение в динамику. Дифференциальные уравнения движения точки iconДинамика космического полета
Невозмущенное движение (задача двух тел). Уравнения движения. Первые интегралы движения (вывод интеграла энергии ). Характер движения...
Лекция 10 III. Динамика глава введение в динамику. Дифференциальные уравнения движения точки iconЗадача 353. Определить радиус кривизны траектории точки в начале движения, если уравнения её движения имеют вид x=2t; y=t 2
Заданные уравнения можно рассматривать как компоненты смещения, одинаковые для всех частиц тела. Тогда уравнения движения частиц...
Лекция 10 III. Динамика глава введение в динамику. Дифференциальные уравнения движения точки icon01. 01. 02 Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление Формула специальности: Специальность «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»
Основными составными частями специальности являются обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными....
Лекция 10 III. Динамика глава введение в динамику. Дифференциальные уравнения движения точки iconЛекция №12 Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка План
Будем рассматривать уравнения, которые можно записать в виде, разрешенном относительно второй производной
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org