Квадратичные формы 2



Скачать 96.02 Kb.
Дата14.05.2013
Размер96.02 Kb.
ТипДокументы

Квадратичные формы 2


Число положительных квадратов в той нормальной форме, к которой приводится данная действительная квадратичная форма f, называется положительным индексом инерции этой формы. Число отрицательных квадратов называется отрицательным индексом инерции. Разность между положительным и отрицательным индексами инерции называется сигнатурой формы f. При заданном ранге формы задание любого из этих трёх чисел определяет два других.

Теорема. Две квадратичные формы то п неизвестных с действительными коэффициентами тогда и только тогда переводятся друг в друга невырожденными действительными линейными преобразованиями, если эти формы имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры.

Пусть форма f переводится в форму g невырожденным действительным преобразованием. Это преобразование не меняет ранга формы. Оно не может менять и сигнатуры, так как в противном случае f и g приводились бы к различным нормальным видам, а тогда форма f приводилась бы к этим обоим нормальным видам, что противоречило бы закону инерции. Обратно, если формы f и g имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры, то они приводятся к одному и тому же нормальному виду и поэтому могут быть переведены друг в друга.

Пусть дана квадратичная форма g в каноническом виде

(1)

с не равными нулю действительными коэффициентами, то ранг этой формы равен, очевидно, r. Применяя известный способ приведения такой формы к нормальному виду, получим, что положительный индекс инерции формы равен числу положительных коэффициентов в правой части равенства (1). Тогда из предыдущей теоремы следует такой вывод:

Квадратичная форма f тогда и только тогда будет иметь форму (9) своим каноническим видом, если ранг формы f равен r, и положительный индекс инерции этой формы совпадает с числом положительных коэффициентов в (9).

Распадающиеся квадратичные формы

Если перемножить две линейные формы от п переменных

, ,

получится некоторая квадратичная форма. Не всякая квадратичная форма может быть представлена в виде произведения двух линейных форм. Определим условия, при которых это можно сделать, то есть квадратичная форма является распадающейся.

Комплексная квадратичная форма распадается тогда и только тогда, если её ранг меньше или равен двум. Действительная квадратичная форма gif" name="object5" align=absmiddle width=106 height=24> распадается тогда и только тогда, если её ранг не больше единицы, или же он равен двум, а сигнатура равна нулю.

Если хотя бы одна из двух форм и нулевая, то их произведение – квадратичная форма с нулевыми коэффициентами и рангом 0. Если линейные формы j и y пропорциональны: j = сy, причём с  0 и форма j ненулевая, то пусть коэффициент а1 отличен от нуля. Тогда невырожденное линейное преобразование

при i = 2,3,…,n

приводит квадратичную форму  к виду

 = су12

Ясно, что квадратичная форма  имеет ранг 1. Если линейные формы и не являются пропорциональными, то пусть, например,

.

Тогда линейное преобразование

,

,

при i = 3,4,…,п

невырожденное, и оно приводит квадратичную форму jy к виду jy =  у1у2. В правой части стоит квадратичная форма ранга 2, имеющая в случае действительных коэффициентов сигнатуру 0.

Докажем обратное утверждение. Квадратичная форма ранга 0 может рассматриваться как произведение двух линейных форм, одна из которых нулевая. Квадратичная форма ранга 1 невырожденным линейным преобразованием приводится к виду

, с  0,

то есть к виду



Выражая у1 линейно через х2,…, хп, получаем представление формы f в виде произведения двух линейных форм. Действительная квадратичная форма ранга 2 и сигнатуры 0 приводится невырожденным линейным преобразованием к виду

(2)

К этому же виду может быть приведена любая комплексная квадратичная форма ранга 2. Так как

,

то в правой части (2) после замены у1 и у2 их линейными выражениями через будет стоять произведение двух линейных форм.

Положительно определённые формы


Квадратичная форма f от п переменных с действительными коэффициентами называется положительно определённой, если она приводится к нормальному виду, состоящему из п положительных квадратов, то есть её ранг и положительный индекс инерции равны числу переменных.

Теорем а. Квадратичная форма f от п переменных с действительными коэффициентами тогда и только тогда будет положительно определённой, если при всех действительных значениях этих переменных, хотя бы одна из которых отлична от нуля, эта форма принимает положительные значения.

Доказательство. Пусть форма f положительно определённая, то есть приводится к нормальному виду

f = y1y22+…+ yn2 (1)

причём преобразование

, = 1,2,…,п (2)

имеет отличный от нуля определитель из действительных коэффициентов аij. Если подставить в f произвольные действительные значения переменных , хотя бы одно из которых отлично от нуля, то можно сделать так: сначала подставить их в (2), а затем значения, полученные для всех yi – в (1). Значения, полученные для y1, y2,…, yn не могут все равняться нулю, так как в этом случае получилось бы, что система линейных однородных уравнений

= 1,2,…,n,

имеет ненулевое решение, хотя её определитель отличен от нуля. Подставляя найденные для y1, y2,…, yn значения в (1), получим значения формы f, равное сумме квадратов п действительных чисел, которые не все равны нулю, то есть значение строго положительное.

Пусть теперь форма f не является положительно определённой, то есть или её ранг или положительный индекс инерции меньше п. Это означает, что в нормальном виде этой формы, к которому она приводится невырожденным линейным преобразованием (2), квадрат хотя бы одной из новых переменных, например yn, или отсутствует совсем, или содержится со знаком минус. В этом случае можно подобрать такие действительные значения для переменных х1,х2,…,хn, не все равные нулю, что значение формы f при этих значениях переменных равно нулю или отрицательно. Такими будут, например, те значения х1,х2,…,хn, которые получаются при решении по правилу Крамера системы линейных уравнений, получающейся из (2) при y1 = y2 =… = yn1 = 0, yп = 1. Действительно, при этих значениях переменных х1,х2,…,хn форма f равна нулю, если yп2 не входит в нормальный вид этой формы, и равна –1, если yп2 входит в нормальный вид со знаком минус.

С помощью доказанной теоремы нельзя по коэффициентам формы установить, будет ли эта форма положительно определённой.

Пусть дана квадратичная форма f от п переменных с матрицей А = (aij). Миноры порядка 1,2,…,п этой матрицы, расположенные в её левом верхнем углу, то есть миноры

a11, , ,

из которых последний совпадает с определителем матрицы А, называются главными минорами формы f.

Теорема. Квадратичная форма f от п переменных с действительными коэффициентами тогда и только тогда будет положительно определённой, если все её главные миноры положительны.

Доказательство. При п = 1 теорема верна так как форма имеет в этом случае вид ах2 и поэтому положительно определена тогда и только тогда, если а > 0. Будем доказывать теорему для случая п переменных, предполагая, что для квадратичных форм от п – 1 переменных она уже доказана.

  1. Если квадратичная форма f с действительными коэффициентами, составляющими матрицу А, подвергается невырожденному линейному преобразованию с действительной матрицей Q, то знак определителя формы (то есть определителя её матрицы) не меняется.

Действительно, после преобразования получаем квадратичную форму с матрицей QТАQ, однако, ввиду detQТ = detQ

det(QТ АQ) = detQТ detАdetQ = detА(detQ)2

то есть определитель detА умножается на положительное число.

  1. Пусть теперь дана квадратичная форма



Её можно записать в виде

, (3)

где будет квадратичной формой ль п – 1 переменных, составленной из тех членов формы f, в которые не входит переменная хп. Главные миноры формы совпадают со всеми, кроме последнего, главными минорами формы f.

Пусть форма f положительно определена. Форма также будет в этом случае положительно определенной. Если бы существовали такие значения переменных х1,х2,…,хn1, не все равные нулю, при которых форма j получает не строго положительное значение, то, полагая дополнительно хn = 0, получили бы, ввиду (3), также не строго положительное значение формы f, хотя не все значения переменных х1,х2,…,хn1,хn равны нулю. Поэтому, по индуктивному предположению, все главные миноры формы j, то есть все главные миноры формы f, кроме последнего, строго положительны. Что касается последнего главного минора формы f, то есть определителя самой матрицы А, то его положительность вытекает из следующих соображений: форма f, ввиду её положительной определённости, невырожденным линейным преобразованием приводится к нормальному ввиду, состоящему из п положительных квадратов. Определитель этого нормального вида строго положителен, а поэтому ввиду сделанного выше замечания положителен и определитель самой формы f.

Пусть теперь положительны все главные миноры формы f. Из этого следует положительность всех главных миноров формы j, то есть по индуктивному предположению, положительная определённость этой формы. Существует, следовательно, такое невырожденное линейное преобразование переменных х1,х2,…,хn, которое приводит форму j к виду суммы п – 1 положительных квадратов от новых переменных y1, y2,…,yn – 1. Это линейное преобразование можно дополнить до невырожденного линейного преобразования всех переменных х1,х2,…,хn, полагая хn = yn. Ввиду (3) форма f приводится указанным преобразованием к виду

(4)

Точные выражения для коэффициентов bin здесь несущественны. Так как

,

то невырожденное линейное преобразование

i = 1,2,…,n – 1,



приводит, ввиду (4) форму f к каноническому виду



Для доказательства положительной определённости формы f остаётся доказать положительность числа с. Определитель формы, стоящей в правой части равенства (5), равен с. Этот определитель должен быть положительным, так как правая часть равенства (5) получена из формы f двумя невырожденными линейными преобразованиями, а определитель формы f был, как последний из главных миноров этой формы, положительным.

Замети, что по аналогии с положительно определёнными квадратичными формами можно ввести отрицательно определённые формы, то есть такие невырожденные квадратичные формы с действительными коэффициентами, нормальный вид которых содержит лишь отрицательные квадраты переменных.

Похожие:

Квадратичные формы 2 icon01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» содержание вступительного экзамена
Пространства и формы: размерность и базис, двойственное пространство, билинейные и квадратичные формы
Квадратичные формы 2 iconКвадратичные вычеты. Пусть р- простое, а < р, р Определение 1
Пример Пусть р = 7, тогда 1, 2, 4 – квадратичные вычеты, а 3, 5, 6 – не квадратичные вычеты
Квадратичные формы 2 iconКвадратичные формы и их применения
Определение. Квадратичной формой переменных,принимающих числовые значения, называется числовая функция вида
Квадратичные формы 2 iconЗадачи к зачету и проверочным работам (§5)
Вычислить первые квадратичные формы и углы между координатными линиями следующих поверхностей
Квадратичные формы 2 iconКвадратичные формы
В рассмотренных примерах мы имеем дело с функцией, которая в общем виде зависит от «n» переменных и задается определенной формулой,...
Квадратичные формы 2 iconЛинейные операторы и квадратичные формы
Определение Отображение L из линейного пространства в линейное пространство называется линейным отображением, или линейным оператором,...
Квадратичные формы 2 iconКвадратичные формы
Квадратичной формой f от п переменных х1,х2,…, хп называется сумма, каждый член которой является или квадратом одной из этих переменных,...
Квадратичные формы 2 iconСуммы гаусса и их приложения
Двучленные сравнения по простому модулю. Степенные вычеты. Квадратичные вычеты, символ Лежандра
Квадратичные формы 2 iconПрограмма курса «Алгебра и геометрия»
Определение билинейной формы; примеры. Представление билинейной формы в базисе, ее матрица, их соответствие. (Косо)симметричные билинейные...
Квадратичные формы 2 iconКвадратичные сортировки
Некоторые из этих отношений могут быть очевидны и использоваться очень часто, например: «число a больше числа B», «строка a длиннее...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org