Квадратичные формы



Скачать 124.45 Kb.
Дата14.05.2013
Размер124.45 Kb.
ТипДокументы

Квадратичные формы.


Квадратичной формой f от п переменных х1,х2,…, хп называется сумма, каждый член которой является или квадратом одной из этих переменных, или произведением двух разных переменных.

Введём следующие обозначения. Коэффициент при хi2 обозначим аii, а коэффициент при произведении хiхj при  j – через 2аij (если принять за bij коэффициент при хiхj, а за bji – коэффициент при хjхi, то 2аij bij + bji). Часто удобно записывать квадратичную форму в виде . Здесь можно считать, что при произведениях хiхj и хjхi стоят равные коэффициенты, но обозначенные по-разному – аij и аji, соответственно (аij = аji).

Из коэффициентов аij можно составить квадратную матрицу А = (аij) порядка п, которую будем называть матрицей квадратичной формы f, а её ранг – рангом квадратичной формы f. Если = п, то есть матрица – невырожденная, то и квадратичная форма f называется невырожденной. Элементы матрицы А, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой, то есть матрица А – симметрическая. Для любой симметрической матрицы А п-го порядка можно указать определённую квадратичную форму от п переменных, коэффициенты которой – элементы матрицы А.

Очевидно, что матрица А тогда и только тогда является симметрической, если она совпадает со своей транспонированной, то есть А = АТ. Обозначим через Х п-мерный вектор ХТ = (х1,х2,…, хп). Тогда, как легко убедиться, квадратичная форма с матрицей А может быть записана в виде произведения

fХТАХ (1)

Пусть переменные х1,х2,…, хп выражаются через переменные у1,у,…, уп по формулам

gif" name="object2" align=absmiddle width=173 height=45> (2)

Матрицу коэффициентов qik обозначим через Q. Формулы (2) будем называть формулами линейного преобразования с матрицей Q. Будем считать элементы матрицы А действительными числами. Обозначим столбец из переменных у1,у,…,уп через Y, тогда преобразование (2) можно записать в виде матричного равенства

= QY (3)

Отсюда следует, что

XТ = YТQТ (4)

Подставляя (3) и (4) в (1), получаем

f = (YТQТ)А(QY) = YТ(QТАQ)Y

или

f = YТВY,

где = QТАQ.

Матрица В – симметрическая, так как BТ = QТАТ= QТА= B. Таким образом, квадратичная форма от п переменных, имеющая матрицу А, после выполнения линейного преобразования с матрицей Q превращается в квадратичную форму от новых переменных, причём матрицей этой формы служит произведение QТАQ.

Предположим, что преобразование (2) – невырожденное, то есть Q – невырожденная матрица. Произведение QТАQ получается в этом случае умножением матрицы А на невырожденные матрицы, и поэтому ранг этого произведения равен рангу матрицы А. Таким образом, ранг квадратичной формы не меняется при выполнении невырожденного линейного преобразования.

Если у квадратичной формы все коэффициенты при произведениях различных переменных равны нулю, то вид этой квадратичной формы называется каноническим. Предположим, что квадратичная форма f от п переменных х1,х2,…,хп некоторым невырожденным линейным преобразованием приведена к каноническому виду

, (5)

где у1,у2,…, уп – новые переменные. Некоторые из коэффициентов b1,b2,…,bп могут быть нулями. Очевидно, что число отличных от нуля коэффициентов в (5) равно рангу r формы f.

Основная теорема о квадратичных формах. Всякая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду. Если при этом рассматривается действительная квадратичная форма, то все коэффициенты указанного линейного преобразования можно считать действительными.

Доказательство проведём по индукции по числу переменных квадратичной формы. Для квадратичной формы от одной неизвестной теорема верна, так как такая квадратичная форма имеет вид ах2, являющийся каноническим. Пусть дана квадратичная форма

(6)

от п неизвестных х1,х2,…, хп. Найдём такое невырожденное линейное преобразование, которое выделило бы из f квадрат одной из переменных, то есть привело бы f к виду суммы этого квадрата и некоторой квадратичной формы от остальных переменных. Пусть среди коэффициентов , стоящих в матрице формы f на главной диагонали, есть отличные от нуля, то есть в (6) входит с отличным от нуля коэффициентом хотя бы одна из переменных хi.

Пусть а11  0. Тогда квадратичная форма , содержит такие же члены с неизвестным х1, как и квадратичная форма f. Поэтому разность



является квадратичной формой, содержащей лишь переменные х2,…, хп. Если ввести обозначения

при = 2,3,…,п (7)

то получится

f = a11–1y12 + g, (8)

где g – квадратичная форма от у2,…, уп. Выражение (8) есть искомое выражение для формы f, так как оно получено из (6) линейным преобразованием. Это преобразование не вырождено, так как оно обратно линейному преобразованию (7), которое имеет определитель, равный а11, и поэтому не вырождено.

Если имеют место равенства а11 а22 =…= апп = 0, то проводится вспомогательное линейное преобразование, приводящее к появлению в квадратичной форме f квадратов переменных. Предположим, что в форме f коэффициент а12  0.

Проведём линейное преобразование

х1 = z1 – z2, х2 = z1 + z2, хzi при = 3,4,…,n. (9)

Это преобразование не вырождено, так как его определитель не равен нулю:

=2

В результате этого преобразования член 2а12х1х2 примет вид

2а12х1х2 = 2а12(z1 – z2)( z1 + z2) = 2а12z12 – 2а12z22,

то есть в f появятся квадраты двух переменных с отличными от нуля коэффициентами, причём не приводимые ни с какими другими членами f, так как последние имеют множителями одну из переменных z3, z4,…, zп. Теперь ещё одним невырожденным преобразованием f можно привести к виду (8).

Квадратичная форма g зависит от меньшего, чем п числа переменных и по предположению индукции некоторым невырожденным преобразованием переменных у2,…, уп приводится к каноническому виду. Это преобразование, рассматриваемое как преобразование всех п переменных, при котором у1 остаётся неизменным, приводит (8) к каноническому виду. Таким образом, квадратичная форма f двумя или тремя линейными преобразованиями, которые можно заменить одним невырожденным преобразованием – их произведением, приводится к виду суммы квадратов переменных с некоторыми коэффициентами. Число этих квадратов равно рангу формы r.

Если квадратичная форма f действительная, то коэффициенты как в каноническом виде формы f, так и в линейном преобразовании, приводящем f к этому виду, являются действительными, так как и линейное преобразование (7) и обратное ему линейное преобразование имеют действительные коэффициенты.

Закон инерции


Рассмотрим произвольные квадратичные формы с комплексными коэффициентами и предположим, что возможны невырожденные линейные преобразования с комплексными коэффициентами. Всякая квадратичная форма f от п неизвестных, имеющая ранг r, приводится к каноническому виду

, (1)

где все коэффициенты с1, с2,…, сr отличны от нуля. Из каждого комплексного числа можно извлечь квадратный корень, и поэтому при выполнении линейного преобразования

при = 1,2,…,r; zj = yj при j = r + 1,…,n

квадратичная форма f приводится к виду

f = z12 + z22 +…+ zn2,

который называется нормальным.

Нормальный вид зависит только от ранга формы f, то есть все квадратичные формы ранга r можно привести к одному и тому же нормальному виду (1). Поэтому если формы f и g от п переменных имеют одинаковый ранг r, можно перевести f в (1), а затем (1) в g, то есть существует невырожденное линейное преобразование, переводящее f в g. Отсюда следует вывод:

Две комплексные квадратичные формы от п переменных тогда и только тогда переводятся друг в друга невырожденными линейными преобразованиями с комплексными коэффициентами, если эти формы имеют один и тот же ранг.

Отсюда вытекает, что каноническим видом комплексной квадратичной формы ранга r может служить всякая сумма квадратов r переменных с любыми отличными от нуля комплексными коэффициентами.

Пусть теперь рассматриваются квадратичные формы с действительными коэффициентами и возможны лишь линейные преобразования с действительными коэффициентами. В этом случае к виду (1) приводится не всякая квадратичная форма ранга r, так как для этого, возможно, пришлось бы извлекать корень из отрицательного числа. Если принять за нормальный вид квадратичной формы сумму квадратов нескольких переменных с коэффициентами +1 или –1, то можно утверждать, что всякую действительную квадратичную форму f можно привести невырожденным линейным преобразованием к нормальному виду.

Доказательство. Форма f ранга r от п переменных приводится к каноническому виду, который можно записать следующим образом, меняя, если нужно, нумерацию переменных:

,

где все числа с1,…,сk,с+ 1,…, сr отличны от нуля и положительны. Тогда невырожденное линейное преобразование с действительными коэффициентами

при = 1,2,…,r, при = k + 1,2,…,п

приводит f к нормальному виду

.

Число входящих сюда квадратов равно рангу формы.

Действительная квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду многими различными преобразованиями, однако с точностью до нумерации переменных она приводится лишь к одному нормальному виду. Это следует из теоремы, называемой законом инерции действительных квадратичных форм.

Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная квадратичная форма с действительными коэффициентами действительным невырожденным линейным преобразованием, не зависят от выбора этого преобразования.

Пусть квадратичная форма f ранга r от п переменных х1,х2,…, хп двумя способами приведена к нормальному виду



(2)

Так как переходы от переменных х1,х2,…, хп к переменным у1,у2,…, уп и к переменным z1,z2,…, zп были невырожденными преобразованиями, то обратные переходы от вторых переменных к исходной так же будут невырожденными линейными преобразованиями

i = 1,2,…,п (3)

j = 1,2,…,п (4)

И в (3) и в (4) коэффициенты – действительные числа. Предположим, что < l и примем условия

у1 = 0,…, уk = 0,z+ 1 = 0,…, z= 0 (5)

Если эти значения подставить в (3) и (4), то получится система из  k + l линейных однородных уравнений с п неизвестными х1,х2,…, хп. Такая система имеет ненулевое действительное решение 1, 2,…, п.

Заменим теперь в равенстве (2) все y и все z их выражениями (3) и(4), а затем подставим вместо переменных х1,х2,…, хп числа 1, 2,…, п. Если через уi() и zj() обозначить значения переменных уi и zj, получающиеся после такой подстановки, то (2) превращается в равенство

уk + 12() –…– уr2() = z12() + … + zl2() (6)

Так как все коэффициенты в (3) и (4) действительные, то все квадраты, входящие в равенство (6) положительны, и поэтому (6) влечёт за собой равенство нулю всех этих квадратов; отсюда следуют равенства

z1() = 0,…,zl() = 0 (7)

По выбору чисел 1, 2,…, п

zl + 1() = 0,…, zr() = 0,…, zп() = 0. (8)

Таким образом, система п линейных однородных уравнений

zi = 0, = 1,2,…,n

с п неизвестными х1,х2,…, хп имеет ввиду (7) и (8) ненулевое решение 1, 2,…,п, то есть определитель этой системы должен быть равен нулю. Это противоречит тому, что преобразование (4) предполагалось невырожденным. К такому же противоречию можно прийти при > l. Отсюда следует равенство = l, доказывающее теорему.

Похожие:

Квадратичные формы icon01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» содержание вступительного экзамена
Пространства и формы: размерность и базис, двойственное пространство, билинейные и квадратичные формы
Квадратичные формы iconКвадратичные формы 2
Число отрицательных квадратов называется отрицательным индексом инерции. Разность между положительным и отрицательным индексами инерции...
Квадратичные формы iconКвадратичные вычеты. Пусть р- простое, а < р, р Определение 1
Пример Пусть р = 7, тогда 1, 2, 4 – квадратичные вычеты, а 3, 5, 6 – не квадратичные вычеты
Квадратичные формы iconКвадратичные формы и их применения
Определение. Квадратичной формой переменных,принимающих числовые значения, называется числовая функция вида
Квадратичные формы iconЗадачи к зачету и проверочным работам (§5)
Вычислить первые квадратичные формы и углы между координатными линиями следующих поверхностей
Квадратичные формы iconКвадратичные формы
В рассмотренных примерах мы имеем дело с функцией, которая в общем виде зависит от «n» переменных и задается определенной формулой,...
Квадратичные формы iconЛинейные операторы и квадратичные формы
Определение Отображение L из линейного пространства в линейное пространство называется линейным отображением, или линейным оператором,...
Квадратичные формы iconСуммы гаусса и их приложения
Двучленные сравнения по простому модулю. Степенные вычеты. Квадратичные вычеты, символ Лежандра
Квадратичные формы iconПрограмма курса «Алгебра и геометрия»
Определение билинейной формы; примеры. Представление билинейной формы в базисе, ее матрица, их соответствие. (Косо)симметричные билинейные...
Квадратичные формы iconКвадратичные сортировки
Некоторые из этих отношений могут быть очевидны и использоваться очень часто, например: «число a больше числа B», «строка a длиннее...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org