Решение. 1 Параметрические уравнения прямого геликоида имеют вид



Скачать 34.81 Kb.
Дата14.05.2013
Размер34.81 Kb.
ТипРешение
§5. Первая квадратичная форма поверхности. Длина дуги. Угол между кривыми на поверхности.

Пусть гладкая поверхность задана . Тогда - первая квадратичная форма, где .

Длина дуги кривой .

Угол между кривыми и



  1. Найти первую квадратичную форму прямого геликоида.

Решение. 1) Параметрические уравнения прямого геликоида имеют вид: .

2) Найдем . Тогда , , . Итак, первая квадратичная форма прямого геликоида имеет вид . 

  1. Поверхность имеет первую квадратичную форму . На ней дан криволинейный треугольник Т, ограниченный линиями . Найти длины его сторон, величины углов и площадь.




Решение. 1) Вычислим длины сторон треугольника Т.

Зададим . Вычислим . Тогда . Аналогично, , . Тогда и gif" name="object23" align=absmiddle width=92 height=49>.

2) Вычислим углы треугольника Т.

Рассмотрим точку . Ей отвечают значения параметров . Имеем в любой точке, в частности в точке . в любой точке, в частности в точке . Тогда . Аналогично, . Угол в вершине О () треугольника определить не можем, так как эта точка не попадает в область задания поверхности ().

3) Вычислим площадь треугольника. . 
Нахождение ортогональной траектории дли заданного семейства кривых на поверхности. Пусть дана гладкая поверхность и однопараметрическое семейство линий на поверхности (- параметр). Линия, пересекающая все кривые семейства под прямым углом, называются ортогональной траекторией семейства . Требуется найти уравнение этой ортогональной траектории. Пусть - искомая ортогональная траектория. - кривая из семейства . Тогда . Продифференцируем это тождество: можно положить . Так как угол , . Тогда по формуле для вычисления угла между кривыми получим или . Сократив на , получим дифференциальное уравнение, проинтегрировав которое, найдем параметрическое представление ортогональной траектории:

(*)


  1. В условиях задачи 2 найти какую-либо ортогональную траекторию семейства .

Решение. Подставим данные задачи в уравнение (*). Имеем . Тогда . Интегрируем , то есть - уравнения ортогональных траекторий. Ÿ
Задачи к зачету и проверочным работам (§5).

  1. Вычислить первые квадратичные формы и углы между координатными линиями следующих поверхностей:

а) сферы

б) гиперболического параболоида

в) двуполостного гиперболоида вращения

г) тора .

  1. Доказать, что поверхность является гиперболическим параболоидом и найти угол между линиями и .

  2. На прямом геликоиде вычислить угол между линиями: а) и ; б) и .

  3. На поверхности вычислить угол между линиями и .

  4. Доказать, что поверхность - конус и линия делит пополам углы между координатными линиями.

  5. Доказать, что линии на поверхности, заданные дифференциальными уравнениями , ортогональны.

  6. На поверхности найти все линии, пересекающие координатные линии под прямым углом.

  7. На поверхности найти кривую, пересекающую все координатные линии под углом .

  8. Дана первая квадратичная форма поверхности . Найти периметр криволинейного треугольника, ограниченного линиями .

  9. Найти площадь треугольника, образованного пересечением линий и на поверхности с первой квадратичной формой .

  10. Под каким углом пересекаются линии и на прямом геликоиде ? А под каким углом эти же линии пересекаются на сфере ?

  11. Найти длины сторон, величины углов и площадь треугольника, ограниченного кривыми , найти ортогональные траектории семейства , если первая квадратичная форма имеет вид:

а)

б)

в)

г)

д) .

  1. Найти площадь выпуклой области на сфере, ограниченной одним циклом кривой Вивиани (кривой, являющейся пересечением сферы радиуса и прямого кругового цилиндра диаметра , одна из образующих которого проходит через центр сферы).

  2. Найти площадь прямоугольного треугольника на сфере радиуса , сторонами которого являются дуги больших окружностей этой сферы.





Похожие:

Решение. 1 Параметрические уравнения прямого геликоида имеют вид iconЗадача 353. Определить радиус кривизны траектории точки в начале движения, если уравнения её движения имеют вид x=2t; y=t 2
Заданные уравнения можно рассматривать как компоненты смещения, одинаковые для всех частиц тела. Тогда уравнения движения частиц...
Решение. 1 Параметрические уравнения прямого геликоида имеют вид iconРешение проблемы Дарбу о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки
Эйлера угол процессии, угол собственного вращения, угол нутации. Кинематические уравнения Эйлера имеют вид /1
Решение. 1 Параметрические уравнения прямого геликоида имеют вид iconРешение дифференциального уравнения. Начальные условия и задача Коши
...
Решение. 1 Параметрические уравнения прямого геликоида имеют вид iconОпределение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения и их решения
Ввести понятия квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения. Сформировать умения различать квадратные уравнения, определять...
Решение. 1 Параметрические уравнения прямого геликоида имеют вид iconРешение уравнения 2 Общее решение дифференциального уравнения
Для дифференциального уравнения найти частный интеграл, удовлетворяющий начальным условиям y(0)=1
Решение. 1 Параметрические уравнения прямого геликоида имеют вид iconКонтрольная работа №3 Аналитическая геометрия тема аналитическая геометрия Уравнения линии в декартовой системе координат. Параметрические уравнения линии
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учеб для вузов. 5-е изд., стер. М.: Физматлит, 2002. – 317 с
Решение. 1 Параметрические уравнения прямого геликоида имеют вид iconРешение уравнения? Тождественное преобразование. Основные виды тождественных преобразований
Решение уравнения – это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным. Такая замена...
Решение. 1 Параметрические уравнения прямого геликоида имеют вид iconРешение нелинейных уравнений: методы отделения корней. Нелинейными уравнениями называются уравнения вида
В этом случае решение уравнения 1) находят с применением приближённых (численных) методов. В этом случае решением нелинейного уравнения...
Решение. 1 Параметрические уравнения прямого геликоида имеют вид iconМетоды решения тригонометрических уравнений
Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение...
Решение. 1 Параметрические уравнения прямого геликоида имеют вид iconЛекция «Целые рациональные уравнения»
Сведение уравнения к квадратному с помощью удачной подстановки. 13 Решение возвратных и обобщенных возвратных уравнений. 23 Решение...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org