Первая квадратичная форма поверхности



Скачать 19.34 Kb.
Дата14.05.2013
Размер19.34 Kb.
ТипДокументы
§9. Первая квадратичная форма поверхности.

Пусть - гладкая поверхность. Рассмотрим дифференциал этой векторной функции . Возьмем его скалярный квадрат: . Обозначим . Мы получили в каждой точке поверхности квадратичную форму на векторном пространстве . Так как , полученная квадратичная форма положительно определенная. Эта квадратичная форма задает евклидову структуру в касательном векторном пространстве , то есть превращает его в двумерное евклидово векторное пространство.

Определение. Квадратичная форма называется первой квадратичной формой поверхности или ее линейным элементом.

Заметим, что коэффициенты первой квадратичной формы являются функциями от и - криволинейных координат на поверхности.

Что можно вычислить с помощью первой квадратичной формы?

1. Длина кривой на поверхности.

Рассмотрим линию на поверхности . Пусть . Тогда . Продифференцируем это тождество по : . Вычислим длину кривой .



2. Угол между кривыми на поверхности.

Пусть и две гладкие кривые поверхности gif" name="object22" align=absmiddle width=17 height=17>, проходящие через точку М.




Углом между кривыми и в точке М называется угол между их касательными векторами в этой точке.

Рассмотрим касательные векторы и этих кривых в точке М. Умножим первый вектор на ненулевое число , а другой на ненулевое число . Получим опять касательные векторы и этих кривых. Разложим эти векторы по базису : . Обозначим угол между кривыми и через и вычислим .

Если, в частности, - линия (то есть , ), - линия (то есть , ), то .

Вывод: координатная сеть ортогональна тогда и только тогда, когда .

3. Площадь поверхности.

Пусть - гладкая поверхность. Разобьем область прямыми параллельными координатным осям . Этим прямым на поверхности будет соответствовать координатная сеть. Пусть - прямоугольник в ; ему соответствует криволинейный прямоугольник на поверхности . Он мало отличается от параллелограмма со сторонами и . Площадь параллелограмма равна . Тогда площадь поверхности . Переходя к пределу, получим .




Итак, .

Похожие:

Первая квадратичная форма поверхности iconРешение. 1 Параметрические уравнения прямого геликоида имеют вид
Первая квадратичная форма поверхности. Длина дуги. Угол между кривыми на поверхности
Первая квадратичная форма поверхности icon§11. Кривизна кривой на поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности
Рассмотрим гладкую кривую на поверхности. При перемещении точки м вдоль кривой ее касательный вектор раскладывается по базисным векторам...
Первая квадратичная форма поверхности iconПрограмма по дифференциальной геометрии
Первая фундаментальная форма. Длина кривой вдоль поверхности. Угол между кривыми вдоль поверхности
Первая квадратичная форма поверхности iconПрограмма по дифференциальной геометрии
Первая фундаментальная форма. Длина кривой вдоль поверхности. Угол между кривыми вдоль поверхности
Первая квадратичная форма поверхности icon§16. Изометрические поверхности. Изгибание поверхности
Биекция переведет ее в линию на поверхности. Будем называть эту линию линией поверхности. Аналогично вводится понятие линии поверхности....
Первая квадратичная форма поверхности iconМатематическое программирование
В математическом программировании выделяют линейное программирование – когда функции и линейны, квадратичное программирование, когда...
Первая квадратичная форма поверхности icon5 Поверхности
Большинство команд, генерирующих поверхности, автоматически строят необходимые линии и ключевые точки; подобным же образом появляется...
Первая квадратичная форма поверхности iconТест 2 Квадратичная функция Вариант 1

Первая квадратичная форма поверхности iconПрограмма (раздел курса) Форма проведения 2 3 Математика
Аналитическая геометрия, Линии второго порядка. Поверхности вращения, n-мерное векторное пространство, проективные преобразования...
Первая квадратичная форма поверхности iconДмн, проф. Нартайлаков М. А
Клинический диагноз: Синдром диабетической стопы, ишемическая форма; трофическая язва подошвенной поверхности левой стопы
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org