Урок #16. Выявляют основные понятия изучаемой геометрии



Скачать 47.96 Kb.
Дата17.05.2013
Размер47.96 Kb.
ТипДокументы
8 февраля. Урок #16.

  1. Выявляют основные понятия изучаемой геометрии.

  2. Все понятия геометрии определяют через основные.

  3. Выбирают аксиомы – предложения, принимаемые без доказательства и составляющие основу для доказательства теорем. Список аксиом должен быть таким, чтобы, опираясь на них, можно было получить необходимые выводы.

  4. После того, как выделены основные понятия и сформулирован список аксиом, все дальнейшие утверждения (теоремы) выводятся чисто логическим путем.



Аксиомы:




1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
2. Через произвольные две точки можно провести прямую и притом только одну.
Следствие 1.1. 

Две различные прямые либо не пересекаются, либо пересекаются только в одной точке.

3. Из трех разных точек, которые лежат на одной прямой, одна и только одна лежит между двумя другими.


Отрезком называется часть прямой, которая содержит две разные точки A и B этой прямой (концы отрезка) и все точки прямой, которые лежат между ними (внутренние точки отрезка).
4. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равняется сумме длин частей, на которые он разбивается любой своей внутренней точкой. AB = AC + CB.
5. На любом луче от его начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
Говорят, что две точки A и B, не лежащие на данной прямой, лежат по одну сторону от нее, если отрезок AB не пересекает данную прямую. Совокупность всех точек, лежащих по одну сторону от прямой, называется полуплоскостью.



6. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
Следствие 1.2. 

Можно доказать, что если точки C и D лежат в разных полуплоскостях от прямой a, то отрезок CD пересекает прямую a.

Лучом называется часть прямой, состоящая из всех точек, которые лежат по одну сторону от фиксированной точки прямой, и самой этой точки, называемой началом луча. Разные лучи одной прямой с общим началом называются дополнительными. Лучи AB и AC, изображенные на рис, являются дополнительными.



Уjpg" name="graphics6" align=left hspace=12 width=180 height=88 border=0>глом называется фигура, состоящая из точки (вершина угла) и двух различных лучей с началами в этой точке – сторон угла.

Угол разбивает плоскость на две части. Каждая часть называется плоским углом. Дополнительными углами называются плоские углы с общими сторонами.

Угол называется развернутым, если его стороны являются дополнительными лучами .



Говорят, что луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла.

7. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

8. От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.

Два угла будем называть равными, если их градусные меры равн
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны являются дополнительными лучами.

Легко доказать следующие теоремы о смежных углах:

 cумма смежных углов равна 180°;

 если два угла равны, то равны и смежные им углы.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого угла.
Теорема о сумме смежных углов позволяет доказать, что вертикальные углы равны.
Определение . 

Углом между прямыми a и b называется меньший из углов с вершиной в точке A сторонами которого являются пара лучей, принадлежащих разным прямым.

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Для обозначения перпендикулярности прямых a и b, будем пользоваться символом

Теорема. 

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую и только одну.

Пусть a – данная прямая, а точка A принадлежит прямой. Кроме того, [AB) – один из лучей прямой a. Тогда от луча AB можно отложить угол BAC, равный 90° (аксиома 8.). По определению прямая AC ┴ a.




4




Докажем, что такая прямая AC единственная. Допустим, что существует другая прямая, проходящая через точку A, не совпадающая с прямой AC и перпендикулярная к прямой a. Пусть D – какая-либо точка этой прямой, лежащая в той же полуплоскости от a, что и точка С. Тогда BAC =  BAD = 90°. Но это противоречит аксиоме 2.2, по которой от прямой в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90°. Теорема доказана.

Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются.

Для обозначения параллельности прямых будем пользоваться символом ||.

9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Прямая a называется секущей по отношению к прямым b и c, если она пересекает обе прямые.

Cледующая теорема дает достаточные условия параллельности (т.е. условия, выполнение которых гарантирует параллельность) двух прямых. Иначе такую теорему можно назвать признаком параллельности прямых:

Теорема. 

Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Докажем теорему так называемым методом от противного: предположим, что условие теоремы выполнено, а именно: прямые AB и CD образуют с секущей AC равные внутренние накрестлежащие углы, но вопреки утверждению теоремы прямая AB не паралельна прямой CD и, следовательно, они пересекаются в точке O, которая лежит в одной из полуплоскостей от прямой AC.


1




Отложим от луча АC треугольник AO1C, равный COА, так, что вершина O1 лежит в другой, нежели точка O, полуплоскости. Из равенства этих треугольников следует, что, OAC = O1CA, OCA = O1CA, по условию: OAC = ACD и тогда точки O, C, O1 лежат на одной прямой, и, аналогично, из равенства по условию углов OCA и смежного к BAC следует, что точки O1, A, O лежат также на одной прямой. Отсюда следует, что через две различные точки O и O1 плоскости проходят две различные прямые AB и CD. Это противоречит аксиоме 2. Полученное противоречие доказывает теорему.

Учебник А. В. Погорелова ( 7-11кл, 7 кл, распачатка) стр.30##1-3, 8, 13, 19.

Похожие:

Урок #16. Выявляют основные понятия изучаемой геометрии iconСправочник по планиметрии § Основные понятия геометрии Геометрия
Сведения по геометрии попали к грекам, которые вели с египтянами оживленную торговлю. Греческий ученый Евклид, живший в III веке...
Урок #16. Выявляют основные понятия изучаемой геометрии iconВлияние на методологическую культуру
Поэтому, зачастую, первые понятия изучаемой им науки, попадают ему в память, минуя «сторожа – критику». Далее эти понятия входят...
Урок #16. Выявляют основные понятия изучаемой геометрии iconУрок №1. Тема. Введение. Основные понятия генетики
Изучить основные понятия генетики, общие методические рекомендации по решению генетических задач, алгоритм решения генетических задач,...
Урок #16. Выявляют основные понятия изучаемой геометрии iconОсновные понятия о множествах
Одним из основных понятий математики является понятие множества, и, как каждое основное понятие, не поддаётся точному определению...
Урок #16. Выявляют основные понятия изучаемой геометрии iconУрок n п п Содержание урока Тема I. Повторительно-обобщающий курс по механике (9 класс ) ( 12 ч.) Урок 1\1; 2\2
Повторение темы " Основные понятия и уравнения кинематики. Относительность механического движения."
Урок #16. Выявляют основные понятия изучаемой геометрии iconУрок по геометрии в 8-м классе по теме: "Теорема Пифагора "
Воспитание устойчивого интереса к изучению предмета геометрии, понимания роли геометрии в решении практических задач, возникающих...
Урок #16. Выявляют основные понятия изучаемой геометрии icon"Основные понятия и аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей"
Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве
Урок #16. Выявляют основные понятия изучаемой геометрии icon2. Основы аналитической геометрии 1Основные понятия аналитической геометрии. Уравнения окружности и сферы
Аналитическая геометрия – это геометрия, изучаемая средствами алгебры с использованием систем координат. В аналитической геометрии...
Урок #16. Выявляют основные понятия изучаемой геометрии iconТема: «Странички истории геометрии»
Родина геометрии Древний Египет. Первые шаги геометрии в Китае, Индии, Вавилоне, Ассирии были связаны с необходимостью измерять....
Урок #16. Выявляют основные понятия изучаемой геометрии iconУрок геометрии в 7-м классе
Краткая история возникновения и развития геометрии. Начальные геометрические сведения
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org