Комплексные числа



Скачать 80.72 Kb.
Дата17.05.2013
Размер80.72 Kb.
ТипДокументы



Комплексные числа


Комплексным числом называется выражение вида + iy, где х и у – действительные числа, а i – символ, который называется мнимой единицей. Числа х и у называются, соответственно, действительной и мнимой частями комплексного числа + iy и обозначаются символами

х = Re(+ iy), y = Im(+ iy) (1)

Если, в частности, у = 0, то + i0 считается совпадающим с числом х; если х = 0, то 0+ iy обозначается просто iy и называется чисто мнимым.

Два комплексных числа x1+ iy1 и x2 + iy2 считаются равными, если x1 = x2 и y1 = y2. Число x1 iy1 называется комплексно сопряжённым числу x1+ iy1 и обозначается .

Суммой комплексных чисел z1 = x1+ iy1 и z2 = x2+ iy2 называется комплексное число

z1 (z2 z3) = (z1 z2z3 (2)

Из данного определения вытекают следующие законы сложения

  1. переместительный ;

  2. сочетательный

Сложение допускает обратную операцию: для двух любых комплексных чисел z1 = x1+ iy1 и z2 = x2+ iy2 можно найти такое число z, что z2 + z = z1. Это число называется разностью чисел z1  и z2 и обозначается z1 – z. Очевидно,

gif" name="object7" align=absmiddle width=204 height=24>

Произведением z1 z2 комплексных чисел z1 = x1+ iy1 и z2 = x2+ iy2 называется комплексное число

(3)

Из этого определения вытекают следующие законы умножения:

  1. переместительный z1 z2 = z2 z1;

  2. сочетательный z1 (z2 z3) = (z1 z2z3;

  3. распределительный относительно сложения z1 (z2 + z3) = z1 z2z1z3

Если z1 и z2 – действительные числа, то определение (3) совпадает с обычным. При z1 = z2 = i из определения произведения следует

i= –1 (4)

Произведение комплексного числа на сопряженное с ним всегда неотрицательно:



Умножение допускает обратную операцию, если только данный множитель не равен нулю. Пусть z2  0, тогда можно найти такое число z, что z2z = z1; для этого, согласно (3), надо решить систему уравнений

,

которая при z2  0 всегда имеет единственное решение, так как её определитель . Это число z называется частным двух чисел z1 и z2 и обозначается символом z1 / z2. Решая последнюю систему уравнений, получаем

(5)

Формулу (5) можно получить умножением числителя и знаменателя дроби на .

Произведение п равных чисел z называется п-й степенью числа z и обозначается символом zп. Обратная операция – извлечение корня – определяется так: число  называется корнем п-й степени из числа z, если п = z. Это число обозначается символом , причём для п = 2 пишут .

Равенство (4) можно записать в виде i2 = –1 и для мнимой единицы i получаем

(6)

Геометрическая иллюстрация.


Рассмотрим плоскость декартовых координат х0у, и будем изображать комплексное число = x + iy точкой с координатами (x, y). При этом действительные числа будут изображаться точками оси х, которую мы будем называть действительной осью, чисто мнимые – точками оси у – мнимой оси.

Очевидно и обратное – каждой точке плоскости х0у с координатами (x, y) можно поставить в соответствие вполне определённое комплексное число = x + iy, так что это соответствие между множеством всех комплексных чисел и всех точек плоскости взаимно однозначно. Поэтому в дальнейшем не будем различать числа и точки плоскости.

Каждой точке (x, y) соответствует вполне определённый вектор, исходящий из начала координат – радиус-вектор этой точки, а каждому радиусу- вектору, лежащему в плоскости, – вполне определённая точка – его конец. Комплексные числа в дальнейшем будут представляться в виде радиусов векторов на плоскости.

Если представить комплексные числа в виде радиусов-векторов, то легко понять геометрический смысл сложения и вычитания комплексных чисел. Сумма и разность комплексных чисел z1 и z2 изображаются соответственно векторами , равными направленным диагоналям параллелограмма, построенного на векторах z1 и z2.

Наряду с представлением комплексных чисел в декартовых координатах, эти числа можно представлять в полярных координатах. Для этого совмещаем полярную ось с положительной полуосью х, а полюс – с началом координат. Тогда, если обозначить через r полярный радиус и через  – полярный угол точки z, то получим

= x + iy = r(cos j + isinj) (7)

Полярный радиус r называется модулем комплексного числа z и обозначается символом z, а угол j – его аргументом и обозначается символом Arg z. Модуль комплексного числа определяется однозначно

, (8)

Аргумент определён лишь с точностью до любого слагаемого, кратного 2



Здесь , k – произвольное целое число. Символом Argz обозначается всё множество значений аргумента, символом argz обозначается одно какое-то значение аргумента (в случае надобности оговаривается, какое).

Аналитически или используя геометрическое представление можно доказать следующие неравенства:



Знаки равенства в последних формулах имеют место тогда и только тогда, когда Argz1 = Argz2 или одно из чисел – нуль.

Из определения произведения двух комплексных чисел следует, что при их перемножении модули сомножителей перемножаются, а аргументы складываются:

(9)

Отсюда следует, что при умножении комплексного числа z1 на z2 вектор z1 растягивается в z2 раз при z2 > 1 или сжимается в 1/z2 раз при z2 < 1. Кроме того, при этом вектор z1 поворачивается на угол argz2 против часовой стрелки. В частности, умножение комплексного числа z на i сводится к повороту (без растяжения) вектора z на прямой угол против часовой стрелки.

Деление комплексного числа z1 на z2 сводится к умножению z1 на 1/ z2. Выясним геометрический смысл операции  = 1/ z.

Пусть z < 1. Во-первых, заметим, что


Отсюда следует, что . Теперь обратимся к рисунку. На нём, в

частности, изображена единичная окруж­ность z = 1 и точка z, лежащая внутри неё. Из точки z восставлен перпендикуляр к лучу Oz и через точку w пересечения перпендикуляра с окружностью проведена касательная к этой окружности. Для точки пересечения построенной касательной с лучом Oz выполняется соотношение

Arg = Argz

Из подобия прямоугольных треугольников Ozw и Ow следует, что

,

но так как w = 1,



Таким образом, число является сопряжённым с числом 1/z, то есть .

Для получения числа s=1/z нужно построить точку, симметричную с относительно действительной оси.

Переход от точки z к точке называется инверсией или симметрией относительно единичной окружности z = 1. Операция s=1/z геометрически сводится к выполнению двух последовательных симметрий – инверсии и симметрии относительно действительной оси.

Если z > 1, то те же построения следует вести в обратном порядке. Если z = 1, то точка совпадает с z и построение s=1/z сводится к симметрии относительно действительной оси.

Геометрический смысл возведения в степень ясен из предыдущего. Для построения корней п-й степени из z заметим, что из определения корня и формулы (9) для выполняются равенства wп = z и n argw = argz, и поэтому

, (10)

Первое из этих соотношений показывает, что модули всех корней одинаковы, второе, – что их аргументы отличаются на кратное 2/п, так как к значению argz можно добавлять число, кратное 2. Отсюда следует, что корень п-й степени из любого комплексного числа  0 имеет п различных значений и что эти значения располагаются в вершинах правильного п-угольника, вписанного в окружность .

Похожие:

Комплексные числа iconУрок алгебры в 11 классе по теме «Комплексные числа»
Какие комплексные числа называются сопряженными? При выполнении какого действия чаще всего используют сопряженные числа?
Комплексные числа iconКомплексные числа, арифметика комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел
Комплексные числа получаются из действительных чисел добавлением нового числа, обладающего свойством
Комплексные числа iconКомплексные числа, геометрия комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел
Комплексные числа получаются из действительных чисел добавлением нового числа, обладающего свойством
Комплексные числа iconГосударственный образовательный стандарт высшего профессионального образования специальность 010100 Математика Квалификация Математик
Комплексные числа: комплексные числа, комплексная плоскость; модули и аргумент комплексного числа, их свойства; числовые последовательности...
Комплексные числа icon1. Комплексные числа
Комплексные числа – упорядоченная пара (x; y) действительных чисел, если для множества этих чисел определяется равенство и операции...
Комплексные числа iconКомплексные числа. Комплексные числа и арифметические операции над ними
Арифметические операции над действительными числами ( сложении е, вычитание, умножение и деление на число, отличное от нуля) снова...
Комплексные числа iconГосударственный образовательный стандарт высшего профессионального образования специальность 010500 Механика Квалификация Механик Москва 2000
Комплексные числа: комплексные числа, комплексная плоскость; модули и аргумент комплексного числа, их свойства; числовые последовательности...
Комплексные числа iconКомплексные числа
Комплексные числа представляют собой расширение множества действительных чисел. Впервые с необходимостью их введения математики столкнулись...
Комплексные числа icon«комплексные числа»
Поэтому в школьном курсе математики при решении квадратных уравнений, дискриминант которых меньше нуля, отмечалось, что такие уравнения...
Комплексные числа iconРешение задач с параметром на множестве комплексных чисел
Выбор темы: Комплексные числа математическая модель для описания и изображения материальных точек в решении прикладных задач по физике....
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org