Решение иррациональных уравнений



Скачать 115.56 Kb.
Дата08.10.2012
Размер115.56 Kb.
ТипРешение
Решение иррациональных уравнений

Ступина Л.В., шк.№ 616

Константинова Е.И., ОМЦ



Иррациональным уравнением называют уравнение, в котором неизвестная величина содержится под знаком радикала. Как правило, решение иррациональных уравнений связано с возведением в степень обеих его частей. При этом если обе части уравнения возвести в нечетную степень, то получим уравнение, равносильное данному. Если же обе части возвести в четную степень, то в общем случае получим уравнение, являющееся следствием исходного.

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными.

В процессе решения заданное уравнение заменяют более простым, при этом используют следующие правила преобразований уравнения в равносильное ему:

а) перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком;

б) обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же, отличное от 0 число;

в) уравнение можно заменить равносильной системой или решить f(x)=0, а затем отбросить те корни, которые обращают в 0 знаменатель.

1. Простейшие иррациональные уравнения
Правила равносильного перехода для простейших иррациональных уравнений:
а) если a>0, то f(x)=a2 (здесь проверять область допустимых значений f(x) не надо, так как f(x)=a2 - проверяется автоматически).
б) если xǾ.
в) если квадратный корень равен нулю, то и подкоренное выражение равно нулю:

f(x)=0.
Уравнения вида при n=2m решаются по аналогичным правилам.
г) если n=2m+1, то gif" name="object17" align=absmiddle width=24 height=18>f(x)=an.


Пример 1.

Решить уравнение: .

Решение:

Отметим, что равносильные переходы предпочтительнее, так как если при решении получаем иррациональные корни, то проверка может занять больше времени, чем было потрачено на собственно решение уравнения.

Так как 2>0, то возведение в квадрат приведет к равносильному уравнению:
x2 – 5 = 4 x2=9

Ответ: -3; 3.
Пример 2.

Решить уравнение: .

Решение:

xǾ, не имеет решения, так как по определению арифметического квадратного корня: - это неотрицательное число, квадрат которого равен a, a-2<0.

Ответ: решений нет
Пример 3.

Решить уравнение: x+8= (-5)3 x+8= -125 x= -133.

Ответ: -133.
Пусть в результате преобразований уравнения f1(x)=g1(x) (1) получено уравнение f2(x)=g2(x) (2).

Если каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2), то уравнение (2) называют следствием уравнения (1): (1) (2).

Корни уравнения (2), которые не удовлетворяют уравнению (1) называются посторонними и не считаются решениями уравнения.

К появлению посторонних корней могут привести (не обязательно всегда приводят) следующие преобразования:

-возведение в квадрат (или четную степень) обеих частей уравнения;

-умножение обеих частей уравнения на алгебраическое выражение, содержащее переменную.

Чтобы выяснить, имеются ли среди корней уравнения-следствия посторонние корни, необходимо проверить каждый из найденных корней подстановкой его в исходное уравнение. Но (как уже было сказано ранее) иногда проверка занимает больше времени, чем само решение уравнения. Поэтому можно поступить следующим образом: на каждом этапе решения уравнения определить промежутки, в которых могут находиться корни уравнения. Все корни, не принадлежащие этим промежуткам, являются посторонними и должны быть отброшены.

При изучении этой темы следует обратить особое внимание на использование ОДЗ (области допустимых значений) уравнения, ОДЗ уравнения определяется как общая часть областей определения функций f(x) и g(x). Однако, основываясь на определении, часто при решении уравнений допускаются неправильные рассуждения. Пусть найдена ОДЗ уравнения f(x)=g(x). Затем преобразуют его к уравнению f1(x)=g1(x) и находят корни последнего. После этого проверяют, какие из них принадлежат ОДЗ исходного уравнения, и все принадлежащие ОДЗ корни считают решениями первоначального уравнения. Самый простой пример показывает ошибочность данного рассуждения:

ОДЗ уравнения есть промежуток . Оба числа , полученные при решении уравнения возведенного в квадрат, принадлежат ОДЗ, но –4 не является корнем первоначального уравнения. Причина в этом случае ясна: x- корень уравнения только при , поскольку левая часть при любом x , удовлетворяющем этому условию неотрицательна. Поэтому мы не рекомендуем уделять большое внимание исследованию ОДЗ уравнений. Главное – это выработать четкие представления у учащихся о том, какое уравнение получено после преобразования: равносильное или следствие.

Если уравнение имеет вид f(x)*h(x)=g(x)*h(x), то деление обеих частей на h(x), (а это часто делают учащиеся) недопустимо, так как может привести к потери корней (h(x)=0, если они существуют).

2. Уравнения с одним радикалом вида

Здесь в правой части выражение g(x) может принимать как отрицательные, так и положительные значения. Возведение в квадрат является равносильным преобразованием, если g(x) . Если g(x)<0, то уравнение решений не имеет.
; (условие f(x) на область допустимых значений не включается в систему, оно проверяется автоматически, так как правая часть уравнения системы неотрицательна).

На что обратить внимание: часто учащиеся начинают решение с определения области допустимых значений и записывают: ОДЗ: - это неправильная формулировка условий.

Правильнее сформулировать условие лучшее следующим образом:

ОДЗ: f(x) , условие, возникающее при возведении в квадрат: g(x) .
Пример 4.

Решить уравнение: .

Решение:

x=3.

Ответ: 3
Пример 5.

Решить уравнения: .

Решение:



x=-2+,

Так как -2-<1.

Ответ: -2+
3. Уравнения с одним радикалом вида

Уравнение вида равносильно уравнению без радикала f(x)=g3(x).
f(x)=g3(x).
Пример 6.

Решить уравнение: .

Решение:

x+8= (2-x)3 x+8=8-12x+6x2-x3 x3-6x2+13x=0 x(x2-6x+13)=0 x=0, (x2-6x+13>0 для всех x, так как дискриминант <0).
4. Уравнение вида

Часто встречаются иррациональные уравнения вида (или приводятся к такому виду разложением на множители) . Это уравнение равносильно совокупности двух систем:

, или системе: .

Пример 7.

Решить уравнение:

Решение:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы из сомножителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл.



Ответ:
Пример 8.

Решить уравнение:

Решение:

x=-2.

Ответ: -2
Пример 9.

Решить уравнение: .

Решение:



Можно найти ОДЗ, и отбросить корни, которые не удовлетворяют ОДЗ, а можно подставить корни в неравенство и отбросить посторонние, что займет меньше времени:

x=3: 9-15+5<0 – не подходит

x=4: 16-20+5=1>0 - подходит x=1;4.

x=1: 1-5+5=1>0 – подходит

Ответ: 1; 4

5. Методы замены переменных

Еще одним часто встречающимся методом преобразования уравнения является метод замены переменных. Для уравнений этот метод состоит в следующем: данное уравнение приводят к виду g(f(x))=0, где z=g(f(x)) – сложная функция, являющаяся композицией двух функций y=f(x) и z=g(y). Если y=y1; y=y2;…y=yn;

все корни уравнения g(x)=0,

f(x)=y1

f(x)=y2

то g(f(x))=0 …….

f(x)=yn

Пример 11.

Решить уравнение: .

Решение:

. Замена приводит

к уравнению y2-4y=0

.
Таким образом, данное в примере уравнение равносильно совокупности уравнений



Так как были использованы только равносильные переходы, отдельная проверка корней, а также нахождение ОДЗ не требуется.

Ответ:2;7;
Пример 12.

Решить уравнение: .

Решение:

, применяя замену , уравнение можно переписать в виде равносильной системы:

Обратная замена:
Ответ: -7;2

6. Линейные комбинации двух и более радикалов.

Если уравнение содержит два и более радикала, то необходимо придерживаться следующих правил:

  1. указать область допустимых значений уравнения

  2. распределить радикалы по обеим частям, чтобы обе части уравнения стали неотрицательными

  3. только после этого возводить в квадрат левую и правую части уравнения.


Пример 13.

Решить уравнение: .

Решение:



Здесь были использованы только равносильные переходы, поэтому проверка корней и нахождение непосредственно ОДЗ необязательно.

Ответ: 28
Пример 14.

Решить уравнение: .

Решение:

Еще одно правило равносильного перехода:

Вернемся к решению нашего уравнения с учетом рассмотренного перехода:



Ответ: 1,5
Пример 15.

Решить уравнение: .

Решение:



Проверим, удовлетворяют ли полученные решения условию . Подставляя их в неравенство, мы гораздо быстрее осуществим отбор, чем, решая это неравенство.

, следовательно, x=0 не удовлетворяет нашему условию.

, следовательно, x=2 удовлетворяет нашему условию.

, следовательно, x=-2 не удовлетворяет нашему условию.

Ответ: 2
Пример 16.

Решить уравнение: .

Решение:


Заметим, что x=4/15 принадлежит ОДЗ уравнения, но не удовлетворяет условию , возникшему при втором возведении в квадрат. Таким образом, делая равносильные переходы на каждом этапе решения уравнения, мы внимательно отслеживаем промежутки, в которых должны находиться корни уравнения. Корни, которые не попадают в указанные промежутки, мы отбрасываем, как посторонние.

Ответ: 1


  1. Метод сведения иррационального уравнения с помощью замены к системе рациональных уравнений.

Пример 17.

Решить уравнение: .

Решение:

Пусть

Тогда .

Наше исходное уравнение примет вид:

Решим второе уравнение системы:



Итак, имеем: .

Ответ: 3


  1. Метод мажорант и экстремальных оценок.

Пример 18.

Решить уравнение: .

Решение:

Заметим, что

Аналогично, . Следовательно, левая часть уравнения .

Рассмотрим правую часть уравнения: .

Таким образом, равенство двух частей возможно тогда и только тогда, когда они одновременно равны 2, т.е.

.

Ответ: 0


  1. Умножение на сопряженное выражение.

Умножением на сопряженное выражение часто пользуются, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе. Для решения иррациональных уравнений также можно использовать умножение на сопряженное выражение, но обязательно нужно помнить о том, что мы получаем уравнение-следствие, поэтому необходима проверка корней.

Пример 19.

Решить уравнение: .

Решение:

Помножим исходное уравнение на сопряженное выражение


Проверка:

.

x=9 .

.

Проверка показала, что все решения являются корнями исходного уравнения.

Ответ: 6; 7,5; 9

  1. Метод решения уравнений путем нахождения и исследования ОДЗ.


Следует объяснить учащимся, что если уравнение кажется на первый взгляд достаточно сложным, то следует начать его решения с нахождения ОДЗ.
Пример 20.

Решить уравнение: .

Решение:

ОДЗ:

Область допустимых значений состоит из единственного значения. Проверим, является ли это значение корнем уравнения.

. Следовательно, x=1 корень нашего уравнения.

Ответ: 1


  1. Метод решения уравнений путем выделения полных квадратов под знаком радикала.


Пример 21.

Решить уравнение: .

Решение:

Заметим, что подкоренные выражения представляют собой полные квадраты. Действительно:





Напомним, что , пользуясь этим равенством, получим:

. Пусть . Тогда уравнение примет вид:



Вернемся к замене:

Ответ:


  1. Метод решения уравнений путем нетривиальной замены.

Пример 22.

Решить уравнение: .

Решение:

Будем преобразовывать уравнение, выделяя полные квадраты:



Введем новую переменную , тогда уравнение будет выглядеть следующим образом:



Найдем ОДЗ данного уравнения: .

Заметим, что область значений cosa на сщвпадает с областью значений нашей переменной t. Воспользуемся этим и введем замену . Тогда уравнение примет вид:



Воспользуемся известными тригонометрическими соотношениями:



Заметим, что при и , тогда уравнение принимает следующий вид:





Выберем те значения , которые удовлетворяют условию :

целых нет.



Таким образом, удовлетворяет условиям .

Обратная замена: .

Ответ:






Похожие:

Решение иррациональных уравнений iconЗанятие по теме: «Решение нестандартных тригонометрических уравнений» Цель : Развивать у учеников
Применение свойств арифметической прогрессии, нахождение пересечений решений, решение уравнений в целых числах, применение тригонометрии...
Решение иррациональных уравнений iconРешение иррациональных уравнений
Цель: Обучающая. Обобщить и закрепить методы решения ирра-циональных уравнений. Познакомить с новым нестандартным методом решения...
Решение иррациональных уравнений iconУрок по теме «Решение иррациональных уравнений» (слайд1 ) Оборудование к уроку
«Алгебра и начала анализа» под ред. А. Н. Колмогорова, чистые листы бумаги для проведения рефлексии
Решение иррациональных уравнений iconРешение иррациональных уравнений
Преобразование графиков функций, содержащих знак радикала. Построение графиков функций
Решение иррациональных уравнений iconЛекция «Целые рациональные уравнения»
Сведение уравнения к квадратному с помощью удачной подстановки. 13 Решение возвратных и обобщенных возвратных уравнений. 23 Решение...
Решение иррациональных уравнений iconИррациональные уравнения
Познакомить с новым нестандартным методом решения иррациональных уравнений мажоранта
Решение иррациональных уравнений icon«Решение уравнений высших степеней»
Решение алгебраических уравнений является одним из самых важных разделов алгебры, поэтому учащихся 9-х классов целесообразно познакомить...
Решение иррациональных уравнений icon«Решение показательных уравнений и систем уравнений»
Цель урока: «Обобщение и систематизация знаний учащихся; Закрепление умений решать показательные уравнения и системы уравнений»
Решение иррациональных уравнений iconРешение нелинейных уравнений в редакторе электронных таблиц Calc
Обязательная. Отделение корней. Решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам
Решение иррациональных уравнений iconРешение. Решение системы находим по формулам Крамера
Установить, что система уравнений имеет единственное решение, и найти его с помощью обратной матрицы
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org