Системы счисления Система счисления



Скачать 60.46 Kb.
Дата23.05.2013
Размер60.46 Kb.
ТипДокументы
Системы счисления
Система счисления - это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами.

Цифры – это знаки, используемые при записи чисел.

Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные.

В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе, а в непозиционных - не зависит.
Непозиционная римская система счисления.

Самой распространенной из непозиционных систем счисления является римская. В качестве цифр в ней используются латинские буквы:

1 (1), V (5), Х (10), L (50), С (100), D (500), М (1000).

Значение цифры не зависит от ее положения в числе.

Например, в числе ХХХ (10+10+10), три числа по 10 в сумме дают 30.

Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа - прибавляется.

Например, запись десятичного числа 1998 в римской системе счисления будет выглядеть следующим образом:

MCMXCVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + 5 + 1 + 1 +1.

Задачи

Написать в римской системе счисления числа:

  1. 37 = XXXVII

  2. 248 = CCXLVIII

  3. 654 = DCLIV

  4. 2005 = MMV

  5. 1989=MCMLXXXIX=

1000+(1000-100)+(50+10+10+10)+(10-1)

  1. Какие числа записаны с помощью римских цифр:

MMMD=3500; MCMXCIV=1994

  1. Выполните действия и запишите результат римскими цифрами:

XXII-V=XVII

CV-LII=LIII

XXIV*VII=CLXVIII

XX:V=IV

IC+XIX=CXVIII

LXVI:XI=VI

MCM+VIII=MCMVIII

X*IV=XL


Позиционные системы счисления.

Первая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне. Вавилонская нумерация была шестидесятеричной, то есть в ней использовалось шестьдесят цифр! До сих пор при измерении времени мы используем основание, равное 60 (в 1 минуте содержится 60 секунд, а в 1 часе - 60 минут).

В XIX веке широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления. До сих пор мы употребляем дюжину (число 12): в сутках две дюжины часов, круг содержит тридцать дюжин градусов и так далее....

Наиболее распространенной в настоящее время позиционной системой счисления является десятичная.
Десятичная система счисления имеет алфавит цифр, который состоит из десяти арабских, цифр, и основание, равное 10
Таблица. Позиционные системы счисления

Система счисления

Основание

Алфавит цифр

Десятичная

10

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 .

Двоичная

2

0, 1

Восьмеричная

8

0,1,2,3,4,5,6,7

Шестнадцатеричная

16

0, 1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9, А(10), В(11), С(12), D(13), Е(14),F(15)



Представление чисел в позиционных системах счисления

Все позиционные системы счисления строятся по общему принципу:

1. выбирается некоторое число р - основание системы;

2. каждое число Np представляется в виде комбинации его степеней с коэффициентами, принимающими значение от 0 до р -

1, то есть в виде

Np = an-1pn-1+an-2pn-2+....+ a2p2+ a1p1+a0p0

Здесь Np - само число

р - основание системы счисления.

а- цифры данной системы счисления .

Десятичная система счисления.

Рассмотрим в качестве примера десятичное число 555. Цифра 5 встречается трижды, причем самая правая цифра 5 обозначает пять единиц, вторая справа - пять десятков и, наконец, третья справа пять сотен.

Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. В десятичной системе цифра, находящаяся в крайней справа позиции (разряде), обозначает количество единиц, цифра, смещенная на одну позицию влево, - количество десятков, еще левее - сотен, затем тысяч и так далее. Соответственно имеем разряд единиц, разряд десятков и так далее.

Число 555 записано в привычной для нас свернутой форме. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различные степени числа 10.

В десятеричной системе счисления.

Основание: р = 10. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Формула: N10=an-110n-1+......+a2102+a1101+a0100.
Системы счисления, используемые в компьютере: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная
Двоичная система счисления.

В двоичной системе счисления просто выполняются арифметические действия. компьютер берет все команды и данные из памяти представленной в двоичной системе счисления. Первые компьютеры имели память, состоящую из электронных ламп. Состояние электронной лампы горит - 1, состояние электронной лампы не горит - 0. Эти элементы памяти называются битами.


Бит – наименьшая единица измерения количества информации, имеющая значение 0 или 1.


Благодаря этим особенностям двоичная система стала стандартом при построении компьютера.

В двоичной системе счисления. Основание: р = 2. Алфавит: 0, 1.

Формула: N2n-12n-1+.....+а222+ а121 + а020

Восьмеричная система счисления. Первые персональные ЭВМ за один прием обрабатывали 8 бит. В связи с этим возникла восьмеричная система счисления. 8-битовая единица информации называется байтом. С помощью 1 байта можно закодировать 256 символов.

В восьмеричной системе счисления. Основание: р = 8. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Формула: N8 = an-18n-1+....+a282+a181+a080

Шестнадцатеричная система счисления. Двоичная система счисления обеспечивает точное представление чисел в памяти, но с последовательностью из одних нулей и единиц трудно работать. В глазах рябит. Кроме того, числа в двоичной системе счисления имеют большую длину. И работать с ними неудобно. Поэтому специалисты придумали шестнадцатеричную систему счисления. В ней длина числа сокращается в 4 раза по сравнению с двоичной. Это числа и буквы: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,A,B, C, D, E, F. Четырьмя битами можно представить двоичные числа от 0000 до 1111, или от 0 до 15 в десятичной системе счисления.

В шестнадцатеричной системе счисления. Основание: р = 16.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F. Формула: N16 = an-116n-1+....+a1161+ a0160
Решение задач.

  1. Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней могут быть записаны числа: 10, 21, 201, 1201? Ответ: 3

  2. Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней могут быть записаны числа: 403, 561, 666, 125? Ответ: 7

  3. Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней могут быть записаны числа: 22, 984, 1010, А219? Ответ: 11

  4. В каких системах счисления 10 – число нечетное?

Решение

102 = 1*21 = 2 103 = 1*31 = 3

104 = 1*41 = 4 105 = 1*51 = 5 Ответ: В СС с нечетным основанием

  1. В каких системах счисления справедливы равенства?

10= 2*2; 11=2*3.

10= 2*2

1*р1=2*р0*2*р0

р = 2*2=4

р =4

11=2*3

1*р1+1* р0=2*р0*3*р0

р+1 = 2*3

р =5

  1. В саду 100 фруктовых деревьев – 14 яблонь и 42 груши. В какой системе счисления посчитаны деревья? Сколько в саду всего деревьев, из них яблонь и груш?

Решение: по условию задачи 100 = 14 + 42; откуда р2 = 1*р+4+4*р+2;

Решаем квадратное уравнение: р2 -5*р – 6 =0; и находим корни: р = 6.

6+4=10 яблонь 6*4+2=26 груш 10 + 26 = 36 деревьев

Ответ: р=6, всего деревьев 36, из них 10 яблонь и 26 груш.

7. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к искомому числу прибавить 36, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти данное число.

Решение (алгебраический метод).

Пусть х - число десятков данного числа; у - число единиц; х, у - однозначные числа (цифры), тогда данное число запишется в виде: 10х+у; по условию задачи: х+у=12; в новом числе х - число единиц, у - число десятков. Тогда новое число запишется в виде: 10у+х. Так как по условию задачи число 10у+х получается в результате прибавления 36 к числу 10х+у, то имеем уравнение:

10х+у +36=10у +х. или х –у = - 4

Для решения задачи имеем систему двух уравнений:

Откуда 2x = 8; x = 4; y = 8.

Ответ. Искомое число равно 48

Похожие:

Системы счисления Система счисления iconУрок №1. Тема История систем счисления. Позиционные системы счисления
Ввести понятия: система счисления, позиционные непозиционные системы счисления, алфавит, основание, базис системы счисления. Указать...
Системы счисления Система счисления iconСамостоятельная работа по сс№1 Вариант №1 С/Р 8 кл Что такое Система Счисления? Что называется алфавитом системы счисления. Какие системы счисления существуют?
Какая система счисления называется позиционной? Сформулируйте правило этой системы счисления
Системы счисления Система счисления iconСистемы счисления
Перевод конечных p-ичных дробей. Двоичная система счисления. Дополнительный код. Переходы из систем счисления с основанием 2n в двоичную...
Системы счисления Система счисления iconСистема счисления
Система счисления способ отображения чисел и правила действий над ними. Различают позиционные и непозиционные системы счисления
Системы счисления Система счисления iconСистемы Счисления Основные понятия Система счисления
Система счисления – это способ записи чисел и соответствующие ему правила действий над числами
Системы счисления Система счисления iconФайловая оболочка far. Работа с файлами и каталогами
Системы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления. Смешанные системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления...
Системы счисления Система счисления iconПрактикум издат. «Лицей» автор Иванова И. А, Е. В андреева глава системы счисления > системы счисления
Самая простейшая система счисления – унарная, в которой используется всего 1 символ (палочка, узелок, зарубка, камушек и т д.)
Системы счисления Система счисления iconСистемы счисления Система счисления — способ записи чисел с помощью заданного набора специальных символов (цифр)
В вычислительной технике применяются позиционные системы счисления, в которых значение цифры зависит от ее положения в числе
Системы счисления Система счисления iconПозиционные и непозиционные системы счисления. Построение натурального ряда в позиционных системах счисления
Система счисления (СС) – это способ записи чисел и соответствующие ему правила действий над ними
Системы счисления Система счисления iconСистемы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления
Цель: познакомить с историей возникновения и развития систем счисления, указать на основные недостатки и преимущества непозиционных...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org