Дифференциальная геометрия. Глава Линии в евклидовом пространстве



Дата08.10.2012
Размер29.5 Kb.
ТипДокументы
Дифференциальная геометрия.

Глава 1. Линии в евклидовом пространстве.

§ 1. Вектор-функция скалярного аргумента и техника дифференцирования.

Пусть - трехмерное точечное пространство, - геометрическое векторное пространство. Множества будем называть промежутком и обозначать . Пусть в фиксирована правая прямоугольная декартова система координат .

Определение. Будем говорить, что дана вектор-функция , если каждому значению вещественного переменного отвечает вполне определенное значение вектора .

Определение. Пределом вектор функции при называется постоянный вектор такой, что при . Пишут .

Определение. Вектор функция называется непрерывной в точке ( - промежуток изменения аргумента ), если . Вектор-функция называется непрерывной на промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Дадим определение дифференцируемой вектор-функции.

Пусть . Дадим аргументу gif" name="object23" align=absmiddle width=9 height=16> такое приращение, чтобы . Найдем вектор . Функция называется дифференцируемой в точке , если существует . Он обозначается или и называется производной функции в точке . Вектор называется дифференциалом функции в точке. Функция, дифференцируемая в любой точке промежутка , называется дифференцируемой на промежутке .

Пример. Рассмотрим функцию , где , - постоянные векторы. Докажем, что она непрерывна. Проверим, что , то есть при . Действительно, при .

Докажем, что дифференцируема на . Вычислим . Тогда . Итак, функция дифференцируема в каждой точке и её производная равна .

2. Рассмотрим функцию , где - постоянный вектор. Очевидно, она непрерывна. Докажем, что . Действительно, .
Свойства операции дифференцирования.

Пусть даны вектор-функции и и скалярная функция , . Они непрерывны и дифференцируемы.






.

 Докажем свойство . Остальные свойства доказываются аналогично.

1) Докажем, что если при и при , то существует . Действительно,

при .

Здесь мы использовали неравенство .

2) Фиксируем произвольную точку . Запишем приращение при переходе от к , то есть : . Разделим обе части на . Тогда . Ÿ
Пусть в фиксирована прямоугольная декартова система координат . Тогда вектор- функцию можно разложить по векторам этого базиса: . Таким образом, вектор-функция однозначно определяется тремя скалярными функциями . Эти функции называются координатами вектор-функции .

Утверждение. непрерывна на непрерывны на . При этом если при и , то при .

 Пусть . Тогда при по определению предела и непрерывной функции. Это равносильно при . Что и требовалось доказать. 

Из свойств и получим .
В заключении докажем

Лемма. Пусть дана дифференцируемая функция и на . Тогда для .

 Имеем . Продифференцируем это равенство. Тогда . 

Замечание. Так как является вектор=функцией, то можно определить и так далее.

Похожие:

Дифференциальная геометрия. Глава Линии в евклидовом пространстве iconЛекция I. Функциональные пространства. 3 часа
Евклидово пространство, норма вектора. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Норма оператора в евклидовом пространстве. Линейные...
Дифференциальная геометрия. Глава Линии в евклидовом пространстве iconКлассическая дифференциальная геометрия
Сферы и псевдосферы. Стереографические проекции в евклидовом и псевдоевклидовом случаях
Дифференциальная геометрия. Глава Линии в евклидовом пространстве iconДифференциальная геометрия оснащенных распределений в конформном пространстве 01. 01. 04 геометрия и топология

Дифференциальная геометрия. Глава Линии в евклидовом пространстве iconКлассическая дифференциальная геометрия
Координаты на поверхности, координатные линии. Геометрия гладких кривых, касательных векторов, во внутренних координатах
Дифференциальная геометрия. Глава Линии в евклидовом пространстве iconГеометрия периодических и квазипериодических структур
Кристаллографическая группа. Теорема Шенфлиса-Бибербаха для кристаллографических групп в евклидовом пространстве
Дифференциальная геометрия. Глава Линии в евклидовом пространстве iconДифференциальная геометрия
Кривые на плоскости и в пространстве: длина кривой, окружность кривизны, эволюта, кручение, формулы Френе
Дифференциальная геометрия. Глава Линии в евклидовом пространстве iconЗадачи по теме «Дифференциальная геометрия»
В точке t=0 для винтовой линии записать уравнения главной нормали; бинормали м соприкасающейся плоскости
Дифференциальная геометрия. Глава Линии в евклидовом пространстве iconМера Хаусдорфа, мера Лебега на многообразии
Мера Хаусдорфа относительно подпространства. Поведение меры Хаусдорфа при липшицевом отображении n-мера Хаусдорфа на n-мерном евклидовом...
Дифференциальная геометрия. Глава Линии в евклидовом пространстве iconКонтрольная работа №3 Аналитическая геометрия тема аналитическая геометрия Уравнения линии в декартовой системе координат. Параметрические уравнения линии
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учеб для вузов. 5-е изд., стер. М.: Физматлит, 2002. – 317 с
Дифференциальная геометрия. Глава Линии в евклидовом пространстве iconСеминар " Геометрия в Одессе-2005. Дифференциальная геометрия и ее приложения"
Информируем вас, что с 23 по 29 мая 2005г в Одесской национальной академии пищевых технологий состоится Международный семинар
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org