Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор



страница10/13
Дата08.10.2012
Размер0.65 Mb.
ТипУчебное пособие
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13

3.3 Линейные дифференциальные уравнения

n-го порядка с постоянными коэффициентами


Общие определения
Если в левой части определений линейных диффуравнений общего вида (см. Тему 3.2) переменные коэффициенты заменить постоянными числами (т. е., φi(x) Ai), то:

бб) уравнение, представленное в виде

,
называется
неоднородным линейным дифференциальным уравнением
n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Если правая часть (бб) тождественно равна нулю, т. е. , то

вв) уравнение вида

называется
однородным линейным дифференциальным уравнением
n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Далее (внутри данной Темы), для краткости, уравнения видов бб и вв могут именоваться просто неоднородным и однородным линейными уравнениями, соответственно. В тех случаях, когда подобное сокращение может вызвать неоднозначное истолкование, следует использовать "развернутую" терминологию.

Интегрирование однородных линейных диффуравнений с постоянными коэффициентами
В учебно-справочной литературе возможность интегрирования линейных дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов обычно поясняется на примере однородных уравнений1 не очень высокого порядка (например, – второго). Изучение примеров подобной технологии, на мой взгляд, должно носить ознакомительный характер, т. к. в настоящее время необходимые преобразования такого рода могут осуществляться (и для более общих случаев!) средствами современной вычислительной техники (см. Приложение) без участия профессионалов – математиков.

В самом общем случае решение рассматриваемого здесь типа уравнений сводится к решению т. н.
характеристического уравнения
1, которое образуется при представлении искомой функции в виде y(x) = eλx:





.

Очевидно, что если значения λ = λ1, λ2, …, λi, …, λn являются корнями указанного характеристического уравнения, то функции вида являются частными решениями исходного однородного диффуравнения.

Следует иметь в виду, что простое правило перехода от набора из n частных решений к общему решению однородного дифференциального уравнения (см. выше 3.2) справедливо только в том случае, если все n частных решений линейно независимы друг от друга. Определенные трудности могут возникнуть и в том случае, если некоторые корни характеристического полинома являются мнимыми или комплексными числами2.

В зависимости от результатов решения (λi) характеристического уравнения выделяются следующие случаи нахождения общего интеграла однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами:

  • Среди всех корней λ = λ1, λ2, …, λi, …, λn нет совпадающих значений.

В этом случае общий интеграл (по общему правилу) .

  • Среди всех λ = λ1, λ2, …, λi, …, λn имеется группа, состоящая из m корней, имеющих совпадающие значения. Например, пусть λ1=λ2=…=λm.

В этом случае .1
(Заметим, что два любых слагаемых первой суммы в правой части равенства являются линейно независимыми функциями!)

  • Среди всех λ = λ1, λ2, …, λi, …, λn имеется пара комплексно сопряженных корней. Например, пусть λ1=+,λ2=-, где.

В этом случае y(x) = (C1sinβx+ C2cosβx).2

Не следует обольщаться кажущейся "простотой" изложенного выше общего метода интегрирования однородных линейных диффуравнений с постоянными коэффициентами. Дело в том, что в общем случае нахождение корней характеристических полиномов третьей и четвертой степени является достаточно сложной алгебраической проблемой, а для степеней выше четвертой общего правила решения теоретически не существует.

Интегрирование неоднородных линейных диффуравнений с постоянными коэффициентами



Основное содержание данного фрагмента заимствовано из статьи "Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами" из Википедии — свободной энциклопедии (см. на сайте Интернет http://ru.wikipedia.org/wiki/).2

* * *

Неоднородное уравнение интегрируется методом вариации произвольных постоянных (Метод Лагранжа)3.

Вид общего решения неоднородного уравнения2:

Если дано частное решение неоднородного уравнения y0(t), и y1(t), …, yn(t), – фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение уравнения задается формулой

y(t) = y1(t) + …+ yn(t) + y0(t),

где c1, …, сn(t) – произвольные постоянные.

Принцип суперпозиции.

Как в общем случае линейных уравнений, имеет место принцип суперпозиции, используемый в разных формулировках принципа суперпозиции в физике.

В случае, когда функция в правой части уравнения (бб)1 состоит из суммы двух функций

f(t) = f1(t) + f2(t),

частное решение неоднородного уравнения тоже состоит из суммы двух функций

y0(t) = y01(t) + y02(t),

где y01(t) и y02(t),являются решениями неоднородного уравнения с правыми частями f1(t) и f2(t), соответственно.

Частный случай: квазимногочлен.

В случае, когда f(t) – квазимногочлен, т. е. f (t) = p(t)eαtcos(βt) + p(t)eαtsin(βt),

где p(t), q(t) – многочлены, частное решение уравнения ищется в виде

y0(t) = (P(t)eαtcos(βt) + Q(t)eαtsin(βt))ts,

где

  • P(t), Q(t) – многочлены, deg(P) = deg(P) = Max(deg(p), deg(q)), коэффициенты которых находятся подстановкой y0(t) в уравнение и вычислением методом неопределенных коэффициентов.2

  • s является кратностью комплексного числа w = α + iβ, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

В частности, когда f(t) = p(t)eαt,

где p(t) – многочлен, частное решение уравнения ищется в виде

y0(t) = P(t)eαtts.

Здесь P(t) – многочлен, deg(P) = deg(p), с неопределенными коэффициентами, которые находятся подстановкой y0(t) в уравнение. s является кратностью α, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

Когда же f(t) = p(t),

где p(t) – многочлен, частное решение уравнения ищется в виде

y0(t) = P(t)ts.

Здесь P(t) –многочлен, deg(P) = deg(p), а s является кратностью нуля, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

* * *
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13

Похожие:

Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие I издательство с. Петервургского университета 2004 ббк 63. 3(2 Рос) К68
...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconПрограмма дошкольного образования Москва «Просвещение»
Н., канд пед наук, Дякина А. А., доктор филол наук, Евту­шено И. Н., канд пед наук, Каменская В. Г., доктор псих наук, Кузьмишина...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconПрограмма «дошкольное образование»
И. – канд пед наук, проф.; Бубнова С. Ю. – канд пед наук, доцент; Захарчук Л. А. – канд соц наук; Макарова В. Н. – канд пед наук,...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconА. А. Чубур Основы антропологии (учебное пособие)
Рецензенты – С. В. Чернышов канд ист наук, доцент кафедры Истории Отечества в 2
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconМетодические указания к лабораторному практикуму по механике для студентов первого курса всех специальностей Воронеж 2005
Составители: канд физ.мат наук Евсюков В. А., канд физ.мат наук А. Г. Москаленко, канд физ.мат наук Н. В. Матовых, канд физ.мат...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconИстория Кузбасса Кемерово «скиф», «Кузбасс» 2006 Коллектив
Рудин В. Г.; Свиридова И. А., канд мед наук, доц.; Туев В. В., д-р пед наук, проф.; Усков И. Ю., канд ист наук; Хромова Т. Ю., канд...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие Омск Издательство Омгту 2009 удк 55 (075) ббк 26. 3я73 Б44 Рецензенты
Охватывает большие территории и многокилометровые толщи пород
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие Кемерово 2010 удк 113/119(075) ббк 87я7 К56 Рецензенты
В. Н. Порхачев – кандидат философских наук, доцент Кемеровского государственного сельскохозяйственного института
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие Омск Издательство Омгту 2008 удк 659. 1 (075) б бк 76. 006. 5 я 73 м 44 Рецензенты
Охватывает период правления I и II династий (достоверные сведения об этом периоде очень скудны)
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconСборнике «Научная сессия гуап 2010»
Н. М. Сирота (д-р полит наук, проф.) – профессор кафедры социально-гуманитарных наук, Е. Е. Сорокина (канд педагогич наук)
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org