Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор



страница2/13
Дата08.10.2012
Размер0.65 Mb.
ТипУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13

1Общее введение в теорию дифференциальных уравнений


Дифференциальные Уравнения (теория и практические приложения) – раздел современной Математики, который возник практически одновременно с учением о бесконечно малых величинах, внутри Теории дифференцирования и интегрирования функций1. В связи с этим обстоятельством, общая логика, язык и символика указанного раздела не требует каких-либо особых "нововведений". Если основные понятия и идеи Математического анализа (дифференцирования и интегрирования) были уже успешно усвоены, то соответствующие понятия учения о дифференциальных уравнениях воспринимаются как нечто "само собой разумеющееся" и "знакомое". В современной учебной литературе изложение основ Теории дифференциальных уравнениях обычно носит стандартный характер, сложившийся в течении почти четырехсотлетней истории развития данной отрасли знаний.

1.1 Первоначальные сведения о дифференциальных уравнениях

Справочная
информация

2 Энциклопедия «Кругосвет»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени, например экономичность двигателя, измеряемая расстоянием, которое автомашина может проехать на одном литре горючего, зависит от скорости движения автомашины. Соответствующее уравнение содержит одну или несколько функций и их производных и называется дифференциальным уравнением.

Большая советская энциклопедия

Дифференциальные уравнения – уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные. Теория Д. у. возникла в конце 17 в. под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин, по существу одновременно с интегральным исчислением и дифференциальным исчислением.

Простейшие Д. у. встречались уже в работах И. Ньютона и Г. Лейбница; термин "Д. у." принадлежит Лейбницу. Ньютон при создании исчисления флюксий и флюент (см. htm">Флюксий исчисление)1 ставил две задачи: по данному соотношению между флюентами определить соотношение между флюксиями; по данному уравнению, содержащему флюксии, найти соотношение между флюентами. С современной точки зрения, первая из этих задач (вычисление по функциям их производных) относится к дифференциальному исчислению, а вторая составляет содержание теории обыкновенных Д. у. Задачу нахождения неопределённого интеграла F (x) функции f(x) Ньютон рассматривал просто как частный случай его второй задачи. Такой подход был для Ньютона как создателя основ математического естествознания вполне оправданным: в очень большом числе случаев законы природы, управляющие теми или иными процессами, выражаются в форме Д. у., а расчёт течения этих процессов сводится к решению Д. у.

Экономико-математический словарь

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [differential equations] – уравнения, предназначенные для выражения соотношений не только между отдельно взятыми величинами, но и между их изменениями. Это уравнения, в той или иной форме связывающие независимые переменные, искомые функции и их производные. Решение (интегрирование) Д. у. заключается в отыскании функции, которая удовлетворяет этому уравнению для всех значений независимой переменной (или переменных) в определенном конечном или бесконечном интервале. Такое решение может быть проверено подстановкой.
О познавательной природе дифференциальных уравнений

Если не планируется использование теории дифференциальных уравнений для более глубокого понимания законов таких наук, как физика, теоретическая биология, биомеханика и т. п., то для получения поверхностного представления ("для общего развития") вполне достаточно приведенной выше краткой информации. Однако, даже при подобном "усеченном" способе познания полезно обратить внимание на тот факт, что дифференциальные уравнения вида F(y, y', y'', …, y(n), x)=0 могут использоваться2 для достижения двух различных целей.

П. 1.1.1 Связь характера прямолинейного перемещения S(t) физической точки (массой m) в зависимости от силы F, вызывающей это перемещение, дается дифференциальной формой записи второго закона Ньютона: .

 Компоненты y(x), y'(x), y''(x), …, y(n)(x) рассматриваемого равенства могут являться неизвестными функциями аргумента x, причем, предполагается осуществление процесса определения тих функций. Такой процесс принято называть решением или интегрированием соответствующего дифференциального уравнения. Разумеется, и в данном случае исходное равенство F(…) = 0 служит описанием правила взаимосвязи компонент y(x), y'(x), y''(x), …

Таким образом, решениями дифференциальных уравнений являются не отдельные числа, а функции, для которых выполняется упомянутое выше равенство. Более того, общими решениями дифференциальных уравнений являются не отдельные функции, а их семейства вида y = (x, C1, C2, …, Cn), где Ci – константы, подлежащие определению (по содержательному смыслу решаемой познавательной задачи.

П. 1.1.2Если в примере П 1.1.1 положить, что к телу массой m вблизи поверхности Земли приложена сила притяжения F= – mg (g≈9,81 м/с2 – ускорение свободного падения), то уравнение будет косвенным описанием закона перемещения массивных тел в поле тяготения. Общее решение данного уравнения дает результат . (В справедливости данного результата можно легко убедиться с помощью вычисления второй производной ). Очевидно, закон изменения скорости перемещения определяется как .

 В ряде важных для реальных научных исследований случаев бывает необходимым из всего множества общих решений (интегральных кривых) вида y = (x, C1, C2, …, Cn) выделять единственную конкретную реализацию, соответствующую дополнительным (начальным) ограничивающим условиям y(x0) = y0, y'(x0) = y'0, y''(x0) = y''0, …Подобный подход называется решением задачи Коши1; он позволяет не только конкретизировать значения неопределенных констант Ci, но и приписать каждой из них вполне определенный содержательный (физический, геометрический или т.п.) смысл.

П. 1.1.3 Используя общее решение примера П 1.1.2 сформулируем задачу Коши для определения закона перемещения S(t) тела, которое в момент времени t0=0 находилось на высоте H0 и имело вертикальную скорость движения : / (S(t0) =H0 , ). После учета начальных условий (подстановки в общее решение) получаем: C1=v0, C2=H0. Окончательно: .

Геометрический смысл решения задачи Коши (выбор "нужной" интегральной кривой) поясняется с помощью Рис.1.1.


Рис. 1.1

Решение дифференциального уравнения (см. П. 1.1.3) при различных начальных условиях: H0=5 м; 1) v0=5 м/с; 2) v0=0 м/с; 3) v0= –5 м/с.

Основные проблемы интегрирования
дифф. уравнений
Как явствует из процитированной справочной литературы, для приведённых выше (и некоторых им подобных) конкретных примеров дифференциальных уравнений "…их общее решение удаётся выразить при помощи элементарных функций. Типы уравнений, допускающие такого рода решение, детально изучаются. Часто придерживаются более общей точки зрения, считая дифференциальное уравнение "решённым", если искомая зависимость между переменными (и входящими в общее решение параметрами C1, C2, ...) может быть выражена при помощи элементарных функций и одной или нескольких операций взятия неопределённого интеграла ("решение выражено в квадратурах")".

Возможность выражения решения конкретного дифференциального уравнения в квадратурах вовсе не означает, что это решение обязательно может быть записано в явном виде с помощью "красивого" правила y = y(x), позволяющего для любого конкретного значения аргумента x вычислить соответствующее значение y, удовлетворяющее изучаемому уравнению.

В реальной практике чаще оказывается так, что решение в квадратурах требует выполнения действий, которые сами по себе не могут быть сведены к конечным вычислительным правилам.

П 1.1.4

  1. Решение простейшего уравнения y' = f(x) в квадратурах выражается как y = f(x)dx. Однако, далеко не всегда требование проинтегрировать функцию f(x) может быть выполнено элементарными средствами с помощью сведения к комбинации "табличных" интегралов (см. Вып.5, Гл.3).

  2. Как будет показано далее в данном Выпуске, решение дифференци­ального уравнения



(где i – определенные числовые константы) в квадратурах выражается как , где pi – корни алгебраического уравнения,
а Ci –константы, зависящие от начальных условий задачи Коши.


Более того, для подавляющего большинства дифференциальных уравнений представление их решений "в квадратурах" (или, тем более, – в виде простых алгебраических комбинаций) вообще не возможно!1

В учебной и справочной литературе процесс решения дифференциального уравнения зачастую именуется интегрированием этого уравнения. Однако, реальное осуществление указанного процесса еще в большей мере, чем обычное интегрирование функций (т. е., нахождение их первообразных) 2, является своеобразным искусством, которое не сводится к формальному использованию определенного стандартного набора приемов и методов.

Острота обозначенной проблемы определяется не столько сложностью (или – принципиальной невозможностью) расчета абсолютно точных значений искомой функции для избранных значений аргумента, сколько затруднениями при анализе этой функции "в общем виде" (т. е., во всей ОДЗ3 ее аргумента).

Дело в том, что именно дифференциальные уравнения в современной науке являются фактически единственным способом описания законов различных форм изменения (движения) в окружающем нас реальном мире (т. е. законов природы). При этом, вне зависимости от характера описываемых величин (детерминированного или случайного4), такое описание отражает не только факт взаимосвязи этих величин, но и причинно-следственную природу этой взаимосвязи.

Например, запись второго закона Ньютона: фактически утверждает, что причиной ускорения (изменения скорости) материального тела

является приложенная к нему сила (как результат взаимодействия с другими телами или с их силовыми полями).

Овладение искусством интегрирования дифференциальных уравнений предполагает – достаточно глубокое изучение тех разделов Математики (см., например, Приложения 3,4), которые не предусмотрены образовательным стандартом РФ для спортивно-педагогических вузов; – продолжительную и объемную практику использования этих уравнений для решения познавательных задач в ходе реальной научно-исследовательской (или учебной) деятельности1.

В указанных условиях изучение основ Теории дифференциальных уравнений носит ознакомительный характер. При этом, детальная проработка (и, тем более, – заучивание) многочисленных разрозненных фрагментов применения указанной Теории не предполагается. В отрыве от соответствующей теоретической базы такое заучивание не имеет познавательной ценности.

За исключением простейших случаев интегрирования диффуравнений, которые будут рассмотрены в данном Пособии2, основное внимание следует сосредоточить на освоении учебно-справочной литературы, содержащей указания и рекомендации (вместе с их теоретическим обоснованием) по интегрированию уравнений более сложного вида. К изучению подобного материала следует прибегать по мере возникновения практической необходимости в его использовании.

В тех случаях, когда нет необходимости представлять решение уравнения в виде строгой аналитической формулы, сколь угодно точный результат может быть получен с помощью средств современной вычислительной техники (цифровой или дискретной)3. (Этот подход рассматривается в учебных курсах Информатика, Компьютерные технологии или – подобных им.)

Поиску необходимой информации при "самодообразовании" в области Теории дифференциальных уравнений может помочь ознакомление с возможными классификациями этих уравнений по различным признакам (см. ниже Тему 1.2).

Следует иметь в виду, что при " полновесном" изучении дифференциальных уравнений (в вузах физико-математической или инженерно-технической направленности) классификация осваивается постепенно, по мере изучения новых приемов и методов интегрирования указанных уравнений.

Подобный основательный (но в то же время – достаточно неспешный) подход не годится для сугубо ознакомительной формы обучения, которая не предполагает изучение всех существующих способов интегрирования.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13

Похожие:

Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие I издательство с. Петервургского университета 2004 ббк 63. 3(2 Рос) К68
...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconПрограмма дошкольного образования Москва «Просвещение»
Н., канд пед наук, Дякина А. А., доктор филол наук, Евту­шено И. Н., канд пед наук, Каменская В. Г., доктор псих наук, Кузьмишина...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconПрограмма «дошкольное образование»
И. – канд пед наук, проф.; Бубнова С. Ю. – канд пед наук, доцент; Захарчук Л. А. – канд соц наук; Макарова В. Н. – канд пед наук,...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconА. А. Чубур Основы антропологии (учебное пособие)
Рецензенты – С. В. Чернышов канд ист наук, доцент кафедры Истории Отечества в 2
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconМетодические указания к лабораторному практикуму по механике для студентов первого курса всех специальностей Воронеж 2005
Составители: канд физ.мат наук Евсюков В. А., канд физ.мат наук А. Г. Москаленко, канд физ.мат наук Н. В. Матовых, канд физ.мат...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconИстория Кузбасса Кемерово «скиф», «Кузбасс» 2006 Коллектив
Рудин В. Г.; Свиридова И. А., канд мед наук, доц.; Туев В. В., д-р пед наук, проф.; Усков И. Ю., канд ист наук; Хромова Т. Ю., канд...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие Омск Издательство Омгту 2009 удк 55 (075) ббк 26. 3я73 Б44 Рецензенты
Охватывает большие территории и многокилометровые толщи пород
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие Кемерово 2010 удк 113/119(075) ббк 87я7 К56 Рецензенты
В. Н. Порхачев – кандидат философских наук, доцент Кемеровского государственного сельскохозяйственного института
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие Омск Издательство Омгту 2008 удк 659. 1 (075) б бк 76. 006. 5 я 73 м 44 Рецензенты
Охватывает период правления I и II династий (достоверные сведения об этом периоде очень скудны)
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconСборнике «Научная сессия гуап 2010»
Н. М. Сирота (д-р полит наук, проф.) – профессор кафедры социально-гуманитарных наук, Е. Е. Сорокина (канд педагогич наук)
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org