Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор



страница3/13
Дата08.10.2012
Размер0.65 Mb.
ТипУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13

1.2 О классификациях дифференциальных уравнений


Ниже в данной Теме рассматриваются избранные примеры классификации – дифференциальных уравнений без привязки к способам их интегрирования или к факту существования их решения в квадратурах. Упомянутая привязка достигается автоматически ("сама по себе") по мере детального изучения конкретных разновидностей уравнений и использования этих уравнений для решения конкретных познавательных проблем (в том числе – и не сугубо математических!). В качестве частных подзаголовков будут использованы наименование (или содержательный смысл) соответствующих классификационных признаков.
Количество аргументов неизвестной функции ("обычность")


Обыкновенное дифференциальное уравнение – это некоторое утверждение о неизвестной функции одной переменной (аргумента) и ее производных по той же самой переменной (аргументу).

П 1.2.5. Все уравнения из примеров П 1.1.14 – обыкновенные дифференциальные уравнения.

Дифференциальное уравнение в частных производных содержит неизвестную функцию двух или более переменных и производные от этой функции, по крайней мере, по двум различных переменным.

П 1.2.6. Внешний вид1 некоторых уравнений в частных производных:
а) уравнение Лапласа (u – температура плоской области xy);
б) уравнение теплопроводности (
t – время, x – расстояние от одного из концов однородного стержня, по которому распространяется тепловой поток u);
в) волновое уравнение колеблющейся струны (
t – время, x – расстояние от одного из концов струны в направлении другого, u – отклонение струны от положения равновесия).

Теория обыкновенных дифференциальных уравнений более проста по сравнению с теорией уравнений в частных производных. Поэтому при решении уравнения последней из указанных разновидностей иногда стремятся преобразовать его в систему нескольких (по числу аргументов) обыкновенных уравнений. На практике, к сожалению, данный прием удается применить в исключительно редких случаях.

Далее для упрощения, если это специально не оговорено, будут рассматриваться только обыкновенные уравнения.
Порядок уравнения


Порядком дифференциального уравнения принято считать порядок входящей в него самой старшей производной неизвестной функции.

П 1.2.7. Например,
а) закон равномерно-ускоренного движения – дифференциальное уравнение второго порядка;
б) закон изменения скорости парашютиста – дифференциальное уравнение первого порядка;
в) выражение – дифференциальное уравнение пятого порядка.

Заметим, что высказывание "дифференциальное уравнение нулевого порядка" формально означает, что речь идет об обычном алгебраическом уравнении, которое не содержит ни одной производной искомой функции, а сама эта функция косвенно определяется через известные функции, входящие в данное уравнение.

При изучении основ теории обыкновенных дифференциальных уравнений обычно наиболее пристально рассматриваются уравнения первого и второго порядков. Этот факт объясняется тем, что с помощью таких уравнений можно описать основные законы механической формы движения. При этом, отдельные элементы структуры удается интерпретировать как вполне определенные и измеримые физические величины (перемещения, скорости, ускорения, силы и т.п.). Кроме того, оказывается, что решения диффуравнений порядка не выше второго допускают графическую форму истолкования многообразия этих решений (см., например, Рис.1.1).
Линейность


Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка
называется структура, имеющая вид:
.

Как видно из приведенного выше определения, запись линейного диффуравнения содержит только первые степени неизвестной функции и всех ее производных. В качестве коэффициентов при указанных элементах могут использоваться известные функции .

К сожалению, в популярной учебно-справочной литературе (зачастую, анонимной!) вместо приведенного выше определения линейности для "большей понятности" используется следствие из него, которое является необходимым, но недостаточным условием линейности. Так, на одном из сайтов Интернет (Яндекс_Словари) можно прочитать:

Энциклопедия «Кругосвет»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. …(а) Линейные уравнения – это уравнения "первой степени" – неизвестная функция и ее производные входят в такие уравнения только в первой степени. (в)Таким образом, (б) линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид dy/dx + p(x) = q(x), где p(x) и q(x) – функции, зависящие только от x…

Каждое из двух выделенных (мною) утверждений (а) и (б), взятое в отдельности, "само по себе", безусловно, истинно. Однако, вывод (б) не является безоговорочным следствием посылки (а). Действительно, например, уравнение yy' = f(x) формально удовлетворяет условию (а) и в то же время не является линейным.

Если все , то уравнение именуется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

Так же особо выделяется случай (соответствующий термин будет введен несколько позже).

П 1.2.8.Например, линейное уравнение первого порядка с постоянным коэффициентом.

Однородность

Термин "однородность" применительно к дифференциальным уравнениям происходит от наименования соответствующей разновидности функций.

Справка (цитируется дословно с сохранением пунктуации и орфографии источника на одном из сайтов Интернет (Яндекс_Словари) :

Большая советская энциклопедия

однородная функция, функция одного или нескольких переменных, удовлетворяющая следующему условию:

при одновременном умножении всех аргументов функции на один и тот же (произвольный) множитель λ значение функции умножается на некоторую степень этого множителя. Т.е. для О. ф. f(x, y, … , u) при всех значениях x, y, … , u и любом λ должно иметь место равенство f(λ x, λ y, … , λ u) = λnf(x, y, … , u), где n – некоторый определенный показатель ("показатель однородности", или "измерение О. ф.").

Например, функции ; ; – суть однородные с измерениями, соответственно, 2, –1, .

Из дифференциальных свойств О. ф. отметим одно ( теорема Эйлера), вполне характеризующее О. ф. измерения n, а именно: если в выражении полного дифференциала такой функции заменить дифференциал каждого независимого переменного самим этим переменным, то получают функцию , умноженную на показатель однородности n:

.

О.ф. часто встречаются в геометрических формулах.
… Например, в формуле для объема усеченного конуса правая часть – О.ф. измерения 3 относительно аргументов R, r, h.

Некоторые очевидные свойства однородных функций описаны в Приложении 5. Знакомство с этими свойствами может оказаться полезным при самостоятельном углубленном изучении Теории дифференциальных уравнений и других разделов Математики.1

Рассмотрим здесь два примера2 использования рассматриваемого классификационного признака применительно к простейшим дифференциальным уравнениям.

А). Дифференциальное уравнение первого порядка,
представленное в виде

называется однородным, если его правая часть является однородной функцией измерения 0, т.е. .
Б). Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка, представленное в виде
называется
однородным, если его правая часть равна 0, т.е. ;
неоднородным, если его правая часть не равна 0, т.е. .

Область применения

Как уже указывалось выше, дифференциальные уравнения в настоящее время являются основным (и, пожалуй, – единственным!) способом описания законов природы или, иначе, – законов различных форм движения (изменения) объектов реального мира с учетом причинно-следственной структуры этих изменений.

При изучении и классификации дифференциальных уравнений целесообразно принимать во внимание не только особенности их формальной структуры или своеобразие методов их интегрирования, но и конкретную область научно-позновательной или научно-практической деятельности, в которой они обычно используются в качестве основного "рабочего инструмента".

Например:
Уравнения математической физики
, Уравнения аналитической механики, Уравнения электромагнитных колебаний, Уравнения теоретической биологии и т. д., и т. п. …

"Именные" уравнения

Так же как и в других разделах Математики, в Теории Дифференциальных Уравнений довольно часто встречаются объекты, которым присвоены имена тех или иных ученых. При этом, какой либо "стандартной" процедуры1 такого "поименования" не существует.

Скорее всего, присвоение персонального имени уравнению,
– либо имеющему особую структуру,
– либо разрешаемому с помощью оригинального метода,
– либо наиболее удачно описывающего важный закон природы,
– либо обладающего необычными математическими свойствами,
– либо т.п.,
является результатом многочисленных ссылок на работы соответствующих авторов,

Примеры использования персональных имен можно легко обнаружить на страницах любого учебника, пособия2 или монографии, посвященных теории и практике применения дифференциальных уравнений.

Следует иметь в виду, что "именные" уравнения не образуют какой-либо отдельный класс, а используются для выделения специфических1 объектов из общего множества объектов, уже отнесенных к определенному классу. Подробное изучение соответствующих имен и поводов для их использования, скорее всего, является предметом не собственно Математики, а Истории развития этой науки и Биографий выдающихся (или, просто, известных) ученых – математиков и естествоиспытателей.

Как и обычные имена, имена уравнений легко запоминаются при регулярном обращении к ним (т. е., их не стоит "зазубривать").
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13

Похожие:

Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие I издательство с. Петервургского университета 2004 ббк 63. 3(2 Рос) К68
...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconПрограмма дошкольного образования Москва «Просвещение»
Н., канд пед наук, Дякина А. А., доктор филол наук, Евту­шено И. Н., канд пед наук, Каменская В. Г., доктор псих наук, Кузьмишина...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconПрограмма «дошкольное образование»
И. – канд пед наук, проф.; Бубнова С. Ю. – канд пед наук, доцент; Захарчук Л. А. – канд соц наук; Макарова В. Н. – канд пед наук,...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconА. А. Чубур Основы антропологии (учебное пособие)
Рецензенты – С. В. Чернышов канд ист наук, доцент кафедры Истории Отечества в 2
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconМетодические указания к лабораторному практикуму по механике для студентов первого курса всех специальностей Воронеж 2005
Составители: канд физ.мат наук Евсюков В. А., канд физ.мат наук А. Г. Москаленко, канд физ.мат наук Н. В. Матовых, канд физ.мат...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconИстория Кузбасса Кемерово «скиф», «Кузбасс» 2006 Коллектив
Рудин В. Г.; Свиридова И. А., канд мед наук, доц.; Туев В. В., д-р пед наук, проф.; Усков И. Ю., канд ист наук; Хромова Т. Ю., канд...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие Омск Издательство Омгту 2009 удк 55 (075) ббк 26. 3я73 Б44 Рецензенты
Охватывает большие территории и многокилометровые толщи пород
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие Кемерово 2010 удк 113/119(075) ббк 87я7 К56 Рецензенты
В. Н. Порхачев – кандидат философских наук, доцент Кемеровского государственного сельскохозяйственного института
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие Омск Издательство Омгту 2008 удк 659. 1 (075) б бк 76. 006. 5 я 73 м 44 Рецензенты
Охватывает период правления I и II династий (достоверные сведения об этом периоде очень скудны)
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconСборнике «Научная сессия гуап 2010»
Н. М. Сирота (д-р полит наук, проф.) – профессор кафедры социально-гуманитарных наук, Е. Е. Сорокина (канд педагогич наук)
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org