Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор



страница4/13
Дата08.10.2012
Размер0.65 Mb.
ТипУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13

1.3 Некоторые особенности искусства интегрирования дифференциальных уравнений


Напомним (см. выше в Теме 1.1), что не существует какого-либо единого, универсального способа интегрирования дифференциальных уравнений общего вида. Более того, число разновидностей уравнений, решения которых можно представить (хотя бы) в квадратурах весьма ограничено. Разумеется, сказанное вовсе не означает, что все остальные уравнения, не вошедшие в этот ограниченный перечень, в принципе не имеют решений.

Теоремы о существовании аналитического (то есть представимого в виде степенного ряда) решения для обыкновенных дифференциальных уравнений, а также для линейных систем уравнений с частными производными были доказаны Коши (Cauchy, 1789 - 1857). … Но работы Коши не были известны Вейерштрассу, который предложил С.В. Ковалевской2 изучить вопрос о существовании аналитических решений уравнений с частными производными в качестве докторской диссертации.

… Исследование Ковалевской придало вопросу о разрешимости задачи Коши для уравнений и систем с частными производными в определенном смысле завершающий характер (заимствовано на сайте Интернет http://www.bestreferat.ru/referat-14084).

Таким образом, при использовании конкретной разновидности дифференциального уравнения вопрос о самой возможности решения соответствующей задачи Коши (см. выше), как правило, не возникает. Чаще всего речь идет об удобстве формы этого решения для последующего математического (логического) анализа или его интерпретации на "языке" того раздела научных знаний, к которому относится описываемый данным уравнением закон природы.

В современной науке используются два подхода к преодолению обозначенных выше трудностей.

    • Методологический способ заключается в том, что на этапе описания законов реальной природы по мере возможности стремятся использовать максимально простые формы уравнений, свободные от подробностей, не несущих информационной нагрузки.1

    • Методологический ("технологический") способ заключается в том, что с помощью тождественных преобразований элементов исходного уравнения (в том числе – искомой функции) его пытаются представить в виде более простого уравнения, имеющего известную (красивую") форму решения2. (К сожалению, попытки такого рода далеко не всегда приводят к желаемому результату!)
Общее и частные решения диффуравнений


Ниже даются определения терминов, используемых для описания "уровней" решения дифференциальных уравнений n-го порядка
F(y, y', y'', …, y(n), x)=0.
3

  1. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция y = ψ(x, C1, C2, …, Cn), обладающая свойствами:
    – 1) при любых значениях произвольных констант C1, C2, …, Cn она обращает исходное уравнение в тождество;
    – 2) значения этих констант можно подобрать таким образом, чтобы она удовлетворяла начальным условиям задачи Коши (см. в Теме 1.1).




  1. Частным решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция y = ψ(x, C1*, C2*, …, Cn*), полученная из общего решения (І) при использовании фиксированных значений произвольных констант Ci = Ci*.




  1. Общим интегралом дифференциального уравнения n-го порядка называется соотношение Ψ(x, y, C1, C2, …, Cn) = 0, которое неявно определяет общее решение (І).




  1. Частным интегралом дифференциального уравнения n-го порядка называется соотношение Ψ(x, y, C1*, C2*, …, Cn*) = 0, полученное из общего интеграла (ІІІ) при фиксировании значений произвольных констант Ci = Ci*.


Заметим, что терминами " … решение … уравнения" и " … интеграл… уравнения " обозначаются не разные объекты, а разные формы (прямая или косвенная) описания одного и того же объекта – результата решения (интегрирования) соответствующего дифференциального уравнения. Поэтому в математической литературе (в том числе, и – в учебной!) эти термины, зачастую, используются как синонимы, которые в случае необходимости могут сопровождаться нужными пояснениями.

Например: "Общее решение данного уравнения косвенно может быть записано в виде…" – и далее следует запись, которая выше определена как общий интеграл уравнения.


Глава 2



1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13

Похожие:

Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие I издательство с. Петервургского университета 2004 ббк 63. 3(2 Рос) К68
...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconПрограмма дошкольного образования Москва «Просвещение»
Н., канд пед наук, Дякина А. А., доктор филол наук, Евту­шено И. Н., канд пед наук, Каменская В. Г., доктор псих наук, Кузьмишина...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconПрограмма «дошкольное образование»
И. – канд пед наук, проф.; Бубнова С. Ю. – канд пед наук, доцент; Захарчук Л. А. – канд соц наук; Макарова В. Н. – канд пед наук,...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconА. А. Чубур Основы антропологии (учебное пособие)
Рецензенты – С. В. Чернышов канд ист наук, доцент кафедры Истории Отечества в 2
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconМетодические указания к лабораторному практикуму по механике для студентов первого курса всех специальностей Воронеж 2005
Составители: канд физ.мат наук Евсюков В. А., канд физ.мат наук А. Г. Москаленко, канд физ.мат наук Н. В. Матовых, канд физ.мат...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconИстория Кузбасса Кемерово «скиф», «Кузбасс» 2006 Коллектив
Рудин В. Г.; Свиридова И. А., канд мед наук, доц.; Туев В. В., д-р пед наук, проф.; Усков И. Ю., канд ист наук; Хромова Т. Ю., канд...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие Омск Издательство Омгту 2009 удк 55 (075) ббк 26. 3я73 Б44 Рецензенты
Охватывает большие территории и многокилометровые толщи пород
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие Кемерово 2010 удк 113/119(075) ббк 87я7 К56 Рецензенты
В. Н. Порхачев – кандидат философских наук, доцент Кемеровского государственного сельскохозяйственного института
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие Омск Издательство Омгту 2008 удк 659. 1 (075) б бк 76. 006. 5 я 73 м 44 Рецензенты
Охватывает период правления I и II династий (достоверные сведения об этом периоде очень скудны)
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconСборнике «Научная сессия гуап 2010»
Н. М. Сирота (д-р полит наук, проф.) – профессор кафедры социально-гуманитарных наук, Е. Е. Сорокина (канд педагогич наук)
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org