Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор



страница5/13
Дата08.10.2012
Размер0.65 Mb.
ТипУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13

2Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка

2.1 Разнообразие форм описания


Наиболее общим видом описания любого дифференциального уравнения первого порядка является равенство

, где .

Из общей массы уравнений подобного вида принято выделять особые случаи.

  1. Уравнения, которые разрешаются относительно y'.

    1. Общий случай
      ,



      1. или, иначе,
        .

      2. Обобщением последней записи является выражение
        .

    2. Редуцированные1 формы.

      1. Уравнение не содержит в явном виде искомую функцию y:
        .

      2. Уравнение не содержит в явном виде переменную x:
        .

  2. Уравнения, которые разрешаются относительно x.

    1. Общий случай
      .

    2. Редукция по y2 (ср. с 1.2.1):
      .




  1. Уравнения, которые разрешаются относительно y.

    1. Общий случай
      .

    2. Редукция по x (ср. с 1.2.2):
      .

Хотя проведенный выше обзор возможных форм описания дифференциальных уравнений является далеко не исчерпывающим, он, по моему мнению, может оказаться полезным при самостоятельном изучении некоторых приемов интегрирования этих уравнений. Иногда с помощью преобразования формы описания уравнения удается свести его решение к более простому и ранее уже изученному случаю.

2.2 Уравнения, не содержащие в явном виде искомую функцию y или (и) независимую переменную x


  1. Уравнения, разрешимые относительно производной y'
    Простейшим уравнением заглавного типа является равенство
    .

    Очевидно, что решением этого уравнения является первообразная (функция) правой части равенства (см. Вып. 5):


  2. В случае (1.2.1), когда , можно записать:
    ,
    откуда следует, что
    .
    (Заметим, что правило (a) является частным случаем реализации данной выше формулы (b).)

  3. В случае (1.2.2), когда , можно записать:
    ,
    откуда следует, что
    .

П 2.2.9.

a) Уравнение перемещения (S) при равномерном прямолинейном движении какого-либо физического тела: .Отсюда следует, что S(t) = S0 + v0t, где S0 = S(0).

b) Если крутизна графика функции y(x) изменяется по закону , то сама эта функция определяется как , где C = y(0).

c) Закон изменения скорости движения под влиянием вязкого трения (например, – торможения моторной лодки после выключения двигателя) определяется уравнением: , где k, которое можно переписать в виде: . Отсюда следует, что , где v0 = v(0) – скорость перед началом торможения (для лодки – в момент выключения двигателя).

  1. Уравнения, разрешимые относительно аргумента x
    Общий интеграл уравнения вида
    с помощью замены может быть задан (выражен) в параметрической форме1: .

  2. Уравнения, разрешимые относительно функции y
    В том случае, когда задано ,
    по аналогии с (d) можно записать: и далее –
    .

Дополнительные возможности интегрирования уравнений, разрешимых относительно производной y'
Иногда результаты решения уравнений вида (b) или (c) бывает более просто получить в параметрической форме, подобной записям (d) или (e), приведенным выше

  1. В случае (2.2.b), когда , можно представить переменную x как известную функцию параметра t : x = u(t). Тогда, очевидно, что

, где , .

Окончательный результат:


  1. В случае (2.2.с), когда , можно представить искомую функцию y как известную функцию параметра t : y = v(t). Тогда, очевидно, что , где , .
    Окончательный результат:


П 2.2.10.

Пусть задано уравнение:. Если положить y = cos t, то y'x = tg t и dx = - cost dt. В результате интегрирования получим: . Система уравнений



является параметрическим описанием семейства окружностей единичного радиуса, центры которых смещены по оси x на величину C.

!Заметим еще раз (см. выше в Теме 1.1), что сама возможность выражения решений дифференциальных уравнений (в том числе – и описанных выше!) в квадратурах вовсе не означает1, что эти решения обязательно могут быть записаны в явном виде с помощью "красивого" правила y = y(x), или в параметрической форме , где h(p), λ(p) – явные функции параметра p.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13

Похожие:

Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие I издательство с. Петервургского университета 2004 ббк 63. 3(2 Рос) К68
...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconПрограмма дошкольного образования Москва «Просвещение»
Н., канд пед наук, Дякина А. А., доктор филол наук, Евту­шено И. Н., канд пед наук, Каменская В. Г., доктор псих наук, Кузьмишина...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconПрограмма «дошкольное образование»
И. – канд пед наук, проф.; Бубнова С. Ю. – канд пед наук, доцент; Захарчук Л. А. – канд соц наук; Макарова В. Н. – канд пед наук,...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconА. А. Чубур Основы антропологии (учебное пособие)
Рецензенты – С. В. Чернышов канд ист наук, доцент кафедры Истории Отечества в 2
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconМетодические указания к лабораторному практикуму по механике для студентов первого курса всех специальностей Воронеж 2005
Составители: канд физ.мат наук Евсюков В. А., канд физ.мат наук А. Г. Москаленко, канд физ.мат наук Н. В. Матовых, канд физ.мат...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconИстория Кузбасса Кемерово «скиф», «Кузбасс» 2006 Коллектив
Рудин В. Г.; Свиридова И. А., канд мед наук, доц.; Туев В. В., д-р пед наук, проф.; Усков И. Ю., канд ист наук; Хромова Т. Ю., канд...
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие Омск Издательство Омгту 2009 удк 55 (075) ббк 26. 3я73 Б44 Рецензенты
Охватывает большие территории и многокилометровые толщи пород
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие Кемерово 2010 удк 113/119(075) ббк 87я7 К56 Рецензенты
В. Н. Порхачев – кандидат философских наук, доцент Кемеровского государственного сельскохозяйственного института
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconУчебное пособие Омск Издательство Омгту 2008 удк 659. 1 (075) б бк 76. 006. 5 я 73 м 44 Рецензенты
Охватывает период правления I и II династий (достоверные сведения об этом периоде очень скудны)
Учебное пособие Омск 2010 Рецензенты: И. Т. Лысаковский, канд пед наук, профессор iconСборнике «Научная сессия гуап 2010»
Н. М. Сирота (д-р полит наук, проф.) – профессор кафедры социально-гуманитарных наук, Е. Е. Сорокина (канд педагогич наук)
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org